福建省西山高中高二数学 313导数的几何意义 学案


§3.1. 3 导数的几何意义 [自学目标]: 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题 [重点]: 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. [难点]: 导数的几何意义 [教材助读]: 1.曲线的切线及切线的斜率 如图 3.1-2,当 Pn ( xn , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) 沿着曲线 f ( x) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时, 割线 PPn 的变化趋势是什么? 我们发现,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 即 ?x ? 0 时,割线 PPn 趋近于确定的 位置, 这个确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线. 问题: (1)割线 PPn 的斜率 kn 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系? (2)切线 PT 的斜率 k 为多少? 容易知道 , 割线 PPn 的斜率是 kn ? P 时, f ( xn ) ? f ( x0 ) , 当点 Pn 沿着曲线无限接近点 xn ? x0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x kn 无限趋近于切线 PT 的斜率 k ,即 k ? lim ?x ?0 说明: (1)设切线的倾斜角为 ? , 那么当 ?x ? 0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线 是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k 即 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x 说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k 得到曲线在点 ②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 3.导函数 由函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处求导数的过程可以看到,当 x ? x0 时, f ?( x0 ) 是一个 确定的数,那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f ( x) 的导函数. f ( x ? ?x) ? f ( x) 记作: f ?( x ) 或 y? ,即 f ?( x) ? y? ? lim . ?x ?0 ?x 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 4.函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x ) 、导数之间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f ?( x0 ) , 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变 量之比的极限,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的,就是函数 f ( x) 的导函数. (3)函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在 x ?

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