新课标高一数学必修4任意角的三角函数

高一数学必修 4 任意角的三角函数
第一课时:1.2.1 任意角的三角函数(一) 教学要求:掌握任意角的三角函数的定义;已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值. 教学重点:熟练求值. 教学难点:理解定义. 教学过程: 一、复习准备: 1. 用弧度制写出终边在下列位置的角的集合:坐标轴上; 第二、四象限 2. 锐角的三角函数如何定义? 3. 讨论:以上定义适应任意角的三角函数吗?如何定义? 二、讲授新课: 1. 教学任意角的三角函数的定义: ① 讨论:锐角α的终边交单位圆于点 P (x,y)的坐标与α三角函数有何关系? → 推广:任意角 ② 定义:设α是一个任意大小的角,角α的终边与单位圆交于点 P (x, y), 则 sinα=y,cosα=x,tanα=

y . x

② 讨论:与点 P 的位置是否有关? α与 2kπ+α的三角函数值有何关系? 当α的终边落在 x 轴、y 轴上时,哪些三角函数值无意义? 任何实数是不是有三角函数值? 三个三角函数的定义域情况是怎样的? 2. 教学例题: ① 出示例 1:求下列各角的正弦、余弦、正切值 3π、 -2π、

3? 、 2



7? 2

讨论求法→试求(学生板演)→订正→小结:画终边与单位圆,求交点,求值. ② 思考:已知角终边上任一点 P (x, y),如何求它的三角函数值呢? 结论:先求 r ? x 2 ? y 2 ;再按公式 sin ? ?

y x y 、 cos ? ? 、 tan ? ? . r r x

③ 出示例 2:已知角α的终边过点 P(-2,-4),求α的正弦、余弦和正切值. (学生试求→订正→小结解法:先求 r,再按定义求. ) ④ 讨论:正弦、余弦、正切值在各个象限的符号情况? ⑤ 讨论:终边相同的角同一三角函数的值有何关系? 结论: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? , tan(? ? 2k? ) ? tan ? ,其中 k ? Z . 作用:把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数值问题. ⑥ 练习:求下列各角的正弦、余弦和正切值:

7? 9? 、- . 3 4

3. 小结:单位圆定义任意角的三角函数;由终边上任一点求任意角的三角函数;各象限的符号 情况;诱导公式(一). 三、巩固练习: 1. 已知角α的终边在直线 y=2x 上,求α的正弦、余弦和正切值. 2. 口答下列各特殊角的正弦、余弦、正切值:0°、90°、180°、270°、360°. 3. 已知点 P(3a, ?4a) (a ? 0) ,在角α的终边上,求 sin ? 、 cos? 、 tan ? 的值 4. 作业:书 P17 1、2、3 题. 第二课时:1.2.1 任意角的三角函数(二) 教学要求:掌握三角函数的符号,灵活运用诱导公式(一) ,把求任意角的三角函数值转化为求 0°~360°间的三角函数值. 教学重点:灵活运用诱导公式. 教学难点:理解转化. 教学过程:
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一、复习准备: 1. 提问:三个三角函数的定义、定义域及在各个象限的符号情况怎样?(填表形式) 2. 在 0~2π或 0°~360°间求出与下列终边相同的角: 750°、

11? 17? 、- 、-1020° 6 4

二、讲授新课: 1. 教学三角函数值的符号: ① 讨论:各个象限的符号情况? ② 出示例:判别下列各三角函数值的符号,然后用计算器验证. sin250°、cos(-

?
4

) 、tan(-666°36’)、tan

11? 17? 、sin 、cos1020° 3 4

(分析:如何用诱导公式(1)转化到 0°~360°?→ 试练 → 订正) ③ 出示例:根据下列已知,判别θ所在象限: sinθ>0 且 tanθ<0 、 tanθ×cosθ<0 (口答→分析思路) 2. 教学诱导公式的运用: ① 讨论:根据三角函数的定义,θ与 2kπ+θ的三个三角函数情况怎样? ② 提出:诱导公式一(三个) 分析作用:求任意角的三角函数转化到 0~2π间求值. ③ 出示例:求下列各角的三角函数的值(正弦、余弦、正切). 750°、

11? 17? 、- 、-1020° 6 4

(教师示例 750°→学生试求其它三个→订正) cos x tan x ④ 练习:函数 y ? 的值域. ? cos x tan x 解法:分象限讨论,去绝对值. sin x cos x | tan x | ? ? 变式:求 y ? 的值域. sin x cos x tan x 3. 小结:三角函数的符号及诱导公式的运用;利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为 0°~360°而求,或用计算器求. 三、巩固练习: 1. 已知θ∈(

5? ,3π) ,求: 2

3 tan ? ?log9 4 + 4tan? ? 2tan? ?1 ? 1 的值. 2. 解方程:|sinx|=-sinx (思路:根据各象限的符号,分情况讨论) 3. 作业:教材 P17 5、7 题. 第三课时:用单位圆中的线段表示三角函数值 教学要求:理解正弦线、余弦线、正切线的概念,掌握作已知角α的正弦线、余弦线和正切线. 教学重点:掌握作已知角α的正弦线、余弦线、正切线. 教学难点:理解正弦线、余弦线、正切线的概念. 教学过程: 一、复习准备: 1. 什么叫单位圆?(以原点为圆心,单位长为半径作的圆) 2. 三个三角函数是怎样定义的?

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二、讲授新课: 1. 教学三角函数线概念: D y ① 定义有向线段:直线规定方向→轴;线段规定方向→有向 线段; C A B ② 讨论有向线段表示:与轴正向同为正,否则为负. x ③ 练习:如图,AB= BA= OC= CD= DC= ④ 画出下列角度与单位圆的交点 P,并作 x 轴的垂线 PM,写 出 PM、OM 的值,并与正弦、余弦值比较: 120°、240° ⑤ 定义正余弦线:设角α的终边与单位圆交点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,则有向线段 MP 为正弦线,OM 为余弦线. ⑥ 练习:画出各象限终边角的正弦线、余弦线,并分析符号. ⑦ 定义正切线:过点 A(1,0)作单位圆的切线,与终边或延长线交于 T,则有向线段 AT 叫角α 的正切线. ⑧ 练习:画出各象限终边角的正切线,并分析符号. 2. 讨论问题: ① 讨论一:三角函数线为什么可以表示三角函数值? 先单位圆中计算得 sinα=y,cosα=x; 比较 MP 的长度与|y|、OM 的长度与|x|; 比较 MP 的符号与 y 的符号,OM 的符号与 x 的符号; 所以 sinα=y=MP, cosα=x=OM, tanα=

y MP AT = = =AT (由三角形相似得) x OM OA

② 讨论二:α终边在坐标轴上时的正弦线、余弦线、正切线的情况? 3. 教学例题: ① 出示例:已知

?
4

?? ?

?
2

,试比较 ? , tan ? ,sin ? ,cos ? 的大小.

(分析: 如何通过三角函数线比较? → 小结: 利用三角函数线比大小 → 变式: ? ? ? 0 ② 练习:利用三角函数线比较下列各组数的大小: sin 4. 小结:三角函数线概念与作法;三角函数线的运用. 三、巩固练习: 1. 作

?
4



2? 4? 2? 4? 与 sin ; tan 与 tan . 3 5 3 5

?
4



5? 、-40°的正弦线、余弦线、正切线. 3
3 1 1 ; tanx ? ; cos x ? ? 3 2 2

2. 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围: sinx=

3. 作业:教材 P19 第 2 题. 第四课时 1.2.2 同角三角函数的基本关系(一) 教学要求:掌握同角三角函数的三个基本关系式,掌握已知一个角的某一个三角函数值,求这 个角的其他三角函数值. 教学重点:运用关系式. 教学难点:理解同角三角函数关系式. 教学过程: 一、复习准备: 1.提问:任意角的三个三角函数是怎样定义的? 2.提问:初中研究锐角的三个三角函数,它们有怎样的关系式? 二、讲授新课: 1. 教学同角三角函数的三个基本关系式: ① 讨论:从三个三角函数的定义,你能发现哪些三角函数有平方关系?哪些三角函数与其他三 角函数有商数关系?

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② 结论:平方关系 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ;商数关系

sin ? ? tan ? . cos?

③ 讨论:利用三角函数线的定义, 如何推导同角三角函数的基本关系? ④ 讨论几个问题: A.上述两个关系式,在一些什么情况下成立? B.“sin α+cos β=1”对吗? C. 同角三角函数关系式可以解决哪些问题? (求值:已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数的值; 化简;证明) 2. 教学例题: ① 出示例 1:已知 cosα=-
2 2

3 ,并且它是第三象限的角,求 sinα,tanα的值. 5

思考:由已知可以根据哪些关系式分别求其它三角函数值?注意什么问题? 解答→订正→小结:关系式的运用;注意符号问题; 再思考:假如没有已知所在象限,结果将怎样?假如是填空选择,有何捷径求解? ② 练习:已知 sinα=

5 ,求 cosα,tanα的值. 13

小结:注意符号(象限确定) ;同角三基本式的运用(分析联系) ;知一求二. 3. 练习: ① 若 tanα= m , ? ? ? ? 2? ,求 sinα. ② 化简 cosθtanθ. (化简方法:切化弦) ③ 化简下列各式: 1 ? cos2 1100? 4. 小结:① 给值求值:已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角 函数值. ② 化简的要求(化简后的式子,三角函数的种类最少;分母不含根式;项数最少;能 求出值的求出值) 三、巩固练习: 1. 已知β的一个三角函数值,求其它三角函数值:cosβ=

3 2

1 ; tanβ=-4 3

2. 已知 tanα=m(m≠0) ,求 sinα,cosα的值. (分象限讨论) 3. 作业:教材 P23 练习 1、2、4 题. 第五课时:1.2.2 同角三角函数的基本关系(2) 教学要求:能熟练运用同角三角函数的三个基本关系式,掌握已知一个角的某一个三角函数值, 求这个角的其它三角函数值;能利用关系式化简三角函数式. 能够利用三角函数的基本关系式 证明有关的三角恒等式. 教学重点:运用公式. 教学难点:合理选用关系式. 教学过程: 一、复习准备: 1. 根据下列条件,求角α的其它三角函数值.:sinα=- 2. 提问:同一个角的三个三角函数有哪些基本关系式? 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例 1:用多种方法证明:

4 ,α在第四象限; tanα=2 5

1 ? sin x cos x = cos x 1 ? sin x

学生讨论证法,逐一补充完整

1 ? sin x (1 ? sin x)cos x = =? cos x ? cos x cos x 1 ? sin x (1 ? sin x)(1 ? sin x) 证法二: = =? cos x ? (1 ? sin x) cos x
证法一:
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证法三、四:从右边开始,?? 证法五:(1+sinx)(1-sinx)=? ② 小结方法:由其它等式而转化(先证交叉乘积相等) ;或证和(差) ,或证商→比较法;直接 证明左边等于右边. ③ 练习:求证:sin x tan x =tan x-sin x.
2 2 2 2

3 sin ? ? cos? ,求α的其它三角函数的值;求 的值. 3 sin ? ? cos? 分析:如何运用同角三角函数基本关系式求解? 变式:如何直接求第 2 问? (弦化切) 训练: sin ? ?cos ? (技巧:切用分母 1) 2 . 练习: ① 已知 sin? =2sinβ,tan? =3tanβ,求 cos 2 ? 的值. 4 4 ② 已知 sin ? + cos ? =1,求 sinα+cosα的值. 3. 小结:注意象限定符号和联系关系式. 灵活运用公式,注意平方关系,切化弦;化繁为简. 三、巩固练习: 1 1. 已知α是第二象限角,且 tan(2π+α)= ? , 求 cosα和 sinα的值. 2 6? 2 2. 已知 sin ? = ,求 cos ? 和 tan ? 的值. 4 2cos ? ? 2 sin ? 3. 已知 tanα=2,求下列各式的值: ; 3sin 2 ? ? 4sin ? cos ? ? cos 2 ? . 2cos ? ? 2 sin ? 4. 作业:教材 P24 11、12、13 题.
④ 出示例 2:已知 tanα=-

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