高中数学常用函数图像及性质

1.指数函数
图像:

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1)

y

y ? a x (0 ? a ? 1)

y ? a x (a ? 1)

1

O

x

性质:恒过定点(0,1) ; 当 x ? 0 时, y ? 1 ; 当 a ? 1 时, y 单调递增,当 x ? (??,0) 时, y ? (0,1) ;当 x ? (0,??) 时, y ? (1,??) .
y 单调递减, y ? (1,??) ; 当 0 ? a ? 1 时, 当 x ? (??,0) 时, 当 x ? (0,??)

时, y ? (1,0) .

2.对数函数
对数运算法则:

y ? l o agx(a ? 0 且 a ? 1)

loga MN ? loga M ? loga N

log a

M ? log a M ? log a N N

loga M n ? n loga M (n ? R)
loga N ? logb N (换底公式) logb a

a loga N ? N (对数恒等式)

图像

y

y ? loga x(a ? 0)

O

1

x

y ? loga x(0 ? a ? 1)

性质:恒过定点(1,0) ;
当 x ? 1 时, y ? 0 ;
y 单调递增, y ? (??,0) ; 当 a ? 1 时, 当 x ? (0,1) 时, 当 x ? (1,??) 时,

y ? (0,??) .

当 0 ? a ? 1 时,y 单调递减, 当 x ? (0,1) 时,y ? (0,??) ; 当 x ? (1,??) 时, y ? (??,0) . 指数函数和对数函数的关系:互为反函数

3.初等函数
⑴: y ? ? x 2 图像 开口向上,x ? (??,0) 时,y ? (0,??) , 函数单调递减;x ? (0,??) , y ? x2 : 时, y ? (0,??) ,函数单调递增,且是偶函数。
x ? (??,0) 时, y ? (??,0) , x ? (0,??) , 开口向下, 函数单调递增; y ? ?x 2 :

时, y ? (??,0) ,函数单调递减。

y

y ? x2

1
?1

1

O
?1

x

y ? ?x 2

性质:图像都是关于 y 轴对称 ⑵: y ? x 3 图像

y

y ? x3

1
?1

O
?1

1

x

性质: x ? R, y ? R ,函数是增函数,也是奇函数 ⑶: y ? x ?1 图像

y

y ? x ?1

1
?1

O
?1

1

x

性质: x ? R 且 x ? 0 , y ? R 且 y ? 0 ;函数在 x ? (??,0) 内和 x ? (0,??) 内 都是单调递减,且函数是奇函数。
1

⑷: y ? x 2 图像
y
1

y ? x2
1

O

1

x

性质: x, y ? [0,??) ,函数为单调递增函数,且是非奇非偶函数。

5.三角函数
⑴: y ? sin x 图像
y

1

? 2?

??

O

?

2?

x

?1

性质: 对称轴 x ? k? ? ; 对称中心 (k? ,0) ; 函数是奇函数; 周期 T ? 2? ; 函数在区间 (2k? ? ,2k? ? ) 上单调递增,在区间 (2k? ? ,2k? ?
2 2 2

?

?

2

?

?

3? )上 2

单调递减。 ⑵: y ? cos x 图像
y
1

?

3? 2

?

?
2

O

? 2
?1

3? 2

x

性质: 对称轴 x ? k? ; 对称中心 (k? ? ,0) , 函数是偶函数; 周期 T ? 2? ;
2

?

函数在区间 (2k? ? ? ,2k? ) 上单调递增, 在区间 (2k? ,2k? ? ? ) 上单调递减。 ⑶: y ? tan x 图像
y

?

3? 2

??

?

?
2

O

? 2

?

3? 2

x

性质:对称中心 (
( k? ?

?
2

, k? ?

?
2

k? ,0) ;函数是奇函数;周期 T ? ? ;函数区间 2

) 内单调递增。

6.椭圆
⑴ : 标 准 方 程 :
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
y

图 像 如 下

M
F1
O

F2

x

性质:范围 ? a ? x ? a , ? b ? y ? b 顶点: (a,0) , (?a,0) , (0, b) , (0,?b) 焦点: F1 (?c,0) , F2 (c,0) 准线: x ? ?
a2 a ?? c e

对称轴:关于 x 轴, y 轴及原点对称 两轴:长轴长为 2a ,短轴长为 2b 焦距: | F1 F2 |? 2c(c ? 0) , c 2 ? a 2 ? b 2 离心率: e ? (0 ? e ? 1) ⑵ : 标 准 方 程 :
y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
y

c a

图 像 如 下

F1
O

M

x

F2

性质; 范围: ? b ? x ? b , ? a ? y ? a 顶点: (0, a ) , (0,?a) , (b,0) , (?b,0) 焦点: F1 (0, c) , F2 (0,?c) 准线: y ? ?
a2 a ?? c e

对称轴:关于 x 轴, y 轴及原点对称 两轴:长轴长为 2a ,短轴长为 2b 焦距: | F1 F2 |? 2c(c ? 0) , c 2 ? a 2 ? b 2 离心率: e ? (0 ? e ? 1)
c a

7.双曲线
⑴:标准方程:
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
y

图像如下

F1

O

F2

x

性质:范围:在 x ? a 和 x ? ?a 两条平行线的外侧,向左右两侧无限延 伸 顶点: (?a,0) , (a,0) 焦点: F1 (?c,0) , F2 (c,0) 准线: x ? ?
x a

a2 a ?? c e
y ?0 b

渐近线: ?

对称轴:关于 x 轴, y 轴及原点对称

两轴:实轴长为 2a ,虚轴长为 2b 焦距: | F1 F2 |? 2c , c 2 ? a 2 ? b 2 离心率: e ? (e ? 1) ⑵ 标 准 方 程 :
y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
y

c a

图 像 如 下

F1

O

x

F2

性质:范围:在 y ? a 和 y ? ? a 两条平行线的外侧,向左右两侧无限延 伸 顶点: (0,?a) , (0, a ) 焦点: F1 (0, c) , F2 (0,?c) 准线: y ? ?
x b

a2 a ?? c e
y ?0 a

渐近线: ?

对称轴:关于 x 轴, y 轴及原点对称 两轴:实轴长为 2a ,虚轴长为 2b 焦距: | F1 F2 |? 2c , c 2 ? a 2 ? b 2

离心率: e ? (e ? 1)

c a

8.抛物线
⑴:标准方程: y 2 ? 2 px( p ? 0) 图像如下
y

O

F

x

性质:范围: x ? 0 , ? ? ? y ? ?? 顶点: (0,0) 开口方向:向右

对称轴: x 轴 焦点: F ( ,0) 准线: x ? ?
p 2 p 2

⑵ : 标 准 方 程 ; y 2 ? ?2 px( p ? 0)
y

图 像 如 下

F

O

x

性质:范围: x ? 0 , ? ? ? y ? ??

对称轴: x 轴 顶点: (0,0) 焦点: F (? ,0) 开口方向:向左 准线: x ?
p 2
p 2

⑶ : 标 准 方 程 :

x 2 ? 2 py( p ? 0)
y

图 像 如 下

F

O

x

性质:范围: ? ? ? x ? ?? , y ? 0 对称轴: y 轴 顶点: (0,0) 焦点: F (0, ) 开口方向:向上 准线: y ? ?
p 2 p 2

⑷:标准方程: x 2 ? ?2 py( p ? 0) 图像如下

y

O
x

F

性质:范围: ? ? ? x ? ?? , y ? 0 对称轴: y 轴 顶点: (0,0) 焦点: F (0,? ) 开口方向:向下 准线: y ?
p 2

p 2


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