2017年高中数学第二章参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第2课时圆的参数方程检测北师大版选修4_4

第二讲 第二节 第二课时 圆的参数方程 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.圆心在点(1,-3),直径为 4 的圆的参数方程为( A.? ? ?x=1+2cosθ , ?y=-3+2sinθ . ? ?x=1-2cosθ , ? ? ?y=-3+2sinθ . ? ?x=1+4cosθ , ?y=-3+4sinθ ? ? ?x=1-4cosθ , ?y=-3+4sinθ . ? ) (θ 为参数) B.? (θ 为参数) C.? (θ 为参数) D.? (θ 为参数) 解析: 由圆的参数方程的形式可得 A 正确. 答案: A 2.直线 3x-4y-9=0 与圆? A.相切 C.直线过圆心 解析: 圆心坐标为(0,0),半径为 2. 9 ∴直线不经过圆心,圆心到直线的距离为: <2. 5 ∴相交不经过圆心. 答案: D 3.曲线? 1 A. 2 C.1 解析: 因为方程? ? ?x=cosθ , ?y=sinθ . ? ?x=cosθ ? ? ?y=sinθ ?x=2cosθ ? ? ?y=2sinθ (θ 为参数)的位置关系是( B.相离 D.相交不过圆心 ) (θ 为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( 2 2 ) B. D. 2 (θ 为参数)表示的曲线是以原点为圆心,1 为半径的 圆,该圆关于 x 轴、y 轴、原点对称,不妨设圆心角 θ 为第一象限角, 1 所以圆? ?x=cosθ ? ?y=sinθ ? π? ? 上的点到两坐标轴的距离之和为 cosθ +sinθ = 2sin?θ + ?, 4? ? 其最大值为 2. 答案: D 1 ? ?x=t, 4.参数方程? 1 ? ?y=t t -1 2 (t 为参数)所表示的曲线是( ) 1 解析: 将参数方程进行消参,则有 t= , x 1 1 2 把 t= 代入 y= t -1中得, x t 当 x>0 时,x +y =1,此时 y≥0; 当 x<0 时,x +y =1,此时 y≤0. 对照选项,可知 D 正确. 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.若直线 3x+4y+m=0 与圆? ________. 解析: 由题意,知圆心(1,-2),半径 r=1. 由直线与圆相切,可知圆心到直线的距离等于半径, |m-5| 所以 d= =1,解得 m=0 或 m=10. 5 答案: 0 或 10 6.坐标平面上有动点 P( 3cost-sint,cost+ 3sint),t∈(0,π ),当 t 变化时, ?x=1+cos θ , ? ?y=-2+sin θ ? 2 2 2 2 (θ 为参数)相切,则实数 m 的值是 P 点的轨迹是________. 解析: 令 x= 3cost-sint,y=cost+ 3sint, 平方相加得:x +y =4. 2 2 ? π? 当 t∈(0,π )时,y=cost+ 3sint=2sin?t+ ? 6? ? 2 ∴-1<y≤2. 答案: x +y =4(-1<y≤2) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) π 7.设质点沿以原点为圆心,半径为 2 的圆做匀角速度运动,角速度为 rad/s.试以时 60 间 t 为参数,建立质点运动轨迹的参数方程. 解析: 如图所示,运动开始时质点位于点 A 处,此时 t=0,设动点 M(x,y)对应时刻 2 2 t, 由图可知? ?x=2cos θ , ? ? ?y=2sin θ , π 又 θ = t(t 以 s 为单位), 60 π ? ?x=2cos 60t, 故参数方程为? π y=2sin t. ? ? 60 8.圆 M 的参数方程为 x +y -4Rxcos α -4Rysin α +3R =0(R>0). (1)求该圆的圆心坐标以及半径; (2)当 R 固定,α 变化时,求圆心 M 的轨迹. 解析: (1)依题意,得圆 M 的方程为(x-2Rcos α ) +(y-2Rsin α ) =R , 故圆心坐标为 M(2Rcos α ,2Rsin α ),半径为 R. (2)当 α 变化时,圆心 M 的轨迹方程为 ? ?x=2Rcos α , ? ?y=2Rsin α ? 2 2 2 2 2 2 (其中 α 为参数), 2 2 2 两式平方相加,得 x +y =4R . 所以,圆心 M 的轨迹是圆心在原点.半径为 2R 的圆. 尖子生题库 ☆☆☆ 2 2 2 2 9.(10 分)如图所示,已知圆 O:x +y =9,圆 O1:(x-3) +y =27,求大圆被小圆截 得的劣弧 MN 的长. 3 解析: 方法一:设 O1 的参数方程为? 将上式代入圆 O 的方程得 (3+3 3cosθ ) +(3 3sinθ ) =9 化简得 cosθ =- 2 2 ?x=3+3 3cosθ ?y=3 3sinθ (0≤θ <2π ) 3 5 7 ,θ 1= π ,θ 2= π 2 6 6 7π 5π π ∠MO1N= - = 6 6 3 所以 MN 的长为 3 3· π = 3π . 3 ? ?x=3cosα ?y=3sinα ? 2 方法二:设圆 O 的参数方程为? (0≤α <2π ) 2 将上式代入圆 O1 的方程得(3cosα -3) +(3sinα ) =27 1 化简得 cosα =- , 2 2π 4 ∴α 1= ,α 2= π 3 3 4 2 2 ∴∠MON= π - π = π 3 3 3 1 π ∴∠MO1N= ∠MON= 2 3 以下解法同方法一. 方法三 由 x +y =9 与(x-3) +y =27,解得 x=- 设 M 的坐标为(3+3 3cosθ ,3 3sinθ ), 3 3 则 3+3 3cosθ =- 解得 cosθ =- . 2 2 以下解法同方法一. 若设 M 的坐标为(3cosα ,3s

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