5导数的计算3-文档资料_图文

复合函数的导数

问题 : 如何求函数y ? ln(x 2 ? 2)的导数?
1. 复合函数的定义: 对于函数y ? f (? ( x )), 令u ? ? ( x ), 若y ? f ( u)是中间变量 u的函数,u ? ? ( x )是自变量x的函数, 则称函数y ? f (? ( x ))是自变量x的复合函数. 2.复合函数的导数:
设函数y ? f ( u), u ? ? ( x ), 若u ? ? ( x )在点x处有导数 ? ? ? u? x ? ? ( x ), 函数y ? f ( u )在点u处有导数yu ? f ( u ), 则复合函数y ? f ?? ( x ) ? 在点x处也有导数, 且

y ' x ? y 'u ? u ' x 或写作f ' x (? ( x )) ? f '( u) ? ? '( x )

本节应注意的几个问题:

1. 首先要会把一个复合函 数划分成若干个简单函 数, 然后再利用求导法则对 复合函数求导 .

2. 复合函数的求导过程是 对复合函数由外层 向里层求导.
3. 利用复合函数求导前 , 如果函数关系可化简 , 则先化简再求导会更简 单.

4. 复合函数求导应注意的 问题

第一. 分析清楚复合函数的复 合关系, 选好中间变量

第二. 求导时分清每次是哪个 变量对哪个变量求导 . 第三. 根据基本函数的导数公 式及导数的运算法则 ,求
出各函数的导数, 并把中间变量换成自变 量的函数. 5. 复合函数的求导步骤可 概括为:

分解 ? 求导 ? 回代

6. 复合函数求导法则可推 广到两个以上中间变量 的情形.

例与练 1. 求下列的导数 :
2

(1) y ? (2 x ? 1)

5

(2) y ? sin (3 x ? 2)
2
2

(3) y ? ln(2 x ? 3 x ? 1)

(5) y ? (1 ? 2 x ) cos x
3
n

x ?1 (4) y ? log2 x?1
n

一般地, 若f ( x ) ? g ( x ), 则f ' ( x ) ? [ g ( x )]' ? ng

n ?1

( x ) ? g' ( x )

2. 设f ( x)是可导函数, 求下列复合函数的导数 1 (1) y ? f ( ) ( 2) y ? f (sinx ) ( 3) y ? sin f ( x ) x

(4) y ? f (ln x )

(5) y ? ln( f ( x )) ( f ( x ) ? 0)

3.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%, 物价p(单位 : 元 )与时间t (单位 : 年)有如下函数关系 : p( t ) ? p0 (1 ? 5%)t , 其中p0为t ? 0时的物价, 假定某种商品的p0 ? 1, 那么第10个年头, 这种商品的价格上涨的速度 大约是多少(精确到0.01)?

(1)90%;

(2)98%.

函数f ( x )在某点处导数的大小表示函数 在此点附近变化的快慢.

1.函数y ? sin 2 x ? cos 2 x的导数是( A ) A. y ? 2 2 cos(2 x - ) B. y ? cos 2 x - sin 2 x 4 C . y ? sin 2 x ? cos 2 x D. y ? 2 2 cos(2 x ?

?

?
4

)

2. f ( x ) = A sin( ω x + φ) 的导数为f ' ( x ) = ______ .

A? cos(?x ? ? )

1 1). y ' ? 4(2 x3 ? x ? 1 )3 (6 x 2 ? 1 ? 1 ) 1). y ? (2 x ? x ? ) 2 x x x 2x ' 1 2). y ? 2). y ? 2 2 2 (1 ? 2 x ) 1 ? 2 x 1? 2x 2 ? ' ? 3). y ? sin 3 (2 x ? ) 3). y ? 2sin(4 x ? ) 3 3
3

3.求下列函数的导数

4). y ? x 1 ? x

2

2 2 (1 ? 2 x ) 1 ? x 4). y ' ? 1 ? x2

4.求下列函数的导数 :

1) y ?

1? x 1? x

?

1? x 1? x

; 2) y ? x 2 lg 2 ? 2 x lg x.

1 ?1? 5. 若 f ? ? ? x ? x sin , 求 f ' ( x )及f ' (? ) x ? x?

6.(2009安徽理)已知函数f ( x )在R上满足f ( x ) ? 2 f (2 - x ) - x 2 ? 8 x ? 8, 则曲线y ? f ( x )在 点(1, f (1))处的切线方程是( A ) A. y ? 2 x - 1 B. y ? x C. y ? 3x - 2 D. y ? -2 x ? 3 7.(2009江西理)设函数f ( x ) ? g( x ) ? x ,曲线y ? g( x ) 在点(1, g (1))处的切线方程为y ? 2 x ? 1, 则曲线 y ? f ( x )在点(1, f (1))处切线的斜率为( A ) 1 1 A.4 B . ? C .2 D. 4 2

8.过原点作曲线的切线y ? e x , 则切点的坐标为 ____ , 切线的坐标为 ______ 。

9.已知曲线S : y ? 3 x ? x 3及点P (2, 2), 则过点P 可向S引切线的条数为 ______。
10.(2009福建卷理)若曲线f (x)=ax3+lnx存在垂直 于y轴的切线,则实数a取值范围是_________.


相关文档

新编文档-5导数的计算3-精品文档
3.1_导数、导数的计算-PPT文档资料
3-5高阶导数748197520101018100931-文档资料
导数的计算(求导法则)-文档资料
5-3-1方向导数与梯度-文档资料
3.1_导数、导数的计算-文档资料
12导数的计算-文档资料
31变化率与导数、导数的计算-文档资料
2019-导数计算-文档资料
导数的计算(一)-PPT文档资料
电脑版