高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修21(1)_图文













2.2 椭圆

2.2.1 椭圆及其标准方程



















1.了解椭圆标准方程的推导. 2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点) 3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点、难点)

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[基础·初探] 教材整理 1 椭圆的定义 阅读教材 P38“思考”以上部分,完成下列问题.
把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的和等于_常__数__(大__于__|_F_1_F_2_|_)___的点 的轨迹叫做椭圆,这___两__个__定__点______叫做椭圆的焦点,_两__焦__点__间__的__距__离___ 叫做椭圆的焦距.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( ) (2)在椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于 F1F2”的常数,其它条 件不变,点的轨迹为线段.( ) (3)到两定点 F1(-2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 3 的点 M 的轨迹为椭 圆.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×

教材整理 2 椭圆的标准方程

阅读教材 P39~P40“例 1”以上部分,完成下列问题.

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

标准方程 焦点

_ax_22_+__by22_=__1_(_a_>__b_>__0_)

ay22+bx22=1(a>b>0)

(-c,0)与(c,0) _(0_,__-__c_)_与_(_0_,__c_)__

a,b,c 的关系

c2=_a_2_-__b_2__

椭圆2x52 +y92=1 的焦点在________轴上,焦距为________,椭圆x92+1y62 =1 的焦点在________轴上,焦点坐标为________.
【解析】 由 25>9 可判断椭圆2x52 +y92=1 的焦点在 x 轴上,由 c2=25 -9=16,可得 c=4,故其焦距为 8.由 16>9,可判断椭圆x92+1y62 =1 的焦 点在 y 轴上, c2=16-9=7,故焦点坐标为(0, 7)和(0,- 7).
【答案】 x 8 y (0, 7)和(0,- 7)

[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型] 求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); 【导 学号:18490039】 (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (3)经过点 A( 3,-2)和点 B(-2 3,1).

【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上, ∴设它的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0). ∴a=5,c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 +y92=1.

(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上, ∴设它的标准方程为ay22+bx22=1(a>b>0). ∴a=2,b=1. 故所求椭圆的标准方程为y42+x2=1.

(3)法一 ①当焦点在 x 轴上时, 设椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0). 依题意有???????((-a322a)2 32+)(2+-bb1222=)12,=1,解得?????ab22= =155. , 故所求椭圆的标准方程为1x52 +y52=1.

②当焦点在 y 轴上时, 设椭圆的标准方程为ay22+bx22=1(a>b>0). 依题意有???????a(12+-a(22)-2+ 2b2 (3)b322=)12= ,1,解得?????ab22= =51, 5, 因为 a>b>0,所以无解. 所以所求椭圆的标准方程为1x52 +y52=1.

法二 设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),依题意 有?????31m2m++4nn==11,,解得?????mn==1511.5,
所以所求椭圆的标准方程为1x52 +y52=1.

1.利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求 a,b,c 的等量关系;(4)求 a,b 的值,代入所设方程. 2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m≠n,m>0, n>0).因为它包括焦点在 x 轴上(m<n)或焦点在 y 轴上(m>n)两类情况,所 以可以避免分类讨论,从而简化了运算.

[再练一题]

1.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点 A(0,2)和

B???12,

?
3?,求椭圆的标准方程.
?

【解】 设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), ??4n=1,
将 A,B 两点坐标代入方程得???14m+3n=1, ??m=1,
解得???n=14, ∴所求椭圆方程为 x2+y42=1.

椭圆的定义及其应用
设 P 是椭圆2x52 +7y52 =1 上一点,F1、F2 是椭圆的焦点,若∠F1PF2 4
=60°,求△F1PF2 的面积. 【精彩点拨】 (1)由椭圆方程,你能写出|PF1|+|PF2|与|F1F2|的大小吗?
(2)在△F1PF2 中,根据余弦定理可以得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|之间的关系式吗? (3)怎样求△F1PF2 的面积?

【自主解答】 由椭圆方程知,a2=25,b2=745,∴c2=245,∴c=52,2c

=5.

在△PF1F2 中,

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,

即 25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.



由椭圆的定义得 10=|PF1|+|PF2|,

即 100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.



②-①得 3|PF1|·|PF2|=75, 所以|PF1|·|PF2|=25,

所以 S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin 60°=254 3.

1.椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点 M 的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.
2.椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 构成的△PF1F2,称为焦点三角 形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、 余弦定理等知识求解.

[再练一题] 2.在本例中,若把椭圆方程改为“x42+y32=1”,把“∠F1PF2=60°”改 为“∠PF1F2=90°”,其余条件不变,试求△PF1F2 的面积.

【解】 由椭圆方程x42+y32=1,知 a=2,c=1,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2| =2a=4,且|F1F2|=2,在△PF1F2 中,∠PF1F2=90°.
∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2. 从而(4-|PF1|)2=|PF1|2+4,则|PF1|=32, 因此 S△PF1F2=12·|F1F2|·|PF1|=32. 故所求△PF1F2 的面积为32.

[探究共研型] 与椭圆有关的轨迹问题
探究 1 如图 2-2-1,P 为圆 B:(x +2)2+y2=36 上一动点,点 A 的坐标为 (2,0),线段 AP 的垂直平分线交直线 BP 于点 Q,求点 Q 的轨迹方程.

图2-2-1

【提示】 用定义法求椭圆的方程,首先要利用平面几何知识将题目条件 转化为到两定点的距离之和为定值,然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴 是否为坐标轴,最后由定义确定椭圆的基本量 a,b,c.
所求点 Q 的轨迹方程为x92+y52=1.

探究 2 如图 2-2-2,在圆 x2+y2=4 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足.当点 P 在圆上运动时, 线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是什么? 为什么?

图2-2-2

【提示】 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时,一般利用相关 点法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为:
(1)设点:设所求轨迹上动点坐标为 P(x,y),已知曲线上动点坐标为 Q(x1, y1).
(2) 求 关 系 式 : 用 点 P 的 坐 标 表 示 出 点 Q 的 坐 标 , 即 得 关 系 式 ??x1=g(x,y), ???y1=h(x,y).
(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程,并把 所得方程化简即可.
所求点 M 的轨迹方程为x42+y2=1.

一个动圆与圆 Q1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 Q2:(x-3)2+y2= 81 内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程. 【导学号:18490040】
【精彩点拨】 由圆的相切,及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得 轨迹.
【自主解答】 由已知,得两定圆的圆心和半径 分别为 Q1(-3,0),R1=1;Q2(3,0),R2=9.
设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,如图.

由题设有 |MQ1|=1+R, |MQ2|=9-R, 所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6. 由椭圆的定义,知点 M 在以 Q1,Q2 为焦点的椭圆上, 且 a=5,c=3. 所以 b2=a2-c2=25-9=16, 故动圆圆心的轨迹方程为2x52 +1y62 =1.

1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有:直接法、定义法和代入法, 本例所用方法为代入法.
2.对定义法求轨迹方程的认识 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已 知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在 我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,是一种重要的解题方法.

3.代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点 P(x,y)与另一个已知曲线 C:F(x,y)=0 上的动点 Q(x1,y1)存在着某种联系,可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来,然后代 入已知曲线 C 的方程 F(x,y)=0,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的 方法叫做代入法(又称相关点法).

[再练一题] 3.(2016·北大附中高二检测)已知圆 C:x2+y2=4,过圆 C 上一动点 M 作 平行于 x 轴的直线 m,设直线 m 与 y 轴的交点为 N,若向量O→Q=O→M+O→N, 则动点 Q 的轨迹方程为____________.

【解析】 设点 M 的坐标为(x0,y0),点 Q 的坐标为(x,y),点 N 的坐标 为(0,y0),∵O→Q=O→M+O→N,∴(x,y)=(x0,2y0),即 x0=x,y0=2y,又∵x20+ y20=4,∴x2+y42=4.由已知,直线 m 平行于 x 轴,得 y≠0,∴Q 点的轨迹方 程是1y62 +x42=1(y≠0).
【答案】 1y62 +x42=1(y≠0)

[构建·体系]

1.若椭圆1x62 +by22=1 过点(-2, 3),则其焦距为(

)

A.2 5

B.2 3

C.4 5

D.4 3

【解析】 将点(-2, 3)代入椭圆方程求得 b2=4,于是焦距 2c=2 16-4

=4 3.

【答案】 D

2.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点 P(2,0)在椭圆上,则椭圆的

方程为( )

A.x42+y32=1

B.x42+y2=1

C.y42+x32=1

D.y42+x2=1

【解析】 c=1, a=12( (2+1)2+0+ (2-1)2+0)=2, ∴b2=a2-c2=3. ∴椭圆的方程为x42+y32=1.
【答案】 A

3.已知椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为 8,焦距 为 2 15,则此椭圆的标准方程为________.
【解析】 由已知 2a=8,2c=2 15, ∴a=4,c= 15, ∴b2=a2-c2=16-15=1. 又椭圆的焦点在 y 轴上, ∴椭圆的标准方程为1y62 +x2=1. 【答案】 1y62 +x2=1

4.若方程xm2+2my-2 1=1 表示椭圆,则 m 满足的条件是________.

【解析】

由方程xm2+2my-2 1=1

表示椭圆,知???m2m>-0, 1>0, 解得 ??m≠2m-1,

m>12且

m≠1.

【答案】 ???m???m>12且m≠1???

5.已知椭圆的中心在原点,两焦点 F1,F2 在 x 轴上,且过点 A(-4,3).若 F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程. 【导学号:18490041】

【解】 设所求椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0).设焦点 F1(-c,0), F2(c,0)(c>0).
∵F1A⊥F2A, ∴F→1A·F→2A=0, 而F→1A=(-4+c,3), F→2A=(-4-c,3), ∴(-4+c)·(-4-c)+32=0, ∴c2=25,即 c=5.

∴F1(-5,0),F2(5,0). ∴2a=|AF1|+|AF2| = (-4+5)2+32+ (-4-5)2+32 = 10+ 90=4 10. ∴a=2 10, ∴b2=a2-c2=(2 10)2-52=15. ∴所求椭圆的标准方程为4x02 +1y52 =1.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)


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