达标检测题2018-2019学年北师大版高中数学必修一名师考点精讲:3.2指数扩充及其运算性质

学如逆水行舟,不进则退。 北师大版高中数学必修一 [读教材·填要点] 1.分数指数幂 (1)定义: 给定正实数 a,对于任意给定的整数 m,n(m,n 互素),存在唯一的正实数 b,使得 b m m m =a ,把 b 叫作 a 的 次幂,记作 b=an,它就是分数指数幂. n n (2)几个结论: m n m ①正分数指数幂的根式形式:an= a (a>0). m 1 ②负分数指数幂的意义:a- = m(a>0,m,n∈N+,且 n>1). n n a ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 2.指数幂的运算性质 若 a>0,b>0,对任意实数 m,n,指数运算有以下性质: (1)a ·a =a (2)(a ) =a m m n m n m+n ; m·n ; (3)(ab) =a b . [小问题·大思维] 3 1.若 b =5 ,则 b=5 ,b 叫作 5 的 次幂吗? 2 2 3 m m 3 2 3 提示:不一定,当 b>0 时,可以;当 b<0 时,b 不叫作 5 的 次幂. 2 2.为什么分数指数幂中规定整数 m,n 互素? 1 提示:如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾.例如:a3中,底数 a∈R,当 a 新课标----最新北师大版 学如逆水行舟,不进则退。 1 1 2 2 1 2 2 2 1 <0 时, a3<0, 而如果把 a3写成 a6, 有两种运算: 一是 a6=(a6) 就必须 a≥0; 二是 a6=(a )6, 2 1 在 a<0 时,a6的结果大于 0,与 a3<0 相矛盾.所以规定整数 m、n 互素. m 3.分数指数幂 a 可以理解为 个 a 相乘,对吗? n m m n m 提示: 分数指数幂 a 不可理解为 个 a 相乘, 它是根式的一种新的写法, 规定: an=( a) n m n m n m m 1 1 1 m n m = a (a>0,n、m∈N+,且 为既约分数),a- = m= = (a>0,n、m∈N+,且 为 n n n an ( n a)m n am 既约分数). [研一题] [例 1] 用分数指数幂表示下列各式. (1) a a(a>0); (2) 3 1 5 2 2 x( x ) 2 2 b- )- (b>0). 3 3 1 3 3 1 3 ; 4 (3)( [自主解答] (1)原式= (2)原式= 3 1 3 1 x·(x ) = 2 5 2 a·a2= 1 3 4 a2=(a2)2=a4; = x·x5 x5 1 1 3 = 9 1= 3=x- ; 5 9 (x5)3 x5 2 1 -2 (-2)×1×(-2) 1 (3)原式=[(b- )4] 3=b 3 4 3 =b9. 3 [悟一法] m n m 此类问题应熟练应用 an= a (a>0, m, n∈N+, 且 n>1). 当所求根式含有多重根号时, 新课标----最新北师大版 学如逆水行舟,不进则退。 要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后再根据性质进行化简. [通一类] 1.用分数指数幂表示下列各式. (1)8 2;(2)a · a ;(3) (4) a 2 2 3 2 a 1 2 a · a(a>0); 1 2 (a>0). 3 2 a· a 解:(1)8 2=2 ·2 =2 2 2 2+3 3 1 2 1 3+2 =2 ; 7 2 8 (2)原式=a ·a3=a 1 2 =a3; 1 1 1 1 1 1 (3)原式= 2 a2 a2·a2= a2 a= a2a2= a=a2; 1 2 5 a 2- - (4)原式= 1 2=a 2 3=a6. a2a3 [研一题] [例 2] 计算或化简. (1)a b (2ab ) ; 1 4 1 7 0 - 3 - -0.75 (2)(0.064) 3-(- ) +[(-2) ] 3+16 +|-0.01|2; 8 3 2 -1 3 7 0.5 10 -2 37 -2 0 (3)(2 ) +0.1 +(2 ) 3-3π + ; 9 27 48 3 (4) (5)4 9 a2 a ÷ 2+1 -3 3 2 - 3 13 -7 a · a (a>0); 2 ·2 3-2 ·8 3. 3 2 3 3 -3 6 -1 [自主解答] (1)原式=a b 2 a b =8a b ; 1 (2)原式=[(0.4) ] 3 -3 1 1 1 143 -4 -3 2 -1 -1+(-2) +2 +[(0.1) ]2=(0.4) -1+ + +0.1= ; 16 8 80 25 1 64 -2 37 2 (3)原式=( )2+10 +( ) 3-3+ 9 27 48 5 9 37 = +100+ -3+ 3 16 48 =100; (4)原式=[a 1 9 3×2 ·a 1 2 3×(-3) ]÷[a 1 7 2×(-3 )·a 1 13 2× 3 ] 新课标----最新北师大版 学如逆水行舟,不进则退。 9 3 7 13 =a - + - 6 6 6 6 =a =1; (5)原式=(2 ) =2 =2 2 2+2 2 2+1 0 ·2 -2 3-2 2 2 3 ·(2 )- 3 ·2 3-2 2 ·2 2 2+2+3-2 2-2 =2 =8. [悟一法] 3 进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质,并灵活运用.一般地,进行 指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注 意运算顺序问题. [通一类] 2.计算或化简下列各式. 1 1 -2 7 2 0 (1)0.027 -(- ) +(2 ) -( 2-1) ; 7 9 -3 1 1 -1 ( 4ab ) (2)( ) 2· 1; 4 -

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