高中数学复习数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版_图文

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

主题1 复数的概念 1.方程x2=1有解吗?解是什么?方程x2+1=0在实数范围内 有解吗? 提示:方程x2=1有解,解是x=±1,方程x2+1=0在实数范围 内没有解.

2.若有一个新数i满足i2=-1,试想方程x2+1=0有解吗? 提示:有解(x=±i),但不在实数范围内. 3.添加i之后,i与原来的实数之间进行加法乘法运算的 时候,会产生怎样的新数? 提示:若i与实数b相乘再与实数a相加则可得到形式为 a+bi的新数.

结论:

1.复数的定义

形如_____________的数叫做复数,其中i叫做___

a+bi(a,b∈R)



_______,满足i2=___,全体复数所成的集合C叫做

_数__单__位__.

-1

复数集

2.复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=_a_+_b_i_(_a_,_b_∈__R_)_,这一表 示形式叫做复数的_________,a与b分别叫做复数z的
代数形式 _____与_____. 实部 虚部

【微思考】 1.两个复数一定能比较大小吗? 提示:不能. 2.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示:只有a,b都是实数时才是.

主题2 复数的相等和分类 1.复数z=a+bi(a,b∈R)中实部与虚部分别为零时表示 什么数? 提示:虚部b=0时,z=a是一个实数; 虚部b≠0时,z=a+bi是一个虚数; 虚部b≠0,实部a=0时,z=bi是纯虚数.

2.实数集R与复数集C有什么关系? 提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即 R ? C. 用图形语言描述:

结论:
1.复数相等
设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di?_________. a=c且b=d

2.复数的分类

【微思考】 怎样判断复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数? 提示:将复数化成z=a+bi(a,b∈R)的形式,再按分类判 断.

【预习自测】 1.下列命题是假命题的是 ( ) A.-i不是负数 B. i不是无理数 C.如2果a是实数,那么ai是虚数 D. 不是分数
i 3

【解析】选C.若a=0则ai=0是实数.

2.复数-3i的虚部是 ( )

A.0

B.-3

C.i

D.-3i

【解析】选B.-3i=0+(-3)i,对应a+bi(a,b∈R)的形式,

实部a=0,虚部b=-3.

3.若x,y∈R,z=x+yi是虚数,则有 ( )

A.x=0,y∈R

B.x≠0,y∈R

C.x∈R,y=0

D.x∈R,y≠0

【解析】选D.z=x+yi是虚数,只需y≠0即可.

4.设i为虚数单位,若关于x的方程 x2-(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一实根为n,则m=________.

【解析】关于x的方程x2-(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一 实根为n,可得n2-(2+i)n+1+mi=0. 所以 ?n2 ? 2n ?1 ? 0, 所以m??=mn?=1n.? 0. 答案:1

类型一 复数的概念 【典例1】(1)(2017·成都高二检测)已知复数z=(a-1)(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a,b的值分别 是________.

(2)已知log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的 取值集合为________.

【解题指南】(1)根据实部、虚部的值列方程求解即可. (2)由复数的概念知任意两个虚数是不能比较大小的, 只有两个实数才能比较大小,因此一经出现与复数有关 的不等式,不等式的两边的数必定是实数.本题中不等 式右边是实数1,因此左边必定为实数,即 log2(x2+2x+1)=0,从而不等式为log2(x2-3x-2)>1.

【解析】(1)由题意得:a-1=2,-(2-b)=1,所以a=3,b=3.
答案:3,3
? ? (2)由题意 ??log2 x2 ? 3x ? 2 >1, 解得x=-2,所以实数x的取 ? ? 值集合为{-???2lo}g.2 x2 ? 2x ?1 ? 0,
答案:{-2}

【方法总结】判断与复数有关的命题是否正确的策略 (1)复数的代数形式: 若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚 部,且注意虚部不是bi,而是b.

(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数 和虚数是复数的两大构成部分. (3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即 可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否 定,后肯定”的方法进行解答.

【巩固训练】判断下列命题的真假. (1)复数a+bi不是实数. (2)若复数z=3+bi>0(b∈R),则b=0.

【解析】(1)假命题,因为当a∈R且b=0时,a+bi是实数. (2)真命题,只有实数才可以比较大小,既然有3+bi>0, 则说明z=3+bi为实数,故b=0.

【补偿训练】设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是 “复数a-bi为纯虚数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.若复数a-bi为纯虚数,则a=0且b≠0,故 ab=0.而由ab=0不一定能得到复数a-bi是纯虚数,故 “ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条件.

类型二 复数的分类
【典例2】设
z ? log1 ?m ?1? ? ilog2 ?5 ? m?(m?R).
(1)若z是虚数,求m的2 取值范围.
(2)若z是纯虚数,求m的值.

【解题指南】(1)先根据虚数的概念,由z是虚数得其虚 部不为0;再根据对数的性质及z是虚数得到m的不等式 组,解不等式组求出m的范围. (2)因z是纯虚数,由其虚部不为0,实部为0得到m的不等 式组,并求出m的值.

【解析】(1)因为z是虚数,故其虚部log2(5-m)≠0,

m应满足的条件是 ?m ?1 ? 0, ??5 ? m ? 0, ??5 ? m ? 1,

解得1<m<5,且m≠4.

(2)因为z是纯虚数,故其实部

log

(m-1)=0,虚部
1

log2(5-m)≠0,

2

m应满足的条件是 ?m ?1 ? 1, ??5 ? m ? 0, ??5 ? m ? 1,

解得m=2.

【延伸探究】

本例条件不变,当m为何值时,z为实数?

【解析】要使z为实数,故其虚部log2(5-m)=0,m应满足

的条件是 ?5 ? m ?1, ??m ?1 ? 0,

解得m=4.

【方法总结】 1.解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.

(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与 虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程 (不等式)组即可. (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数 ?b=0;②z为虚数?b≠0;③z为纯虚数?a=0且b≠0.

2.复数分类的应用 (1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下 是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使表达式有 意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非 常关键,解答后进行验算是很必要的.

(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体 的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与 虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的 重要思路之一.

【巩固训练】实数k为何值时,复数z=(1+i)k2(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚 数.(4)零.

【解析】由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k4)+(k2-5k-6)i. (1)当k2-5k-6=0时,z∈R,即k=6或k=-1. (2)当k2-5k-6≠0时,z是虚数,即k≠6且k≠-1.

(3)当 ?k2 ? 3k ? 4 ? 0, 时,z是纯虚数,解得k=4.

? ?k

2

?

5k

?

6

?

0

(4)当 ?k2 ? 3k ? 4 ? 0, 时,z=0,解得k=-1. ??k2 ? 5k ? 6 ? 0

类型三 复数的相等 【典例3】(1)设复数z1=(x-y)+(x+3)i,z2=(3x+2y)-yi, 若z1=z2,实数x=________,y=______. (2)已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根, 求实数m的值及方程的实数根.

【解题指南】(1)根据实部与实部相等,虚部与虚部相 等,列方程组求解. (2)设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,b∈R) 的形式解决.

【解析】(1)由复数相等的充要条件得 解得 ?x ? ?9,

?x ? y ? 3x ? 2y, ??x ? 3 ? ?y,

答案:??-y9? 6.6

(2)设a是原方程的实数根, 则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0, 即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i, 所以a2+a+3m=0且2a+1=0,

所以a=- 1 且(? 1 )2 ?(? 1 )+3m=0,

2

2

2

所以m= 1 .

所以m= 12 ,方程的实数根为x=- .

1

1

12

2

【延伸探究】 1.若将本例(2)中的方程改为:x2+mx+2xi=-1-mi如何求 解?

【解析】设方程的实数根为x0,代入方程,由复数相等

的定义,得

?x ?

2 0

?

mx0

?

?1,

解得

?2x或0 ? ?m,

因此,???当mx0m??=?1-,22时,原???mx方0 ??程2?,的1, 实数根为x=1,

当m=2时,原方程的实数根为x=-1.

2.若将本例(2)中的方程改为3x2- m x-1=(10-x-2x2)i, 2
如何求解?

【解析】设方程的实数根为x0,则原方程可变为

3

x

2 0

-

m 2

x0-1=(10-x0-2

x

2 0

)i,由复数相等的定义,得:

因?????130此x?02 ,?x当0m2?mx2=0x1?02 11?时?0,0,, 原解方得程???的mx0实??12数1, 根或为?????mxx0=??2?;?7521,, ?? 5

当m=- 时,原方程的实数根为x=- .

71

5

5

2

【方法总结】复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等, 虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题, 为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数 化思想的体现.

(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能 比较大小的.

【补偿训练】1.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,则xy的

值是 ( )

A.1

B.2

C.-2

D.-1

【解析】选A.若实数x,y满足式子(1+i)x+(1-i)y=2,

则式子里的虚部为0,所以方程组 ?x ? y ? 2,

所以x=y=1,所以xy=1.

??x ? y,

2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,i为虚数单位. 求实数x,y的值.

【解析】根据复数相等的充要条件, 由(2x-1)+i=y-(3-y)i,



?2x ?1 ? y,

即x??=1

?

??3? y?,
,y=4.

5 2

解得 ??x ? 5 , ?2 ??y ? 4.

【课堂小结】 1.知识总结

2.方法总结 (1)转化法,非标准的复数形式化为标准代数形式. (2)方程思想,利用复数相等的意义,列方程(组)解决问 题.


相关文档

【全程复习方略】高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修2-2
【全程复习方略】高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修1-2
浙江省瓯海区三溪中学高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件 新人教A版必修2
浙江省富阳市第二中学高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修22
安徽省滁州二中高中数学 3.1.1数系的扩充与复数的概念课件 新人教A版选修12
高中数学 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义课件 新人教A版选修12
高中数学 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.2 复数的几何意义课件 新人教A版选修22
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课件1新人教A版
安徽省安庆一中高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修22
高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念课件 新人教B版选修22
学霸百科
新词新语
电脑版 | 学霸百科