高三数学,一轮复习人教A版 , 第四章第3讲,平面向量的数量积,及应用举例 课件_图文

第四章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用举例 1.向量的夹角 → → (1)定义:已知两个非零向量 a 和 b,作OA=a,OB=b,则 ∠AOB 就是向量 a 与 b 的夹角. __________ (2)范围:设 θ 是向量 a 与 b 的夹角,则 0°≤θ≤180°. 同向 ;若 θ=180°, (3)共线与垂直:若 θ=0°,则 a 与 b______ 反向 ;若 θ=90°,则 a 与 b______ 垂直 . 则 a 与 b______ 2.平面向量的数量积 设两个非零向量 a,b 的夹角为 θ,则数量 定义 |a||b|· cos θ ____________________ 叫做 a 与 b 的数量积,记作 a· b 投影 |a|cos θ ___________________ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影, |b|cos θ ___________________ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos θ 意义 ___________________ 的乘积 3.向量数量积的运算律 b· a (1)a· b=________ ; a· (λb) (2)(λa)· b=λ(a· b)=______________ ; a· c+b· c (3)(a+b)· c=________________. 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ 结论 模 夹角 几何表示 a· a |a|=_______ 坐标表示 x1+y1 |a|=_______ 2 2 a· b |a||b| cos θ=_____ x1x2+y1y2 2 2 2 x2 + y x + y cos θ=_______________ 1 1 2 2 a· b=0 a⊥b 的充要条件 ____________ x1x2+y1y2=0 ____________________ 1.辨明三个易误点 (1)①0 与实数 0 的区别:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a· 0=0 ≠0; ②0 的方向是任意的, 并非没有方向, 0 与任何向量平行, 我们只定义了非零向量的垂直关系. (2)a· b=0 不能推出 a=0 或 b=0, 因为 a· b=0 时, 有可能 a⊥b. (3)a· b=a· c(a≠0)不能推出 b=c,即消去律不成立. 2.有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角,则有 a· b>0,反之不成立(因 为夹角为 0 时不成立); (2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角,则有 a· b<0,反之不成立(因 为夹角为 π 时不成立). 1.教材习题改编 已知|a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角为 120°, 则 a· b 为( D ) A.10 3 C.10 B.-10 3 D.-10 ? 1? 120°=20??-2?= ? ? [解析] a· b=|a|· |b|cos 120°=5?4?cos -10.故选 D. 2.教材习题改编 设 a=(5,-7),b=(-6,t),若 a· b=-2, 则 t 的值为( A ) A.-4 B.4 32 32 C. D.- 7 7 [解析] 由 a· b=-2 得,5?(-6)+(-7)t=-2,-7t=28,所 以 t=-4,故选 A. 3.教材习题改编 已知|a|=2,|b|=6,a· b=-6 3,则 a 与 b 的 夹角 θ 为( D ) π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 a· b -6 3 3 [解析] cos θ= = =- . |a|· |b| 2?6 2 5π 又因为 0≤θ≤π,所以 θ= ,故选 D. 6 4. 教材习题改编 已知 |a| = 2 , |b| = 5 , |a + b| = 7 ,则 a· b= 10 . ________ [解析] 因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a· b+b2 =22+2a· b+52=29+2a· b. 所以 29+2a· b=49, 所以 a· b=10. 5.教材习题改编 已知|a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角 θ=120°, -2 则向量 b 在向量 a 方向上的投影为________ . [解析] 由数量积的定义知,b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ= 4?cos 120°=-2. 平面向量数量积的运算 [典例引领] (1)设向量 a=(-1,2),b=(m,1),如果向量 a+2b 与 2a-b 平行,那么 a 与 b 的数量积等于( D ) 7 1 A.- B.- 2 2 3 5 C. D. 2 2 (2)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1, 2→ → ∠ABC=60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上, 且BE= BC, 3 29 1 → = DC → ,则AE → ?AF → 的值为________ 18 DF . 6 【解析】 (1)a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3), 1 由题意得 3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则 m=- ,所以 a· b 2 ? 1? 5 ? ? - =-1? 2 +2?1= . 2 ? ? → → (2)法一:取BA,BC为一组基底, 2→ → → → → 则AE=BE-BA= BC-BA, 3 5 → → → → → → → AF=AB+BC+CF=-BA+BC+ BA 12 7 → → =- BA+BC, 12 ?2 → ? ? 7 → →? → → → 所以AE?AF=?3BC-BA???-12BA+BC? ? ? ? ? ? ? 7? 25 → → 2? ? →

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