教育最新K12浙江省温州市“十五校联合体”2018-2019学年高二数学上学期期中联考试题浙江省温州市“十五校联

小学+初中+高中

2018 学年第一学期温州“十五校联合体”期中考试联考 高二年级数学学科 试题

考生须知: 1.本卷共 4 页满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字; 3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.若直线过点 A(1,2),B(2,3),则此直线 AB 的倾斜角是 ( A.30° B.45° C.60° ) D. 0 ) ) D.90°

2.两条直线 y=ax-2 与 y=x+1 互相垂直,则 a 等于 ( A.2 B.1 C. -1

3.已知点 Q 是点 P(5,4,3)在平面 xOy 上的射影,则线段 PQ 的长等于 ( A.2 B.3 C.4 D.5

4.设α ,β 是两个不同的平面,l,m 是两条不同的直线,且 l ? α ,m? β A.若 l⊥β ,则α ⊥β C.若 l∥β ,则α ∥β B.若α ⊥β ,则 l⊥m D.若α ∥β ,则 l∥m





5.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,且此多面体的体积 V ? 6cm3 ,则 a ? ( A. 9 B.3 C.6 D.4 a 正视图 2



2 侧视图

俯视图 (第 5 题)

小学+初中+高中

小学+初中+高中 6.已知平面α ⊥平面β ,α ∩β =l,点 P∈l,则下列说法中,正确的个数是( ①过 P 与 l 垂直的直线在α 内; ②过 P 与β 垂直的直线在α 内; ③过 P 与 l 垂直的直线必与α 垂直; ④过 P 与β 垂直的直线必与 l 垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 )

7.矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球的表面积为( A. ) B.
2 2

500? 3

100? 3

C. 100?

D. 400? )

8.当点 P 在圆 x +y =1 上变动时,它与定点 Q(-3,0)的连线 PQ 的中点的轨迹方程是 ( A.(x+3)2+y2=4 C.(2x-3)2+4y2=1 B.(x-3)2+y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1

9.已知直角三角形 ABC ,其三边分为 a , b ,c ,( a ? b ? c ).分别以三角形的 a 边, b 边,c 边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别 为 S1 , S 2 , S 3 和 V1 ,V2 ,V3 ,则它们的关系为 ( A. S1 ? S 2 ? S 3 , V1 ? V2 ? V3 C. S1 ? S 2 ? S 3 , 10.已知在矩形 射影在 分别为 A. 中, ) B. S1 ? S 2 ? S 3 ,

V1 ? V2 ? V3

V1 ? V2 ? V3

D. S1 ? S 2 ? S 3 , V1 ? V2 ? V3 ,使得点 在平面 与平面 上的

,沿直线 BD 将△ABD 折成 的大小为 ,直线

内(不含边界),设二面角 ,则( ) B. C.

所成的角

D.

非选择题部分 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共 36 分.) 11.面数最少的棱台为_____棱台;共有_____个面围成. 12.已知点 A(3,1) 关于点 B(1,3) 的对称点 C 的坐标为_____;直线 AB 的方程是_____. 13. 已知两定点 A(?2,0) ,B(1,0) , 如果动点 P 满足 PA ? PB , 则点 P 的轨迹方程是_____; 如果动点 P 满 足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹方程是_____.

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小学+初中+高中 14.已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 4 ,直线 m : y ? x ? b ,当直线 m 与圆相切时, b ? 上至少有三个点到直线 m 的距 离都是 1 时,则 b 的取值范围是 .

;当圆 C

15.正方形 ABCD 的顶点坐标是 A( 0,0 ), B( 1,0 ),C( 1,1 ), D( 0,1 ), P( x ,y )是坐标 平面上的动点,且 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1, 则 AP ? BP ? CP ? DP 的最小值是_____. 16.若圆 x 2 ? y 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4my ? 4m 2 ? 8 ? 0 相切,则实数

m 的取值集合是_____.
17.若圆 O: x 2 ? y 2 ? 16 ,点 P 在直线 x=8 上,过 P 点引圆 O 的两条切线 PA,PB,切点为 A,B,则 ?OAB 面积 S 的取值范围是_ ____. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(本题满分 14 分)已知直线 l1:ax+by+1=0(a,b 不同时为 0 ),l2:(a -2)x+y+a=0, (Ⅰ)若 b=-3 且 l1⊥l2,求实数 a 的值; (Ⅱ)当 b=3 且 l1∥l2 时,求直线 l1 与 l2 之间的距离.

19.(本题满分 15 分)如图是一个几何体的三视图(单位:cm) (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(在空白框内作图,不要求写画法,在直观图中应标注相应 的字母); (Ⅱ)求这个几何体的表面积; (Ⅲ)设异面直线 CA' 与 BC ' 所成的角为 ? ,求 cos ? .

A 1 B
C

A?

A
C

3
正视图

B?

2
侧视图

B

A B

1 1
3
俯视图

C?
A? B?

第 19 题

小学+初中+高中

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20.(本题满分 15 分)如图,菱形 ABCD 与矩形 BDEF 所在平面互相垂直, ?BDA ? (Ⅰ)求证:CF//平面 ADE;

?
3

(Ⅱ)若二面角 A ? EF ? C 为直二面角时,求直线 BC 与平面 AEF 所成的角 ? 的正弦 值.

第 20 题 19 题

21. (本题满分 15 分)已知圆 C:(x-1) +(y-2) =25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m -4=0(m∈R). (Ⅰ)证明:不论 m 为何值时,直线 l 恒过定点; (Ⅱ)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程.

2

2

22.(本题满分 15 分)如图 ABCD 为梯形, AB // CD , ?C ? 60 ? ,点 E 在 CD 上,

AB ? EC ?

1 DE ? 2 , BD ? BC . 现将 ?ADE 沿 AE 折起, 使得平面 DBC ? 平面 ABCE . 2

(Ⅰ)求证: BD ? 平面 ABCE ; (Ⅱ)求二面角 D ? AE ? C 的平面 角的余弦值.

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D

D

E

C

E F

C

F A B A

B

第 22 题

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小学+初中+高中 2018 学年第一学期温州十五校联合体期末联考

数学参考答案 一、选择题 1. B 2.C 3. B 4.A 5. A 6. B 7.C 8.D 9.B 10. D

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 11.三 5; 12. (?1,5); x ? y ? 4 ; 13. x ? ? ;

1 , ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ; 2
16.

14.

? ?2 2; ? ? ? 2, 2 ? ;

15 . 2 2

{?

12 2 , ? , 0, 2} 5 5



17. S?OAB ? (0,4 3] . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.解:(Ⅰ)当 b=-3 时,l1:ax-3y+1=0,由 l1⊥l2 知 a(a-2)-3=0,解得 a=-1 或 a=3. (Ⅱ)当 b=3 时,l1:ax+3y+1=0, 当 l1∥l2 时,有 此时,l1 的方程为:3x+3y+1=0, 解得 a=3,

l2 的方程为:x+y+3=0,即 3x+3y+9=0,
则它们之间的距离为 d= = .

19. 解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图所 示.------------------4 分 (Ⅱ)这个几何体是直三棱柱. 由于底面 ?ABC 的高为 1,所以 AB ? 12 ? 12 ? 2 故所求全面积 S ? 2S?ABC ? SBB?C?C ? 2S ABB?A?

A
C C?

A?

2 B

3

B?

1 ? 2 ? ? 2 ?1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 8 ? 6 2 (cm2 ) . ------------------9 分 2
设异面直线 CA' 与 BC ' 所成的角为 ? ,求 cos ?
' ' (Ⅲ)取 BC 、 CC ' 和 AC 中点 D、E、F ,连接线段 DE、EF、DF ,

DE

BC ?,EF

CA?

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? ?DEF 或其补角为异面直线所成角. ------------------12 分

1 13 1 11 .过 F 作 FG ? B?C ? 交于点 G,连接线段 DG,易得 DE = BC?= ,EF = CA?= 2 2 2 2

1 37 38 , ? DF = ?DFG为Rt?DFG , FG = , DG = 2 2 2

?|cos ?DEF | ? |

DE 2 +EF 2 ? DF 2 7 143 ------------------15 分 |= 2 DE ? EF 143

20. (Ⅰ)证明: 同理 BF

AD

BC ,AD ? 面ADE ,BC ? 面ADE ? BC

面ADE

面ADE ,BC ? BF ? F ,BC ? 面BCF,BF ? 面BCF,
面BCF,CF ? 面BCF ? CF 面ADE ------------------7 分

? 面ADE

(Ⅱ)取 EF 的中点 M,连接 AC 交 BD 于点 N,由于 AE ? AF, CE ? CF , 所以

AM ? EF, CM ? EF ,

?AMC 就是二面角 A ? EF ? C 的平面角------------------9 分
当二面角 A ? EF ? C 为直二面角时, MN ? AN ?

3 BD , 2

由 CM ? 平面 AEF ,欲求直线 BC 与平面 AEF 所成的角,先求 BC 与 MC 所成的角. 连结 BM ,设 BC ? 2. 则在 ?MBC 中, CM ?

2MN ? 2 ? 3 ? 6 , MB ? 2 ,

| MC 2 ? BC 2 ? MB2 | 6 ------------------15 分 sin ? ?| cos?MCB |? ? 2MC ? BC 4

21.解:(Ⅰ)由(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,得(2x+y-7)m+x+y-4=0. 则?

?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 解得 ? ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ?1
1 2

∴直线 l 恒过定点 A(3,1). (Ⅱ)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时,有 l⊥AC,由 k AC=- ,得 l 的方程为 y-1 =2(x-3),即 2x-y-5=0.

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小学+初中+高中 22.(本题满分 15 分)

D

D

E

C

E F

C

F A B A

B

(Ⅰ)证明

DF ? AE ,BF ? AE ? AE ? 面BDF ,

又 BD ? 面BDF ? AE ? BD .------------------3 分

面BCD ? 面ABCE ,BC

AE ,BF ? AE ,? BF ? BC ,? BF ? 面BCD ,BD ? 面BCD

? BF ? BD 又? BF ? BC ? B ? BD ? 面BCEF ------------------8 分
(Ⅱ) 又

DF ? AE ,BF ? AE ? ?BFD

即为所求. ------------------10 分

DF ? 2 3,BF ? 3 ------------------12 分

在Rt?BDE中,

cos ?BFD ?

BF 1 ? DF 2

------------------15 分

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