版高中数学第三章概率332随机数的含义与应用学案新人教B版必修3(数学教案)

3.3.2 随机数的含义与应用 [学习目标] 1.了解随机数的含义. 2.掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法. 3.会利用随机数模拟某一问题的试验来解决具体的有关概率的问题. [预习导引] 1.随机数 随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会一样. 2.计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法 建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量有关,然后设计适当的试验,并通过这个 试验的结果来确定这些量.按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特 卡罗方法. 要点一 用随机模拟法估计长度型几何概型的概率 例 1 取一根长度为 5 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,用均匀随机模拟方法估计剪 得两段的长都不小于 2 m 的概率. 解 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A. 法一 步骤是: S1 S2 S3 利用计算器或计算机产生 n 个 0~5 之间的均匀随机数,x=rand()*5. 统计出[2,3]内均匀随机数的个数 m. 则概率 P(A)的近似值为 . m n 法二 步骤是: (1)做一个带有指针的转盘,把圆周五等分,标上刻度[0,5](这里 5 和 0 重合). (2)固定指针转动转盘,或固定转盘旋转指针,记下指针在[2,3]内(表示剪断绳子位置 在[2,3]范围内)的次数 m 及试验总次数 n. (3)则概率 P(A)的近似值为 . m n 1 规律方法 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化 为随机数的范围.法二:用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时,费 力,试验次数不可能很大;法一:用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可 以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性 和规律性有更深刻的认识. 跟踪演练 1 在区间[0,3]内任取一个实数,求该实数大于 2 的概率. 解 S2 S3 S1 利用计算器或计算机产生 n 个 0~3 之间的均匀随机数,x=rand()*3. 统计出[2,3]内均匀随机数的个数 m. 则概率 P(A)的近似值为 . m n 要点二 用模拟法估计面积型的几何概率 例 2 如图所示,向边长为 4 的大正方形内投入飞镖,求飞镖落在中央边长为 2 的小正 方形内的概率.并用计算机模拟这个试验估计飞镖落在小正方形内的概率,写出算法步 骤. 解 1 = . 4 用计算机模拟这个试验,步骤如下: S1 用计数器 n 记录做了多少次投飞镖的试验,用计数器 设“飞镖落在中央小正方形内”为事件 A,由几何概型的计算公式得 P(A)= S小正方形 S大正方形 m 记录其中有多少次飞镖落入中央小正方形内.首先置 n =0,m=0. S2 用变换 rand()*4-2 产生-2~2 之间的随机数 x 表示 所投飞镖的横坐标;用变换 rand()*4-2 产生-2~2 之间 的随机数 y 表示所投飞镖的纵坐标. S3 判断(x,y)是否落在中央小正方形内,也就是看是否 满足|x|≤1,|y|≤1.如果是,则计数器 m 的值加 1,即 m=m+1.如果不是,m 的值保持 不变. S4 表示随机试验次数的计数器 n 值加 1,即 n=n+1.如果还需要继续试验,则返回步 骤 S2 继续执行,否则,程序结束. 程序结束后,事件 A 发生的频率 作为 A 的概率的近似值. 规律方法 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得概率,然后通过 解方程求得阴影部分面积的近似值. 跟踪演练 2 利用随机模拟的方法近似计算边长为 2 的正方形内切圆的面积,如图,并 m n 2 估计 π 的近似值. 解 -1. S2 S3 S4 4 统计试验总次数 N 和点落在圆内的次数 N1(满足 a +b ≤1 的点(a,b)数). 计算频率 ,即为点落在圆内的概率. 设圆的面积为 S,由几何概率公式,得 2 2 S1 利用计算机产生两组[-1,1]上的均匀随机数,a=rand()*2-1,b=rand()*2 N1 N S P= . S N1 4N 1 ∴ ≈ ,即 S≈ 即为圆面积的近似值. 4 N N 又∵S 圆=π r =π , 4N1 ∴π =S≈ ,即为圆周率 π 的近似值. 2 N 要点三 会面问题 例 3 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30~7:30 之间把报纸送到你家, 你父亲离开家去上班的时间在早上 7:00~8:00 之间,如果把“你父亲在离开家之前 能得到报纸”称为事件 A,则事件 A 的概率是多少? 解 方法一(随机模拟的方法)做两个只带有分针的圆盘, 标上时间, 分别旋转两个圆盘, 记下父亲在离家前能得到报纸的次数, 父亲在离家前能得到报纸的次数 则 P(A)= . 试验的总次数 方法二 用计算机产生随机数模拟试验.X 是 0~1 之间的均匀随机数,Y 也是 0~1 之 间的均匀随机数. 如果 Y+7>X+6.5, 即 Y>X-0.5, 那么父亲在离开家前能得到报纸. 在 计算机上做 M 次试验,查一下 Y>X-0.5 的 Y 的个数,如果为 N,则所求概率为 N/M. 规律方法 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化 为随机数的范围. 方法一用转盘产生随机数, 这种方法可以亲自动手操作, 但费时费力, 试验次数不可能很大;方法二用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自 动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规 律性有更深刻的认识. 跟踪演练 3 从甲地到乙地有一班车在 9:30 到 10:00 到达,若某人从甲地坐该班车到 乙地转乘 9:45 到 10:15 出发的汽车到丙地去,问他能赶上车的概率是多少? 解 S1 记事件 A={能赶上车}. 利用计算机或计算器产生两组均匀随机数, x=rand()*0.5+9.5,y=rand

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