上海市长宁区2014届高三数学一模试卷(文科,含答案)

上海市长宁区 2013—2014 学年第一学期高三教学质量检测 数学试卷(文科)
考生注意:本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.解答必须 写在答题纸上的规定区域,写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸的相应编 号的空格内填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分.
1、设 f ? x ? 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? 2 x ? x ,则 f ?1? ?
2

2、已知复数 z ? 2 ? 4i , w ? 3、已知函数 f ( x) ?

z ?1 ,则 w ? ( z ? 1) 2



x ?5 的图像关于直线 y ? x 对称,则 m ? 2x ? m x ?1 4、已知命题 p :| 1 ? |? 1 ,命题 q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不 2
必要条件,则实数 m 的范围是 5、数列 ?a n ?满足 . .

1 1 1 a1 ? 2 a 2 ? ... ? n a n ? 2n ? 5, n ? N * ,则 a n ? 2 2 2
? ?

6、一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积 是 . 7、设 ω>0,若函数 f(x)=2sinωx 在[-

, ]上单调递增,则 ω 的取值范围是_________. 3 4

8、不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共 10 只,从中任意摸出一只 小球得到是黑球的概率为 为 .

2 .则从中任意摸出 2 只小球,至少得到一只白球的概率 5

2 n 9、若 ( x ? 2 ) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项 x
是 .

10、函数 f(x)=- x ? ax ? b ? b ? 1(a, b ? R) 对任意实数 x 有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立,若
2 2

当 x ? [?1,1] 时 f ( x) ? 0 恒成立,则 b 的取值范围是_________.

11、 在△ABC 中, 内角 A, C 的对边分别是 a , c.若 a ? b ? B, b,
2 2

3bc , C ? 2 3 sin B , sin

则角 A = _________ . 12、已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7, a , b ,12,13.7,18.3,20,且总

1/4

体的中位数为 10.5,若要使该总体的方差最小,则 ab ? _______. 13、已知数列 ?a n ?, ?bn ? 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 ,b1 ,且 a1 ? b1 ? 5,

a1 , b1 ? N , 设 cn ? abn (n ? N ), 则数列 ?cn ? 的前 10 项和等于______.
14、设 a 为非零实数,偶函数 f ( x) ? x ? a | x ? m | ?1 (x?R)在区间(2,3)上存在唯一零点,
2

则实数 a 的取值范围是

.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分, 否则一律得零分.
15、下列命题中,错误的是 .. A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 B.平行于同一平面的两个不同平面平行 ( )

C.如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? D.若直线 l 不平行平面 ? ,则在平面 ? 内不存在与 l 平行的直线

x ? 3 ? 1 的解集为 P ,且 ?2 ? P ,则 a 的取值范围是 ( ) x?a C . a ? 2 或 a ? ?3 A . a ? ?3 B . ?3 ? a ? 2 D . a ? 2 或 a ? ?3 ??? ??? ???? ? ? ???? 17、 已知△ABC 为等边三角形,AB=2 , 设点 P, Q 满足 AP=? AB , AQ =(1 ? ? ) AC , ? ? R ,
16、已知 a ? R ,不等式 若 BQ ? CP = ?

??? ??? ? ?

3 ,则 ? = 2
B.





A.

1 2
x

1? 2 2

C.

1 ? 10 2

D.

?3 ? 2 2 2

18、函数 y ? 2 的定义域为 [a, b] ,值域为 [1,16] , a 变动时,方程 b ? g (a) 表示的图形可 以是 b 4 -4 O a -4 O 4 a -4 O b b 4 a -4 O 4 a b ( )

A.

B.

C.

D.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 的相应编号规定区域内写出必须的步骤. 19.(本题满分 12 分,其中(1)小题满分 6 分, (2)小题满分 6 分)
2/4

如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都相等,M、E 分别是 AB 和 AB1 的中点, 点 F 在 BC 上且满足 BF∶FC=1∶3. (1)求证:BB1∥平面 EFM; (2)求四面体 M ? BEF 的体积。

20.(本题满分 14 分,其中(1)小题满分 6 分, (2)小题满分 8 分)
??? ???? ??? ??? ? ? ? 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .
(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 tan A ?

1 ,求 tan C 的值。 2

21.(本题满分 14 分,其中(1)小题满分 7 分, (2)小题满分 7 分) 上海某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,为
了保证产品的质量,需要一边生产一边运输,这样按照目前的市场价格,每小时可获得利润 是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产运输该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产运输 900 千克该产品获得的利润最大,问:该工厂应该选取何种生产速度?并 求最大利润.

3 x

22、 (本题满分 16 分,其中(1)小题满分 4 分, (2)小题满分 6 分, (3)小题 满分 6 分) 1 a?x 已知函数 f ( x) ? ? log 2 为奇函数. x 1? x (1)求常数 a 的值;
(2)判断函数的单调性,并说明理由; (3) 函数 g (x) 的图象由函数 f (x) 的图象先向右平移 2 个单位, 再向上平移 2 个单位得到, 写出 g (x) 的一个对称中心,若 g (b) ? 1 ,求 g (4 ? b) 的值。

3/4

23、 (本题满分 18 分,其中(1)小题满分 4 分, (2)小题满分 6 分, (3)小题 满分 8 分)
设二次函数 f ( x) ? (k ? 4) x ? kx
2

( k ? R) , 对任意实数 x , f ( x) ? 6 x ? 2 恒成立; 有

数列 {a n } 满足 a n?1 ? f (a n ) . (1)求函数 f (x) 的解析式和值域; (2)证明:当 a n ? (0, ) 时,数列 {a n } 在该区间上是递增数列; (3)已知 a1 ?

1 2

1 ? ,是否存在非零整数 ? ,使得对任意 n ? N ,都有 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? n ?1 log 3 ? ?1? 2 n ?1 ? ? n 2 ? 3 ? ? log 3 ? 1 ? ? ??? ? log 3 ? 1 ? ? ?? 1 ? (?1)? ?2n log 3log1 2 恒成 1 ? ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? an ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

立,若存在,求之;若不存在,说明理由.

4/4

上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三数学期终抽测试卷答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分)
1、 ? 3 2、

5 17

3、 ? 1

4、 (2,??)

5、 ?

? 14, n ? 1 n ?1 ? 2 , n ? 2.

6、

500? (cm) 3 3

7、 (0, ] 11、

? 6

3 2

8、

13 15
2

9、 180 13、 85

10、 (??,?1) ? (2,??) 14、 ( ?

12、 10 .5

10 5 ,? ) 3 2

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)
15、D 16、D 17、A 18、B

三、解答题
19、解析:(1)证明:连结 EM、MF,∵M、E 分别是正三棱柱的棱 AB 和 AB1 的中点, ∴BB1∥ME, 又BB1 ? 平面EFM,∴BB1∥平面EFM. …………3分 …………6分

(2)正三棱柱中 B1 B ? 底面ABC ,由(1) BB1 // ME ,所以 ME ? 平面MBF , …………8 分 根据条件得出 BF ? 1, BM ? 2, ?MBF ? 60 ,所以 S ?BMF ?
0

3 ,…………10 分 2

又 EM ? 2 ,因此 VM ? BEF ? VE ? MBF ?

1 3 S ?BMF ? EM ? 。 …………12 分 3 3

??? ???? ??? ??? ? ? ? 20、(1)∵ AB ? AC ? 3BA? BC ,∴ AB?AC? A=3BA? ? B , cos BC cos
即 AC? A=3BC? B . cos cos 由正弦定理,得 …………2 分

AC BC ,∴ sin B? A=3sin A? B . …………4 分 = cos cos sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A> 0,cos B > 0 .∴ 即 tan B ? 3tan A . =3? cos B cos A …………6 分

(2)

? tan A ?

1 3 tan B ? 2 ,由(1)得 2 ,…………8 分

因此

tan C ? tan[? ? ( A ? B)] ? ? t a nA ? B) …………10 分 (

5/4

1 3 ? tan A ? tan B 2 2 ? ?8 ? ?? 1 3 1 ? tan A tan B 1? ? 2 2 = …………14 分
3 x 3 ? 0 …………4分 x

21、解:(1)根据题意, 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? 又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 因此,所求 x 的取值范围是 [3,10]. (2)设利润为 y 元,则 y ?

…………6分 …………7分

900 3 1 1 61 ?100(5x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] …………11分 x x x 6 12
…………13分

故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元.

因此该工厂应该以每小时 6 千克的速度生产才能获得最大利润,最大利润为 457500 元。 …………14 分 22、解: (1)因为函数为奇函数,所以定义域关于原点对称,由

a?x ? 0 ,得 1? x

( x ? 1)( x ? a) ? 0 ,所以 a ? 1 。
这时 f ( x) ?

…………2分

1 1? x ? log 2 满足 f (? x) ? ? f ( x) ,函数为奇函数,因此 a ? 1. x 1? x
…………4分

(2)函数为单调递减函数. f ( x) ? 法一:用单调性定义证明;

1 2 ? log 2 (?1 ? ) x x ?1

法二:利用已有函数的单调性加以说明。

? ?1 ?

2 2 1 在 x ? (?1,1) 上单调递增,因此 log 2 (?1 ? ) 单调递增,又 在 (?1,0) 及 x ?1 x ?1 x

(0,1) 上单调递减,因此函数 f (x) 在 (?1,0) 及 (0,1) 上单调递减;
法三:函数定义域为 (?1,0) ? (0,1) ,说明函数在 (0,1) 上单调递减,因为函数为奇函数,因 此函数在 (?1,0) 上也是单调递减,因此函数 f (x) 在 (?1,0) 及 (0,1) 上单调递减。 …………10分 (本题根据具体情况对照给分) (3) 因为函数 f (x) 为奇函数, 因此其图像关于坐标原点 (0,0) 对称, 根据条件得到函数 g (x) 的一个对称中心为 (2,2) ,
6/4

…………13分

因此有 g (4 ? x) ? g ( x) ? 4 ,因为 g (b) ? 1 ,因此 g (4 ? b) ? 3. …………16分

23、解:解析: (1)由 f ( x) ? 6 x ? 2 恒成立等价于 (k ? 4) x ? (k ? 6) x ? 2 ? 0 恒成立,
2

从而得:?

?k ? 4 ? 0 ?(k ? 6) ? 8(k ? 4) ? 0
2

, 化简得 ?

?k ? 4 ?(k ? 2) ? 0
2

, 从而得 k ? 2 , 所以 f ( x) ? ?2 x ? 2 x ,
2

…………3分 其值域为 (??, ] .
2

1 2

…………4分

(2)解: a n ?1 ? a n ? f (a n ) ? a n ? ?2a n ? 2a n ? a n ? ?2(a n ? ) ?
2

1 4

1 8

…………6 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 an ? (0, ) ? ? ? a n ? ? ? (a n ? ) 2 ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? 0 2 4 4 4 4 16 4 8 4 8
, …………8 分

从而得 a n ?1 ? a n ? 0 ,即 a n ?1 ? a n ,所以数列 {a n } 在区间 (0, ) 上是递增数列. …………10分 (3)由(2)知 a n ? (0, ) ,从而

1 2

1 ? a n?1 2

1 1 ? a n ? (0, ) ; 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ? ? (?2a n ? 2a n ) ? 2a n ? 2a n ? ? 2(a n ? ) 2 ,即 ? a n?1 ? 2( ? a n ) 2 ; 2 2 2 2 2
…………12分

1 2

令 bn ?

1 1 2 ? a n ,则有 bn?1 ? 2bn 且 bn ? (0, ) ; 2 2

从而有 lg bn ?1 ? 2 lg bn ? lg 2 , 可得 lg bn ?1 ? lg 2 ? 2(lg bn ? lg 2) , 所以数列 {lg bn ? lg 2} 是 lg b1 ? lg 2 ? lg

1 为首项,公比为 2 的等比数列, 3
1 n ?1 ?1? ? 2 ? lg ? ? 3 ? 3?
2 n ?1

从而得 lg bn ? lg 2 ? lg

?1? ? ? ,即 3 lg bn ? lg ? ? 2

2 n ?1



?1? ? ? 所以 3 bn ? ? ? 2

2 n ?1

1 ?1? ? ? ? 2 ?3?

2 n ?1



7/4

? ? ? 1 ? n ?1 n ?1 1 ? ? log 3 (2 ? 3 2 ) ? log 3 2 ? 2 n ?1 , 所以 ? ? 2 ? 3 2 ,所以 log 3 ? 1 bn ? 1 ?a ? ? an ? n ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? log3 ? ? ? ? ? ? ? log3 ? ? 所以, log 3 ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? ? ? 1? 2 ? n ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

1

? n log3 2 ?
n

. 1 ? 2n ? 2n ? n log 3 2 ? 1 1? 2
n ?1

2 ? ? n log3 2 即 2 (log 3 2)n ?1 ? ? ?1?
n

n ? 2? ? n log3 22? 11 ,所以, 2n ?1 ? ? ?1?

n ?1

? 恒成立。

…………15分 (1) 当 n 为奇数时,即 ? ? 2
n ?1

恒成立,当且仅当 n ? 1 时, 2n?1 有最小值1 为。?? ? 1 …………16分

(2) 当 n 为偶数时,即 ? ? ?2

n ?1

恒成立,当且仅当 n ? 2 时,有最大值 ?2 为。?? ? ?2 …………17分

所以,对任意 n ? N ,有 ?2 ? ? ? 1 。又 ? 非零整数,? ? ? ?1
?

…………18分

8/4


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