高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算同步训练新人教B版必修2

3.2.1

对数及其运算

5 分钟训练 1.对数式 x=ln2 化为指数式是( ) e x A.x =2 B.e =2 2 x C.x =e D.2 =e 答案:B 2.以下说法不正确的是( ) A.0 和负数没有对数 B.对数值可以是任意实数 C.以 a(a>0,a≠1)为底 1 的对数等于 0 D.以 3 为底 9 的对数等于±2 答案:D 2 3.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若 10=lgx,则 x=100;④若 e=lnx,则 x=e . 其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 答案:C 4.log2

1 7 +log212- log242=_____________. 2 48 1 2
解法一: log2

答案: ?

1 7 +log212- log242 2 48

1 1 1 (log27-log248)+log24+log23- log26- log27 2 2 2 1 1 1 1 1 = ? log216 ? log23+2+log23- ? log23= ? . 2 2 2 2 2
= 解法二:原式=log2( ( 10 分钟训练 1.式子 2
1 (1? log 2 5 ) 2

7 4 3

? 12 ?

1 )?? . 2 7? 6

1

的值为(

) B. 2 5 C.2+

A. 2 ? 5 答案:B 解析:原式= 2
(1?log2 5 )

5 2

D.1+

5 2

? 2(log2 2

5)

?2 5.

2.下列四个命题中,真命题是( ) 2 A.lg2lg3=lg5 B.lg 3=lg9 C.若 logaM+N=b,则 M+N=ab D.若 log2M+log3N=log2N+log3M,则 M=N 答案:D 2 解析:在对数运算的性质中,与 A 类似的一个正确等式是 lg2+lg3=lg6;B 中的 lg 3 表示 2 2 (lg3) ,它与 lg3 =lg9 不是同一个意义;C 中的 logaM+N 表示(logaM)+N,它与 loga(M+N)不

1

是同一意义;D 中等式可化为 log2M-log2N=log3M-log3N,即 log2 3.已知 11.2 =1 000,0.011 2 =1 000,那么 A.1 答案:A B.2
1
a b

M M ,所以 M=N. ? log 3 N N

1 1 ? 等于( a b
C.3
1

) D.4

解法一:用指数解.由题意 11.2= 1000a ,0.011 2= 1000b , ∴两式相除得 1000 ∴
1 1 ? a b

?

11.2 =1 000. 0.0112

1 1 ? =1. a b

解法二:用对数解.由题意,得 a×lg11.2=3,b×lg0.011 2=3,

1 1 1 ? = (lg11.2-lg0.011 2)=1. a b 3 x 3 y 3 4.若 lnx-lny=a,则 ln( ) -ln( ) 等于( 2 2 a A. B.a 2
∴ 答案:D 解析:ln(

) C.

3a 2

D.3a

x 3 y 3 x y ) -ln( ) =3(ln -ln )=3(lnx-ln2-lny+ln2)=3a. 2 2 2 2
2.778 2

5.已知 lg6=0.778 2,则 10 =______________. 答案:600 0.778 2 解析:∵lg6=0.778 2,∴10 =6. 2.778 2 2 0.778 2 ∴10 =10 ·10 =100×6=600. a 6.(1)已知 3 =2,用 a 表示 log34-log36; (2)已知 log32=a,3 =5,用 a、b 表示 log3 30 . 解:(1)∵3 =2,∴a=log32. ∴log34-log36=log3 (2)∵3 =5, ∴b=log35. 又∵log32=a,
b a b

2 =log32-1=a-1. 3

1 log3(2×3×5) 2 1 1 = (log32+log33+log35)= (a+b+1). 2 2
∴log3 30 = 30 分钟训练 a b c 1.已知 a、b、c 为非零实数,且 3 =4 =6 ,那么( A. )

1 1 1 ? ? c a b

B.

2 2 1 ? ? c a b
2

C.

1 2 2 ? ? c a b
a b c

D.

2 1 2 ? ? c a b
1 1 1 =logk3, =logk4, =logk6.所 c a b

答案:B 解析:设 3 =4 =6 =k,则 a=log3k,b=log4k,c=log6k,得 以

2 2 1 ? ? . c a b

2.设 x、y 为非零实数,a>0 且 a≠1,则下列各式中不一定成立的个数是( ) 2 2 ①logax =2logax ②loga3>loga2 ③loga|x·y|=loga|x|·loga|y| ④logax =2loga|x| A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:①②③不一定成立,④一定成立. 6 3.(探究题)已知 f(x )=log2x,那么 f(8)的值为( ) A.

4 3

B.8

C.18

D.

1 2
1

答案:D 解析:设 t=x ,则 x= t ,所以 f(t)=log2 t ,f(8)=log2 8 6 ? log2 2 2 ?
6

1 6

1 6

1

1 . 2

4.已知函数 f(x)= ? A.9 答案:B 解析:f( B.

?log3 x, x ? 0, 1 则 f[f( ) ]的值是( x 9 x ? 0, ?3 ,
1 9
C.-9 D. ?

)

1 9

1 1 -2 1 )=log3 =-2,f(-2)=3 = . 9 9 9

5.( 创 新 题 ) 已 知 集 合 M={(x,y)|xy=1,x > 1}, 在 映 射 f:M→N 作 用 下 , 点 (x,y) 与 点 (log2x,log2y)相对应,设 u=log2x,v=log2y,则 N 的集合为( ) A.{(u,v)|u+v=0} B.{(u,v)|u+v=0,u>0} C.{(u,v)|u+v=1} D.{(u,v)|u+v=1,v>0} 答案:B 解析:∵x>1,∴log2x>0. 又∵xy=1,∴x=

1 . y 1 =-log2y, y

于是 log2x=log2

从而 log2x+log2y=0. 6.已知 log23=a,log37=b,则 log1456=_________________. 答案: 解

3 ? ab 1 ? ab
析 : 由 log23=a,log37=b, 得

3

log27=ab.log1456=

log2 56 log2 (7 ? 8) 3 ? log2 7 3 ? ab . ? ? ? log2 14 log2 (2 ? 7) 1 ? log2 7 1 ? ab
1 1 ? loga n (a>0,a≠1)的化简结果是_______________. n a a

7.式子 loga 答案:-n

n

a ? loga

解析:原式= loga a ? loga a
2

1 n

?n

? loga a
2

?

1 n

?

1 1 1 1 logaa-nlogaa- logaa= -n- =-n. n n n n

8.已知 a、b 均为正实数,且 a +b =7ab,试证明 lg 证明:∵a +b =7ab,∴(a+b) =9ab.
2 2 2

a?b 1 ? (lga+lgb). 3 2

a?b ? ab . 3 a?b 1 ? lg ab ? (lga+lgb). ∴ lg 3 2
∵a>0,b>0,∴ 9.已知二次函数 f(x)=(lga)x +2x+4lga 的最大值为 3,求 a 的值. 解:∵二次函数 f(x)有最大值,∴lga<0. 又[f(x)]max=
2 2

16lg 2 a ? 4 1 =3, ? 4 lg a ? 4 lg a lg a
1 . 4

∴4lg a-3lga-1=0. ∴lga=1 或 lga= ? ∵lga<0, ∴lga= ? ∴a= 10
? 1 4

1 . 4
.

10.2005 年 3 月 28 日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏 8.2 级地震,日本气象厅测得 为里氏 8.5 级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设 N 为地震时所散发出来的相对能 量程度,那么里氏震级 m 可以定义为 m=lgN,试比较 8.2 级和 8.5 级地震的相对能量程度. 解:设 8.2 级和 8.5 级地震的相对能量程度分别为 N1 和 N2,由题意得 ? lgN2-lgN1=0.3, 即 lg

?8.2 ? lg N 1 , 因此 ?8.5 ? lg N 2 ,

N2 N 0.3 =0.3,∴ 2 =10 ≈2. N1 N1
因此,8.5 级地震的相对能量程度约为 8.2 级地震的相对能量程度的 2 倍.
次 一 有 只 命 生 度 态 在 键 关

】 标 目 学 教 【 。 略 策 应 时 到 遇 握 掌 ; 果 结 来 带 度 态 的 同 不 折 挫 对 面 道 知 、 1 待 善 性 重 命 使 习 学 过 通 , 因 原 理 心 要 主 的 生 轻 年 少 青 解 了 、 2 】 授 讲 课 新 【 : 课 新 入 导 、 一 已 而 丝 做 合 适 证 是 只 我 错 答 回 ” ! 起 不 真 你 “ : 道 叹 赞 对 人 有 。 次 八 败 失 料 材 种 多 百 六 千 七 了 验 实 后 先 曾 , 时 灯 电 明 发 生 迪 爱 ? 么 什 了 明 说 料 材 段 这 : 一 想 。 果 结 致 导 会 又 度 态 有 人 的 同 不 , 折 挫 待 对 究 探 课 新 、 二 度 态 在 键 关 ) ? 待 确 正 样 怎 ( ? 果 结 么 什 来 带 会 态 心 的 同 不 , 折 挫 对 面 、 1 。 倒 压 所 被 终 最 协 妥 者 或 避 回 缩 退 是 总 遇 面 一 暗 灰 和 望 失 、 观 悲 到 看 能 只 , 折 挫 待 对 度 态 的 极 消 用 们 我 当 ) 1 ( 。 者 强 活 生 为 成 境 困 出 走 终 最 法 办 决 解 找 寻 因 原 析 分 考 思 静 冷 能 面 一 上 向 步 进 、 观 乐 到 看 会 就 , 折 挫 待 对 态 心 的 极 积 用 们 我 当 ) 2 ( ) 点 几 哪 到 做 要 需 向 胜 战 极 积 为 认 你 ( ? 功 成 的 业 事 得 取 , 折 挫 出 走 何 如 、 2 ) 提 前 ( 。 态 心 端 , 折 挫 视 正 ) 证 保 本 根 ( 。 气 勇 强 增 , 心 信 立 树 ) 础 基 ( 。 因 原 的 生 产 折 挫 析 分 观 客 , 待 对 静 冷 ) 力 动 ( 。 标 目 和 想 理 的 当 恰 定 确 ) 法 方 要 主 ( 。 解 排 , 导 疏 我 自 ) 法 方 效 有 ( 。 诉 倾 人 他 向 , 助 帮 求 请 ) 法 方 要 主 ( 。 力 竭 不 的 动 行 为 化 转 愁 忧 苦 痛 、 折 挫 将 , 华 升 神 精 华 升 标 目 情 移 泄 宣 理 合 、 导 疏 我 自 : 有 体 具 。 法 方 的 折 挫 胜 战 握 掌 果 结 , 态 心 的 同 不 业 事 就 , 功 成 得 取 : 态 心 极 积 成 无 事 一 , 望 失 观 悲 : 态 心 极 消 进 改 何 如 ? 式 方 理 处 和 度 态 的 折 挫 待 对 往 以 你 思 反 法 方 的 折 挫 出 走 极 积 、 3 。 态 心 端 避 回 不 , 折 挫 和 实 现 视 正 ) 1 ( 。 因 原 的 生 产 折 挫 剖 解 和 析 分 真 认 ) 2 ( 。 标 目 和 想 理 的 确 正 立 树 ) 3 ( 。 气 勇 强 增 , 心 信 立 树 ) 4 ( 次 一 有 只 命 生 美 之 命 生 采 风 绚 么 那 了 现 展 中 限 己 自 在 间 世 些 这 荣 枯 木 草 衰 繁 花 鲜 同 如 头 尽 向 走 会 。 赞 去 法 无 们 我 但 完 不 并 时 有 然 虽 ! 正 真 , 的 丽 美 是 命 生 。 丽 美 的 正 真 拜 崇 为 因 , 命 生 惜 珍 我 ” 决 解 “ 谓 所 题 问 取 换 命 己 自 用 会 往 折 挫 严 到 遇 旦 一 们 他 。 好 美 乐 快 了 视 忽 辛 艰 程 和 的 标 目 重 看 地 分 过 人 些 有 , 中 活 生 实 现 在 亡 治 不 救 抢 院 医 往 送 急 紧 被 事 。 下 跳 楼 四 从 身 转 竟 去 进 跟 有 没 后 近 当 讨 前 面 同 全 在 让 还 但 误 错 认 承 句 几 了 评 批 上 廊 走 外 室 教 到 叫 他 把 便 成 完 未 王 现 发 , 时 业 作 生 学 查 检 江 师 老 史 历 的 班 ) 九 ( 级 年 七 县 某

4

5


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