2.1平面向量的实际背景及基本概念(教学设计)


SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修 4 第二章)

2.1 平面向量的实际背景及基本概念(教学设计) [教学目标] 一、知识与能力: 理解向量、零向量、单位向量、平行向量的概念:掌握向量的几何表示,会用字母表示向量;理解相等向量与 共线向量的含义. 二、过程与方法: 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景;渗透数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观: 培养对现实世界中的数学现象的好奇心,学习从数学角度发现和提出问题. [教学重点] 向量的概念,向量的几何表示. [教学难点] 向量的概念. [教学要求] 向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手,物理背景是力、速度、加速度等概念,几何背景是有向线段。 了解这些物理背景和几何背景,对于学生理解向量和运用向量解决实际问题都是十分重要的。 [教学过程] 一、创设情境,新课引入 问题 1:我们已经知道位移是既有大小,又有方向的量。请再举出一些这样的量. 学生思考讨论,举出物理学中既有大小,又有方向的量, 例如力,包括重力 G、浮力 F、拉力 F 等。 在学生讨论的基础上,抽象概括出向量的概念: 数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量,而把那些只有大小,没有方向的量,称为数量(或标量)。 教师提问,学生回答,并再次强调向量的两要素。有学生总结判断方法。 课堂练习 1 :判定下列各量中哪些是向量:( 1 )浮力;( 2 )密度;( 3 )质量;( 4 )路程;( 5 )面积; (6)电流强度. 二、师生互动,新课讲解: 向量的表示 1.几何表示:用有向线段表示向量,以 A 为起点, B 为终点的向量记作向量 AB ,注意起点在前,终点在后。 2.字母表示:印刷体可用黑体小写字母 a, b, c 3.图示表示: 表示向量,手写时写成带箭头的小写字母,如 a 。

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4.向量的模 向量的长度称为向量的模,如向量 AB 的模记作 | AB | ,向量 a 的模记作 | a | 。 零向量:长度等于 0 的向量叫做零向量,记作 0 。 单位向量:长度等于 1 的向量叫做单位向量。 思考:两个向量能否比较大小?两个向量的模能否比较大小? 5.平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量 a, b 平行,通常记作 a / /b 。 规定:零向量与任一向量平行,即对于任意向量 a ,都有 0 / /a 。 例 1(课本 P75 例 1) 试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用向量表示 A 地至 B, C 两地的位移, 并求出 A 地至 B, C 两地的实际距离(精确到 1km)。

变式训练 1: (1)某人东行 100 米,后转南行 100 3 米,则这时他位移的方向是__________.(东偏南 60? ) (2)某人向正东方向走 3 千米,再向正北方向走 4 千米,此人走过的路程是________,其位移的长度是___________. (7 千米、5 千米) 6.相等向量的概念 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 如图,有向线段表示的向量 a 与 b 相等,记作 a=b. 任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。平面上,两个长度 相等且指向一致的有向线段表示同一个向量,因为向量完全由它的方向和模确定。 提出问题:怎样的向量是相等向量?教师演示,让学生归纳定义。 7.共线向量 如图,a,b,c 是一组平行向量,任作一条与 a 所在直线平行的直线 l,在 l 上任取一点 O,则可在 l 上分别作出
OA ? a, OB ? b, OC ? c,

可见任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量。 例 2:
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(1)向量 AB 和向量 BA ,这两个向量相等吗?这两个向量的模相等吗? (2)用有向线段表示两个相等的向量,如果它们的起点相同,那么它们的终点是否相同? (3)如果 AB ? DC ,四边形 ABCD 一定是平行四边形吗? 变式训练 2: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例 3:判断下列说法是否正确,并说明理由: (1)方向相同或相反的非零向量叫平行向量;(V) (2)长度相等且方向相同的向量叫相等向量;(V) (3)向量的模是一个正实数;(x) (4)若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;(x) (5)零向量只有大小没有方向。(v) 变式训练 3:下列各种情况中向量终点各构成什么图形? (1)把所有单位向量起点平移到同一点; (2)把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一起点; (3)把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点. 解:(1)单位圆; (2)两个点(相距两个单位长度); (3)构成一条直线.

例 4(课本 P76 例 2) 如图,设 O 是正六边形 图中与 OA, OB, OC 相等的向量. 解: OA ? CB ? DO ;
OB ? DC ? EO ; OC ? AB ? ED ? FO .

ABCDEF 的中心,分别写出

变式训练 4:下列命题正确的是( C ) A.a与b共线,b与c共线,则a与 c B. C.向量a与b不共线,则a与b
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D.有相同起点的两个非零向量不平行 课堂练习 2:课本 P77 练习 NO:1、2、3 三、课堂小结,巩固反思 1. 在不改变长度和方向的前提下,向量可以在空间自由移动; 2. 相等向量:长度(模)相等且方向相同的向量; 3. 共线向量:方向相同或相反的向量,也叫平行向量。 四、课时必记: 1、向量 3、平行向量: 2、零向量、单位向量概念: 4、相等向量:

5、共线向量与平行向量关系: 五、分层作业: A 组: 1、(课本 P77 习题 2.1 A 组 NO:1)(直接做在课本题目旁边) 2、(课本 P77 习题 2.1 A 组 NO:2)(直接做在课本题目旁边) 3、(课本 P77 习题 2.1 A 组 NO:3)(直接做在课本题目旁边) 4、(课本 P77 习题 2.1 A 组 NO:4)(直接做在课本题目旁边) 5、(课本 P77 习题 2.1 A 组 NO:5)(直接做在课本题目旁边) 6、(课本 P77 习题 2.1 A 组 NO:6)(直接做在课本题目旁边) B 组: 1、(课本 P77 习题 2.1 B 组 NO:2) 2.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上; ( ) ( ) ③任一向量与它的相反向量不相等; ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ; ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0; ) ( ) )

⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。

( ).

解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量 AB 、 AC 在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图 AC 与 BC 共线,虽起点不同,但其终点却相同. 3、下列关于零向量的说法中,错误的是(B)。 (A)零向量的长度为零 (B)零向量是没有方向的 (C)零向量的方向是任意的 (D)零向量与任一向量平行

4、 命题中,不正确的是(D)。
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(A)向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等。 (B)任一非零向量都可以平行移动。 (C)两个相等的向量,若它们的起点相同,则其终点也相同。 (D)长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量。 5、如图中 DE//BC,则下列结论正确的是(A)。 (A) CB 和 DE 共线 (B) CB 和 BA 共线 (C) BA 和 CA 共线 (D) CB 和 CA 共线

6、有下列命题中,正确的是(D)。 (A) 若 | a |?| b | ,则 a ? b (B)若 | a |?| b | ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a // b (C)若 a ? b ,则 a 与 b 就不是共线向量 C 组: 1、 一质点从平面内一点 O 出发,向北前进 a 米后,右转 20? ,再前进 a ,再右转 20? ,按此方法继续前进,求前进多 少次,该质点第一次回到 O 点. 解:(由平面几何知识易知,质点所经过的路线是一个边长为 a 的正 18 边形,所以前进 18 次后,该质点第一次回到
O 点)

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