(浙江专用)2019高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第3讲 数列的综合问题课件

板块三 专题突破 核心考点

专题三 数列与不等式
第3讲 数列的综合问题

[考情考向分析] 1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数 列中的最值或证明不等式. 2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值 或范围. 3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点,也 是一个难点,主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳 法等.

内容索引

热点分类突破 真题押题精练

热点分类突破

热点一 利用Sn,an的关系式求an
1.数列{an}中,an与Sn的关系 an=?????SS1n, -nS= n-11,,n≥2. 2.求数列通项的常用方法
(1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式.
(2)在已知数列{an}中,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求, 则可用累加法求数列的通项an. (3)在已知数列{an}中,满足aan+n 1=f(n),且 f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用累乘 法求数列的通项 an.
(4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).

例1 (2018·浙江)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2 是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为 2n2+n. (1)求q的值;

解 由a4+2是a3,a5的等差中项,

得a3+a5=2a4+4,

所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.

由 a3+a5=20,得 8????q+1q????=20,

解得 q=2 或 q=12. 因为q>1,所以q=2.

解答

(2)求数列{bn}的通项公式.
解答

思维升华
给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2) 转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先 求出Sn与n之间的关系,再求an.

跟踪演练1 已知数列{an}的前n项和Sn满足:a1an=S1+Sn. (1)求数列{an}的通项公式;
解答

(2)若 an>0,数列?????log23a2n?????的前 n 项和为 Tn,试问当 n 为何值时,Tn 最小?并 求出最小值. 解 因为an>0,故an=2n. 设 bn=log23a2n,则 bn=n-5,显然{bn}是等差数列, 由n-5≥0,解得n≥5,所以当n=4或n=5时,Tn最小, 最小值为 T4=T5=5????-42+0????=-10.
解答

热点二 数列与函数、不等式的综合问题
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条 件,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行 准确的转化.

x?1+λx? 例 2 已知函数 f(x)=ln(1+x)- 1+x . (1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;
解答

(2)设数列{an}的通项 an=1+12+13+…+1n,证明:a2n-an+41n>ln 2.
证明

思维升华
解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不 等关系时要特别重视. (2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件. (3)不等关系证明中进行适当的放缩.

跟踪演练2 设fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2. (1)求fn′(2);

解 由题设fn′(x)=1+2x+…+nxn-1,

所以fn′(2)=1+2×2+…+(n-1)2n-2+n·2n-1,



则2fn′(2)=2+2×22+…+(n-1)2n-1+n·2n,



=由1①1---22n②-得n·,2n=-(f1n′-(n2))·=2n-1+1,2+22+…+2n-1-n·2n 所以fn′(2)=(n-1)·2n+1.

解答

(2)证明:fn(x)在????0,23????内有且仅有一个零点(记为 an),且 0<an-12<13????23????n.
证明

热点三 数列的实际应用
数列与不等式的综合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起,形成 了关于证明不等式、求不等式中的参数取值范围、求数列中的最大(小) 项、比较数列中项的大小等问题,求解方法既要用到不等式知识,又要 用到数列的基础知识,经常涉及到放缩法和数学归纳法的使用.

例3 (2018·浙江省名校协作体联考)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an +(-1)n(n∈N*). (1)证明:???an+?-31?n???是等比数列; 证明 ∵an+1=2an+(-1)n, ∴an+1+?-13?n+1=2???an+?-31?n???, 又 a1+?-31?=23,

∴数列???an+?-31?n???是首项为23,公比为 2 的等比数列.

证明

(2)当 k 是奇数时,证明:a1k+ak1+1<2k9+1;

证明

由(1)可知

an+?-31?n=23n,即

2n-?-1?n an= 3 ,

当 k 是奇数时,a1k+ak1+1=2k+3 1+2k+31-1=3?2k2+k12-k+11+?+23k-?2k1+1? <29k2·2k+k 1=2k9+1.

证明

(3)证明:a11+a12+…+a1n<3.
证明

思维升华
数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题, 解决方法如下: (1)利用数列(或函数)的单调性. (2)放缩法:①先求和后放缩;②先放缩后求和,包括放缩后成等差(或 等比)数列再求和,或者放缩后用裂项相消法求和. (3)数学归纳法.

跟踪演练3

(2018·杭州质检)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+

c an

(c>0,

n∈N*).

(1)证明:an+1>an≥1;

证明

(2)若对任意 n∈N*,都有 an≥????c-12????n-1,证明:
①对于任意 m∈N*,当 n≥m 时,an≤acm(n-m)+am; 证明 由(1)知当n≥m时,an≥am≥1, 所以 an+1=an+acn≤an+acm, 即 an+1-an≤acm,累加得 an-am≤acm(n-m). 所以 an≤acm(n-m)+am.
证明

②an≤

5n-1 2.

证明

真题押题精练

真题体验

1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=_-__6_3____.

解析 ∵Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,

∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),

即an=2an-1(n≥2).

当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.

∴数列{an}是首项a1=-1,公比q=2的等比数列, ∴Sn=a1?11--qqn?=-11?-1-2 2n?=1-2n,

∴S6=1-26=-63.

解析 答案

2.(2017·浙江)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*). 证明:当n∈N*时, (1)0<xn+1<xn;
证明

(2)2xn+1-xn≤xnx2n+1;

证明

(3)2n1-1≤xn≤2n1-2.

证明

押题预测

已知数列{an}满足 a1=2,点(an,an+1)在直线 y=3x+2 上.数列{bn}满足 b1 =2,abnn++11=a11+a12+…+a1n. (1)求b2的值; 押题依据 数列与不等式的综合是高考重点考查的内容,常以解答题 的形式出现,也是这部分的难点,考查学生的综合能力.

解 由已知得a2=3a1+2=8, 所以ba22=a11,b82=12,解得 b2=4.

押题依据 解答

(2)求证:数列{an+1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式; 解 由条件得an+1=3an+2, 则aan+n+1+11=3aann++13=3, 所以数列{an+1}是以a1+1为首项,3为公比的等比数列. 即an+1=(a1+1)·3n-1=3n, 所以数列{an}的通项公式为an=3n-1(n∈N*).
解答

(3)求证:2-2·31n-1≤????1+b11????????1+b12????…????1+b1n????<1363.
证明


相关文档

2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题十一 数列 第37讲 数列的概念与简单表示法
2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题十一 数列 第40讲 数列求和讲义
2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题十二 不等式 第44讲 基本不等式及其应用
2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题十二 不等式 第41讲 不等关系与不等式讲义
2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题十一 数列 第39讲 等比数列及其前n项和
2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题十一 数列 第38讲 等差数列及其前n项和
2019高考历史总复习 专题十三 二战后世界政治、经济格局的演变 第30讲 世界多极化趋势在曲折中发展课件
2019年整理届高三物理二轮复习 专题5 第1讲直流与交流电路课件精品资料
2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题一 集合 第1讲 集合及其运算讲义
2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题十五 数系的扩充与复数的引入 第50讲 复数
学霸百科
新词新语
电脑版 | 学霸百科