高中数学第二章算法初步21顺序结构与选择结构教学案北师大版必修3(数学教案)

2.1 算法的基本思想 预习课本 P75~83,思考并完成以下问题 (1)算法的概念是什么? (2)算法的特征有哪些? (3)设计算法需要注意哪些问题? [新知初探] 1.算法的概念 在解决某些问题时, 需要设计出一系列可操作或可计算的步骤, 通过实施这些步骤来解 决问题,通常把这些步骤称为解决这些问题的算法.这种描述不是算法的严格定义,但是反 映了算法的基本思想. [点睛] 算法与一般意义上数学问题的解法的联系和区别 (1)联系:算法和解法是一般与特殊,抽象与具体的关系.例如,教材给出二分法求根 的算法,根据这样的求解步骤可以求得任意方程的近似根. (2)区别:算法是解决一类问题的所需程序和步骤的统称,也可以理解为数学的“通 法”,解法是解决一个具体问题的解题过程. 2.算法的主要特征 (1)有穷性:一个算法的步骤是有限的,它应在有限步操作之后停止,而不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行和得到确定的结果,而不 应当模棱两可. (3)有序性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定 的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都要 准确无误,才能解决问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的算法不是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. 1 (5)普遍性:很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决. [小试身手] 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)算法就是某个问题的解题过程.( ) ) ) (2)解决某一个具体问题时,算法不同,结果不同.( (3)算法执行步骤的次数不可以很大,否则无法实施.( 答案:(1)× (2)× (3)× 2.下列描述不能看作算法的是( ) A.做米饭需要刷锅,淘米,添水,加热这些步骤 B.洗衣机的使用说明书 C.从济南到台湾旅游,先坐火车,再坐飞机 D.解方程 2x +x-1=0 时需先判断判别式的符号 解析:选 D 因为 A、B、C 都描述了解决问题的过程,可以看作算法,而 D 只描述了一 个事实,没说明如何解决问题,不是算法. 3.下列关于算法的说法正确的是( A.某算法可以无止境地运算下去 B.一个问题的算法步骤是可逆的 C.完成一件事情的算法有且只有一种 D.算法的每一步操作都是明确的 解析:选 D 根据算法的特征进行判断.选项 A 中,由于算法具有有穷性,因此不可以 无止境地运算下去; 选项 B 中, 算法中的步骤是按顺序一步步进行下去的, 因此是不可逆的; 选项 C 中,由于算法具有不唯一性,因此完成一件事情的算法不是只有一种;D 正确,算法 中的每一个步骤应当是明确无误的,不应产生歧义. ) 2 算法的概念 [典例] 下列对算法的理解不正确的是( ) A.一个算法应包含有限的步骤,而不能是无限的 B.算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤 C.算法中的每一步都应当有效地执行,并得到确定的结果 D.一个问题只能设计出一个算法 [解析] 由算法的特征可知,D 不正确. [答案] D 2 解答这类问题的方法为特征判断法,主要从以下三方面判断: (1)看是否满足顺序性.算法实际上就是顺序化的解题过程,是指可以用计算机来解决 某一类问题的程序或步骤. (2)看是否满足明确性.算法的每一步都是确定的,而不是含糊的、模棱两可的. (3)看是否满足有限性.一个算法必须在有限步后结束.如果一个解题步骤永远不能结 束,那么就永远得不到答案.因此,有始无终的解题步骤不是算法. 此外,算法的不唯一性也要考虑到. [活学活用] 有关算法的描述有下列几种说法: ①对一类问题都有效; ②对个别问题有效; ③计算可以一步一步地进行,每一步都有唯一的结果; ④是一种通法,只要按部就班地做,总能得到结果. 其中说法正确的是________. 解析:算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤,所以①正确,② 错误.由于程序必须是明确的,有效的,而且在有限步之内完成,故③④正确.综上知,① ③④正确. 答案:①③④ 算法的设计 ? ① ?2x+y=7, [典例] 写出解方程组? ?4x+5y=11 ② ? 的一个算法. [解] (加减消元法):算法步骤如下: 1.①×5-②得(2×5-4)x=7×5-11; ⑤ 2.解⑤得 x=4; 3.①×2-②得(1×2-5)y=7×2-11; ⑥ 4.解⑥得 y=-1; 5.得到方程组的解为? ?x=4, ? ?y=-1. ? 3 设计具体问题的算法的一般步骤 (1)分析问题,找出解决问题的一般数学方法; (2)借助有关变量或参数对算法加以表述; (3)将解决问题的过程划分为若干步骤; (4)用简练的语言将这个步骤表示出来. [活学活用] 写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法. 解:算法步骤如下: 1.计算 1+2 得到 3; 2.将步骤 1 中的运算结果 3 与 3 相加得到 6; 3.将步骤 2 中的运算结果 6 与 4 相加得到 10; 4.将步骤 3 中的运算结果 10 与 5 相加得到 15; 5.将步骤 4 中的运算结果 15 与 6 相加得到 21. [层级一 学业水平达标] 1.下列对算法的理解不正确的是( A.算法只能用自然语言来描述 B.算法可以用图形方式来描述 C.算法一般是“机械的”,有时要进行大量重复的计算,它的优点是可以解决一类问 题 D.设计算法要本着简单、方便、可操作的原则 解析:选 A 算法有三种描述方式:自然语言、框图(流程图)、计算机语言,故 A 不正 确,B 正确;算法通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤,所以 C 正确;选 项 D 所给出的是设计算法的一般原则,其中最重要的原则是可操作性,即算法的可行性,不 能够执行的算法步骤是无意义的,所以 D 正确. 2.下列语句中是算法的有( ) ) ①从广州到北京旅游,先坐火车到上海

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