湖南省怀化市溆浦县江维中学高中数学课件:1.2.1 函数的值域 (新人教A版必修1)

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——函数的值域

例1.求下列函数的值域: R (1) y ? 1 ? 2x; 值域为 ________

(2) y ?| x | ?1, x ?{?2, ?1,0,1,2};
(3) y ?
(4) y ?

2 ; x?2 (-∞,0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ____________________________;
[0, + ∞ ) x ? 2 值域为 ____________.

{-1, 0, 1 } 值域为 ____________

直接法:由函数解析式直接看出.

例2.求下列函数的值域:

1? x ; (5) y ? 2x ? 5

7 1 (2 x ? 5) ? 7 ? 2 2 ??1? 2 解:由 y ? 2x ? 5 2 2x ? 5 7 1. 2 ? ? 0, ? y ? ? 2x ? 5 2

故函数的值域为 ( ??, ? 1 ) ? ( ? 1 , ??).

2

2

分离常数法:可将其分离出一个常数.

2x ? 1 ? 2 ? 1 ; [1] y ? 3x ? 3 3 x ? 1 2 ) ? ( 2 , ??). (??, 3 3 1 ? 4 x ? ?2(2 x ? 3) ? 7 [2] y ? 2x ? 3 2x ? 3 ? ?2 ? 7 . 2x ? 3

( ??, ?2) ? ( ?2, ??).

(6)y = x2-2x+3(-1≤x≤2).
解: 由 y = ( x -1 ) 2 + 2,
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∵ -1 ≤ x ≤ 2, 由图知:2≤y≤6. 故函数的值域为[2,6].

?
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y
6 5 4 3 2 1

?







-1

o

1

2

3

4

x

【3】已知y=2x2-x+5(0≤x≤15), 求值域. 2 1 )2 ? 39 . 解:y ? 2 x ? x ? 5 ? 2( x ? 4 8

39 ,440]. y ?[ 8

(7) y ? x ? 1 ? x

y

解:设 t ? 1 ? x , 则 x = 1- t 2 且 t ≥ 0.
y = 1- t 2 + t 1 )2 ? 5 . ? ?(t ? 2 4

? o

t

y≤5. 4 ( ??, 5 ]. 故函数的值域为 4
由图知:

换元法:利用换元化单一函数

[4] y ? 2 x ? 3 ? 4 x ? 13.
解:设 t =
4 x ? 13 t 2 ? 13 则x ? 且t ? 0 4
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y

t 2 ? 13 y? ? 3? t 2
1 2 7 ? t ?t? 2 2 1 ? ( t ? 1) 2 ? 3 2

? o
7 [ ,? ?) 2

x

由图知: ≥ 7 . y

故函数的值域为

2

(8) y=|x+1|-|1-x| 解:由 y = | x + 1 | -| x -1 | 当x≤-1时,y=-(x+1)+(x-1)=-2; 当-1<x ≤ 1时,y=(x+1)+(x-1) = 2x; 当x>1时,y=(x+1)-(x-1 )=2.y
?? 2 ? ? y ? ?2x ? 2 ?
x ? ?1 ?1? x ? 1 x ?1
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2

-1

o

1

x

由图知:-2≤y≤2. 故函数的值域为[-2, 2 ]. 数形结合法:利用图象
-2

求函数的值域,常用以下方法: ①利用观察法; ②分离常数法;
③利用配方法; ④换元法; ⑤数形结合法;

(1)已知 y=2x2-x+5(0≤x≤15),求值域.

(2) y = | 2x+1 | + | x -2 |
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(3) y ? 1? x 2x ? 5
(4) y=2x-3 ?

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4 x ? 13


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