2019年-同济大学微积分第三版8-5隐函数的求导公式-PPT精选文档_图文

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链式法则
情形1:中间变量为一元函数 情形2:中间变量为多元函数
情形3 中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形

情形1:中间变量为一元函数

? ? 复合

u??(x),v ??(x)?

z ? f (u,v)

? ?

? z?f((x),

求导
(x))?

dz dx

??

定理 如果函数u ? ?(t)及v ?? (t)都在点t 可
导,函数z ? f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数,则复合函数z ? f [? (t ),? (t )]在对应点t 可导,
且其导数可用下列公式计算:

dz ? ?z du ? ?z dv . dt ?u dt ?v dt

u

z

t

v

u

zv

t

w

d? z?zd? u?zd? v?zdw dt?udt?vdt?wdt

串联相乘,并联相加; 一元全导,多元偏导。

链条个数=项数, 复合重数=乘积因子个数

链式法则

情形2:中间变量为多元函数

u

x

z

v

y

?z ? ?z ?? u ?x ?u ? x

? ?z ? ?v , ?v ?x

?z ? ?z ? ? u ? ?z ? ? v . ?y ?u ? y ?v ? y

情形3 中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形

? ? 比如由 z ? f( u ,v ) ,u ? ( x ,y ) ,v ?(y ) 复合而成的函数
z?f(?(x,y),?(y)) 有

ux

z

v

y

?z ? ?z ?u ?x ?u ?x
?z ? ?z ?u??z dv ?y ?u?y ?v dy

因为v是y的一元函数

一、一个方程的情形

1 . F (x,y)?0

隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数,且F ( x0 , y0 ) ? 0 , Fy ( x0 , y0 ) ? 0,则方程F ( x, y) ? 0 在点P( x0 , y0 ) 的

某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续

导数的函数 y ? f ( x),它满足条件 y0 ? f ( x0 ) ,并



dy ? ? Fx .

dx Fy

隐函数的求导公式

F(x, y)?0若隐函数y=f(x)存在
证 写成复合函数

dy ? ? Fx dx Fy

F(x,f(x))?0

两边同时对x求导,得
dy Fx ? Fy dx ? 0



dy ? ? Fx

dx

Fy

例1 验证方程 x2 ? y2 ? 1 ? 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x ? 0时 y ? 1 的隐函数 y ? f ( x),并求这函数的一阶和二阶导 数在 x ? 0的值.
解 令 F (x,y)?x2?y2?1 则 Fx?2x, Fy ?2y,
F(0,1)?0, F y(0,1)?2?0,
依 定 理 知 方 程 x2?y2?1?0在 点 (0,1)的 某 邻 域 内 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 可 导 、 且 x?0时 y?1的 函 数 y?f(x).

求这函数的一阶和二阶导 数在x=0的值.

F (x,y)?x2?y2?1 Fx?2x, Fy ?2y,

函 数 的 一 阶 和 二 阶 导 数 为

dy ? ? Fx ? ? x ,

dx F y

y

dy ? 0, dx x?0

d2 y dx2

?

?

y

? xy? y2

??

y?

x?? ? ? y2

x ?? y?

?

?

x2 ? y2 y3

1 ? ? y3 ,

d2y

1

dx2

?? y3

y?1 ??1.

x?0

练习 P100 2. 已知ln x2 ? y2 ? arctan y , x
求dy . dx
解 令 F(x,y)?lnx2?y2?arcyt,an x



Fx(x,y)?xx2??yy2,

y?x Fy(x, y)?x2 ?y2,

dy ? ? Fx ? ? x ? y . dx F y y ? x

2 . F (x ,y ,z)? 0

隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点P( x0 ,
y0 , z0 )的某一邻域内有连续的偏导数,且
F ( x0 , y0 , z0 ) ? 0,Fz ( x0 , y0 , z0 ) ? 0, 则方程F ( x, y, z) ? 0在点P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域
内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的二

元函数z ? f ( x, y),它满足条件z0 ? f ( x0, y0 ),
并有

?z ? ? Fx , ?x Fz

?z ? ? Fy . ?y Fz

?z ??Fx , ?z ??Fy ?x Fz ?y Fz
设 z ? f ( x ,y ) 是 方 程 F ( x ,y , z ) ? 0 所 确 定 的 隐8 函数 则

F (x ,y ,f(x ,y ))? 0

两边对 x 求偏导

F x ? Fz

?z ?x

?0

在 (x0,y0,z0)的某邻 Fz?0域内

?z ? ? Fx ?x Fz

同样可得 ? z ? ? Fy ? y Fz

?z ??Fx , ?z ??Fy ?x Fz ?y Fz
例 3 设 x2?y2?z2?4z?0, 求 ? ? x 2z 2.

解 令 F (x ,y ,z )? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 z ,



Fx?2x, Fz?2z?4,

?z ??Fx ? x , ?x Fz 2?z

? 2z ?x 2

(2 ? z) ? x ?z

?

?x (2 ? z)2

(2? z) ? x? x

?

2?z (2? z)2

?

(2? z)2 ? (2? z)3

x2

.

练习 P100 5. 8.

三、小结
隐函数的求导法则(分以下两种情况) (1 ) F (x ,y )? 0
(2 )F (x ,y ,z )? 0

思考题
已知x ??(y),其中? 为可微函数,
zz 求x?z ? y?z ??
?x ?y

思考题解答

? 记 F ( x ,y ,z ) ? x ? ( y ) , zz

则Fx

?

1, z

??xF zy????F F?xz?(?zyx)??1z,yz??F (zyz)?, ? z??2 yzx??? ??FF(zy zy )??(x? ?z?2 yz)?y,??(?(zyzy)),

于 是 x ? z ? y ? z ? z . ? x? y

练习题
一、填空题:
1、设ln x 2 ? y 2 ? arctan y ,则 x
dy ? ___________________________. dx 2、设z x ? y z ,则
?z ? ___________________________, ?x ?z ?___________________________. ?y 二、设2 sin( x ? 2 y ? 3z) ? x ? 2 y ? 3z,
证明:?z ? ?z ? 1. ?x ?y


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