2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量基本定理作业 苏教版选修2-1

3.1.3 空间向量基本定理
[基础达标] 1.在以下 3 个命题中,真命题的个数是________. ①三个非零向量 a,b,c 不能构成空间的一个基底,则 a,b,c 共面; ②若两个非零向量 a,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a,b 共线; ③若 a,b 是两个不共线向量,而 c=λ a+μ b(λ ,μ ∈R 且 λ μ ≠0),则{a,b,c}构成 空间的一个基底. 解析:命题①②是真命题,命题③是假命题. 答案:2 2. 若 向 量 {a ,b ,c} 是空 间的 一 个 基 底, 则 下列 各组 中 不 能 构成 空 间一 个基 底 的 是 ________.(填序号) ①a,2b,3c;②a+2b,2b+3c,3a-9c;③a+b+c,b,c. 解析:在②中 3a-9c=3(a+2b)-3(2b+3c),由共面定理知,此三个向量共面. 答案:② 3.下列命题中的真命题是__________.(填序号) ①空间中的任何一个向量都可用 a、b、c 表示; ②空间中的任何一个向量都可用基向量 a、b、c 表示; ③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示; ④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示. 解析:共面向量定理指出,平面内任一向量都可以用平面内不共线的两个向量线性表示, 而命题④中缺少“不共线”这一重要条件,故为假命题. 空间向量基本定理告诉我们空间中任一向量都可用不共面的三个向量线性表示.①中没有 强调“不共面”,故为假命题.②③两命题为真命题. 答案:②③ 4.已知平行六面体 OABC-O′A′B′C′中,→OA=a,OO→′=b,→OC=c,D 是四边形 OABC 的 中心,则可用 a,b,c 表示→OD=__________. 解析:
结合图形,充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则,利用基向量 a、b、c 表 示O→D.仔细观察会发现→OD与→OA、→OC是共面向量,故它们三者之间具有线性关系,即可得到答案.
答案:12a+12c 5.在空间中,把△ABC 平移到△A′B′C′,连结对应顶点及 BC′,设AA→′=a,A→B=b,→AC =c,M 是 BC′的中点,则A→M=________. 解析:取 B′C′中点记为 N,连结 MN,A′N,则→AM=A→A′+A′ →N+→NM=a+12(A′→B′+A′→C′) +12B→′B=a+12(b+c)-12a=12(a+b+c).
1

答案:12(a+b+c) 6.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 O 为 AC1 与 BD1 的交点,若A→O=x→AB+y→BC+zC→C1,则 x+ y+z=________. 解析:A→O=12A→C1=12(A→B+B→C+C→C1). 答案:32 7.从空间一点 P 引出三条射线 PA,PB,PC,在 PA,PB,PC 上分别取→PQ=a,P→R=b,→PS=c, 点 G 在 PQ 上,且 PG=2GQ,H 为 RS 的中点,则用基底{a,b,c}表示向量→GH,得G→H=________. 解析:G→H=G→Q+Q→H=G→Q+Q→P+P→H =G→Q+Q→P+12(→PR+→PS) =13a-a+12(b+c)=-23a+12(b+c). 答案:-23a+12(b+c) 8.
已知正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E 是底面 A′B′C′D′的中心,a=12A→A′,b=12→AB, c=13→AD,→AE=xa +yb+z c,则 x,y,z 的值分别为__________.
解析:由题意知A→A′,→AB,→AD为不共面向量, 而A→E=A→A′+A→′E=AA→′+12(A′→B′+A′→D′) =AA→′+12A→B+12A→D=2a+b+32c, ∴x=2,y=1,z=32.
3 答案:2,1,2
9.如图,已知平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中,点 M 是棱 AA′的中点,点 G 在对角线 A′C 上且 CG∶GA′=2∶1,设→CD=a,C→B=b,CC→′=c,试用向量 a,b,c 表示向量C→A、CA→′、→CM、 →CG.
解:→CA=→CB+→CD=a+b;
2

C→A′=C→A+C→C′=a+b+c; →CM=→CA+→AM=→CA+12CC→′=a+b+12c; →CG=23CA→′=23(a+b+c). 10.已知 PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,G 为△PDC 的重心,→AB=i,A→D=j,→AP=k, 试用基底{i,j,k}表示P→G、B→G、A→G. 解:
如图所示,连结 PG.并延长交 CD 于 E 则 E 为 CD 中点, ①P→G=23→PE=23×12(→PC+→PD) =13(i+j-k+j-k) =13i+23j-23k. ②B→G=B→P+P→G=k-i+13i+23j-23k =-23i+23j+13k. ③A→G=A→B+B→G=i+(-23i+23j+13k) =13i+23j+13k.
[能力提升]
1.
如图所示,M、N 分别是四面体 O-ABC 的棱 OA、BC 的中点,2MQ=QN,用向量→OA、→OB、→OC表 示O→Q,则→OQ=________.
解析:O→Q=O→M+M→Q =12→OA+13→MN =12→OA+13(O→N-O→M)=12→OA+13(O→N-12O→A) =13→OA+13×12(→OB+→OC)=13O→A+16→OB+16→OC.
3

答案:13→OA+16→OB+16O→C

2.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,若 a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d =e1+2e2+3e3,且 d=α a+β b+γ c,则 α 、β 、γ 分别为__________.
解析:由题意,a、b、c 为三个不共面的向量,所以由空间向量定理可知必然存在惟一的

有序实数对{α ,β ,γ },使 d=α a+β b+γ c.

∴d=α (e1+e2+e3)+β (e1+e2-e3)+γ (e1-e2+e3)

=(α +β +γ )e1+(α +β -γ )e2+(α -β +γ )e3.

又∵d=e1+2e2+3e3,

?? ??α +β +γ =1 ? ∴?α +β -γ =2?

5 α =2, β =-1,

?? ??α -β +γ =3

γ =-12.

答案:52、-1、-12

3.

如图所示,平行六面体 OABC-O′A′B′C′,且→OA=a,O→C=b,OO→′=c,用 a,b,c 表 示如下向量:
(1)O→B′、O′ →B、A→C′; (2)→GH(G、H 分别是侧面 BB′C′C 和 O′A′B′C′的中心). 解:(1)O→B′=O→B+BB→′=→OA+→OC+O→O′=a+b+c; O→′B=O′ →O+→OB=O→′O+O→A+O→C =-c+a+b=a+b-c; A→C′=A→C+C→C′=→AB+→AO+A→A′ =O→C+A→A′-→OA=b+c-a. (2)→GH=→GO+→OH=-O→G+O→H =-12(O→B′+→OC)+12(O→B′+OO→′) =-12(a+b+c+b)+12(a+b+c+c) =12(c-b). 4.(创新题)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设A→B=a,→AD=b,A→A1=c,E,F 分别是 AD1, BD 的中点. (1)用向量 a,b,c,表示D→1B,→EF; (2)若D→1F=xa+yb+zc 求实数 x,y,z.
4

解:(1)D→1B=D→1D+→DB =-A→A1+A→B-A→D =a-b-c. →EF=→EA+→AF =12D→1A+12A→C =-12(A→A1+→AD)+12(A→B+A→D)=12(a-c). (2)D→1F=12(D→1D+D→1B)=12(-A→A1+→AB-A→D1) =12(-A→A1+→AB-→AD+D→1D)=12a-12b-c, ∴x=12,y=-12,z=-1.
5


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