第四讲方程与不等式


示范高中提前批 基础篇

第四讲 方程与不等式 姓名 方程主要围绕一元二次方程、高次方程、分式方程和无理方程的求解.其中最有难度就 属最后两种类型,而且这两种类型在高中的要求会比较高.解分式方程的思路主要靠去分母 或换元法将原方程化为一元二次方程来求解; 同样思路, 无理方程是通过两边平方或换元法 将原方程化为一元二次方程求解;高次方程则主要通过因式分解或换元法来求解. 一、主要知识点 方程解的意义、解二元一次方程组、解一元二次方程组、解分式方程等. 方程 例1. 解方程

x ?8 x ? 4 x ?5 x ?7 ? ? ? . x ? 10 x ? 6 x ? 7 x ? 9

例2.

解方程

1 1 1 ? 2 ? 2 ?0. x ? 11x ? 8 x ? 2 x ? 8 x ? 13 x ? 8
2

例3.

81x 2 解方程 x ? ? 40 . ( x ? 9) 2
2

例4.

解方程

2x x 2 3 4 ? ? 2 ? . 3 12 x x

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例5. 例6. 例7.

方程 x ? 3 x ?
2

当 a=

12 ? 1 , 则 x2-3x= . x ? 3x 3 a ? 时,关于 x 的方程 无解 x?3 x?a
2

解方程 4 x ? 3 ? 1 ? 3x ? 2

例8.

解方程 x 2 ? 3x ? 1 ?

2x 2 ? 6x ? 1

例9.

解方程 x 2 ? 6x ? 6 ? x x 2 ? 2x ? 2 ? 0 .

例10.

解方程 2x 2 ? 7 x ? 1 ? 2x 2 ? 9x ? 4 ? 1 .

例11.

设 m 为正数,且 x 2 ? 4 ? x ? m 有实数根,则 m 得取值范围是

.

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二、自我训练 1. 在解分式方程 式方程 2. 若 2( x ? x) ?
2 2

x x ( x ? 1) 2 ? y ,那么原方程可以转化为整 ? ? 1 ? 0 时,若设 2 2 x ?1 x x ?1
.

6 ? 1 ,则 x 2 ? x 的值是 x ?x

3. 方程 x 2 ? 6x ? 9 ? 3 ? x 的解是 4. 已知 x ?

y ?1 ? z ? 2 ?

1 ( x ? y ? z ) ,则 x ? y ? z 2

5. 若 2x 2 ? 5x ? 2 ? 2x 2 ? 5x ? 9 ? 7 ,则 2x 2 ? 5x ? 2 ? 2x 2 ? 5x ? 9 6. 对关于 x 的分式方程: ax ?

b ? c ? d (ab=cd 且 a≠0)进行求解,并运用其结论,快 x
8 ? 14; x
(3) 4 x ?

速求出以下各分式方程的解: (1) 2 x ?

6 ? 7; x

(2) 3 x ?

6 ? 5; x

(4) 7 x ?

6 ? 11 . x

7. 解下列分式方程 (1)

x 2 ? 3 4x ? 8 ? ? 3; x ? 2 x2 ? 3
2

(2)

2( x 2 ? 1) 6( x ? 1) ? 2 ? 7; x ?1 x ?1

2 5 8 ? 2 ? 2 ; x ? 6x ? 5 x ? 6x ? 8 x ? 6x ? 9 1 1 1 ? 2 ? 2 ?0. (4) 2 x ? 2 x ? 10 x ? 11x ? 10 x ? 13 x ? 10
(3)

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8. 解下列无理方程 (1) (2) (3)

4x ? 5 ? 6x ? 7 ? 0;

4 x 2 ? 7 x ? 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 11 ? x ? 4; x 2 ? 5x ? 6 ? 3x 2 ? 8x ? 5 ? 3x ? 3;

(4) 3x 2 ? 15x ? 2 x 2 ? 5x ? 1 ? 2; (5) x 2 ? 4 x ? 4 ? x x 2 ? 2 x ? 2 ? 0;

9. 如果方程

2x k x ?1 ? 2 ? 只有一个解,求 k 的值. x ?1 x ? x x

10. 关于 x 的方程

x ?1 x a ? ? 2 的解为负数, 则 a 的取值范围是 x ? 2 x ?1 x ? x ? 2

.

11. 当 a 为何值时,关于 x 的方程

x 2 ? x 2x ? a ? ? ? 0 只有一个实数根? x?2 x x( 2 ? x)

12. 当 m 为何值时,关于 x ? 2 4 x ? 1 ? m ? 0 的方程只有一个根?

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