2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义:4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 预习课本 P103~105,思考并完成以下问题 (1)怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗? (2)向量 b 在 a 方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是什么? (3)向量数量积的性质有哪些? (4)向量数量积的运算律有哪些? [新知初探] 1.向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积: 已知条件 定义 记法 (2)零向量与任一向量的数量积: 规定:零向量与任一向量的数量积均为 0. [点睛] (1)两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,它的值等于两向量的模与两 向量夹角余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值来决定. (2)两个向量的数量积记作 a· b,千万不能写成 a×b 的形式. 2.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念: ①向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos θ. ②向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cos θ. (2)数量积的几何意义: 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. a· b [点睛] (1)b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ(θ 是 a 与 b 的夹角),也可以写成 . |a| 向量 a,b 是非零向量,它们的夹角为 θ a 与 b 的数量积(或内积)是数量|a||b|cos θ a· b=|a||b|cos θ (2)投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负,也可为零. 3.向量数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量, θ 为 a 与 b 的夹角. (1)a⊥b?a· b=0. (2)当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|, 当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|. (3)a· a=|a|2 或|a|= a· a= a2. (4)cos θ= a· b . |a||b| (5)|a· b|≤|a||b|. [点睛] 对于性质(1),可以用来解决有关垂直的问题,即若要证明某两个向量垂直,只 需判定它们的数量积为 0;若两个非零向量的数量积为 0,则它们互相垂直. 4.向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律). (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb)(结合律). (3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律). [点睛] (1)向量的数量积不满足消去律:若 a,b,c 均为非零向量,且 a· c=b· c,但得 不到 a=b. (2)(a· b)· c≠a· (b· c),因为 a· b,b· c 是数量积,是实数,不是向量,所以(a· b)· c 与向量 c 共线,a· (b· c)与向量 a 共线,因此,(a· b)· c=a· (b· c)在一般情况下不成立. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量.( (2)若 a· b=b· c,则一定有 a=c.( (3)若 a,b 反向,则 a· b=-|a||b|.( (4)若 a· b=0,则 a⊥b.( 答案:(1)× (2)× (3)√ ) (4)× ) ) ) ) 1 2.若|a|=2,|b|= ,a 与 b 的夹角为 60°,则 a· b=( 2 A.2 1 B. 2 C.1 答案:B 1 D. 4 ?1b?=-36,则 a 与 b 的夹角为( 3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)· ?5 ? A.60° C.135° 答案:B 4.已知 a,b 的夹角为 θ,|a|=2,|b|=3. (1)若 θ=135°,则 a· b=________; (2)若 a∥b,则 a· b=________; (3)若 a⊥b,则 a· b=________. 答案:(1)-3 2 (2)6 或-6 (3)0 B.120° D.150° ) 向量数量积的运算 [典例] (a-2b). (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=4,|b|=2,求:①a· b; ②(a+b)· (2)如图,正三角形 ABC 的边长为 2, AB =c, BC =a, CA =b, 求 a· b+b· c+c· a. [解] (1)①由已知得 a· b=|a||b|cos θ=4×2×cos 120°=-4. ②(a+b)· (a-2b)=a2-a· b-2b2=16-(-4)-2×4=12. (2)∵|a|=|b|=|c|= 2,且 a 与 b,b 与 c,c 与 a 的夹角均为 120°, ∴a· b+b· c+c· a= 2× 2×cos 120°×3=-3. 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量 的夹角是求数量积的关键. (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法 运算. [活学活用] 已知|a|=3,|b|=4,a 与 b 的夹角为 120°,求: (1)a· b;(2)a2-b2; (3)(2a-b)· (a+3b). 1? 解:(1)a· b=|a||b|cos 120°=3×4×? ?-2?=-6. (2)a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7. (3)(2a-b)· (a+3b)=2a2+5a· b-3b2 =2|a|2+5|a||b|· cos 120°-3|b|2 1? 2 =2×32+5×3×4×? ?-2?-3×4 =-60. 与向量的模有关的问题 [典例] 1 (1)(浙江高考)已知 e1,e2 是平面单位向量,且 e1· e2= .若平面向量 b 满足 b· e1 2 =b· e2=1,则|b|=________. (2)已知向量 a,b 的夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. [解析] (1)令 e1 与 e2 的夹角为 θ, 1 ∴e

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