2013年高一数学期末考试模拟试题(2)

2013 年高一数学期末考试模拟试题(2)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.直线 x+2y-2=0 与直线 2x-y=0 的位置关系为 2.圆柱的底面半径为 3cm,体积为 18 垂直 . (填“平行”或“垂直”)

cm3,则其侧面积为

12?

cm2. . 15

3.已知等差数列{an}中, a1 ? a2 ? a3 ? 6, a7 ? a8 ? a9 ? 24,则 a4 ? a5 ? a6 = 4. ax ? 2 y ? 8 ? 0,4 x ? 3 y ? 10,2 x ? y ? 10 围成三角形,则 a 范围是

8 a ? ?4且a ? 且a ? ?1 3

5. 王老师在今年初贷款 a 万元,年利率为 r,从今年末开始,每年末偿还一定金额,预计 5 年内还清, 则每年应偿还的金额为________万元.

ar(1 ? r ) 5 (1 ? r ) 5 ? 1

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 6.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 。若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 (3, 0) 处 ? y ?1 ? 0 ?
取得最大值,则 a 的取值范围为 .( a ?

1 ) 2

0 7.在侧棱长为 3m 的正三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? ?BPC ? ?CPA ? 20 ,过点 A 作截面 AEF 与

PB,PC 侧棱分别交与 E,F 两点,则截面的周长最小值为

3 m.

8.已知数列 ?a n ? 前 n 项和 S n ? 2 n ? 1 ,则数列 ?a n ? 的奇数项的前 n 项的和是_______.

4n ? 1 3
6 5

9.圆 ( x ? 2a) 2 ? ( y ? a ? 3) 2 ? 4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围是_ (? ,0) 10.已知二面角 ? ? l ? ? 为 30 ,若半平面 ? 内有一点 A 到平面 ? 的距离为 3,那么 A 点在平面 ? 内
0

的射影 B 到平面 ? 的距离为

3 3 2

11.已知直线 l 过点 P(2,1) ,且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则当△OAB 的面积的最小值时,直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 若 PA ? 2 ,则直线 l 的方程为
2 2 k

. y B O A P x

12.如图,过点 P(5, 4) 作直线 l 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 25 交于 A, B 两点, . y ? 4 或 40 x ? 9 y ? 164 ? 0

13.若不等式 4x ? 9 y ? 2 xy 对一切正数 x,y 恒成立,则整数 k 的最大值为 3__

14..设 a1 , d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 S5 S6 ? 15 ? 0 ,则 d (第 12 题)
1

的取值范围是_____ d ? ?2 2或d ? 2 2 ___ 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.在 一所学校旗杆的正东方向的 A 处,测得旗杆顶端的仰角是 60 ,从旗杆的南偏西 60 的 B 处,测 得旗杆顶端的仰角为 45 ,A,B 间的距离是 35 m ,则此旗杆的高度约多少米?(精确到 1m 。参考数据:
0 0 0

7 ? 2.646, 3 ? 1.732)
解:画出立体几何图形: 设高为 xm ,由余弦定理解得 x = 5 21m ? 23m 。答(略) 16.四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 8 的菱形, ∠ BAD=

? ,若 PA=PD=5, 3

平面 PAD⊥ 平面 ABCD. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)求证:AD⊥ PB; (3)若 E 为 BC 的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF⊥ 平面 ABCD,并证明你的结论?

16.解:(1)过 P 作 PM⊥AD 于 M ∵面 PAD⊥面 ABCD ∴PM⊥面 ABCD 又 PA=PD=5 ∴ M 为 AD 的 中 点 且 PM=

52 ? 42 ? 3 ∴

1 3 VP ? ABCD ? ? 8 ? 8 ? ? 3 ? 32 3 3 2
(2)证明:连接 BM ∵BD=BA=8, AM=DM

? AD ? BM 又AD ? PM

BM ? PM ? M ? AD ? 面 PMB PB ? 面 PMB

? AD ? PB

(3) 能找到并且 F 为棱 PC 的中点… 证法一:∵F 为 PC 的中点∴EF∥PB 又由(2)可知 AD⊥面 PMB ∴AD⊥DE,AD⊥EF∴AD⊥面 DEF 又 AD ? 面 ABCD∴面 DEF⊥面 ABCD 证法二:设 CM ? DE ? O 连 FO∴O 为 MC 的中点 在△PMC 中 FO∥PM∵PM⊥面 ABCD∴FO⊥面 ABCD 又 FO ? 面 DEF∴面 DEF⊥面 ABCD… 17.某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为
2

费用(万元)

an 4 2 1 2 n


21 万元。该公司第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如下图. (1)求 an ; (2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利; (3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大? 17.解: (1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,求得: an ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n (2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:

f ( n) ? 21n ? [2n ?

n( n ? 1) ? 2] ? 25 ? 20n ? n2 ? 25 2
解得10 ? 5 3 ? n ? 10 ? 5 3

由 f(n)>0 得 n2-20n+25<0

又因为 n ? N ,所以 n=2,3,4,……18.即从第 2 年该公司开始获利 (3)年平均收入为

25 f (n) =20- (n ? ) ? 20 ? 2 ? 5 ? 10 n n

当且仅当 n=5 时,年平均收益最大.所以这种设备使用 5 年,该公司的年平均获利最大 18. 已知 f ( x) ? ?3x ? a(5 ? a) x ? b
2

⑴当不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?1,3) 时,求实数 a, b 的值; ⑵若对任意实数 a , f (2) ? 0 恒成立,求实数 b 的取值范围; ⑶设 b 为常数,解关于 a 的不等式 f (1) ? 0 . 18.解: ⑴ f ( x) ? 0 即 ? 3x2 ? a(5 ? a) x ? b ? 0 ∴ 3x2 ? a(5 ? a) x ? b ? 0 ∴? ∴?

?3 ? a(5 ? a) ? b ? 0 ?27 ? 3a(5 ? a) ? b ? 0

?a ? 2 ?a ? 3 或? (若用根与系数关系也算对) ?b ? 9 ?b ? 9

⑵ f (2) ? 0 ,即 ? 12 ? 2a(5 ? a) ? b ? 0 即 2a 2 ? 10a ? (12 ? b) ? 0

1 2 2 ⑶ f (1) ? 0 即 a ? 5a ? b ? 3 ? 0 ,∴△= (?5)2 ? 4(?b ? 3) ? 13 ? 4b
∴ ? ? 0 恒成立

?b ? ?

10 当 ? ? 0 即 b ? ?

13 时, a ? R 4
3

13 5 时,解集为 ?a | a ? ,a ? R } 2 4 13 5 ? 4b ? 13 30 当 ? ? 0 即 b ? ? 时,解集为{ a a ? 或 a ? 5 ? 4b ? 13 } … 4 2 2
20 当 ? ? 0 即 b ? ? 19.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切. (1)求圆的方程; (2)设直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆相交于 A, B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 a ,使得过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB ?若存在, 求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)设圆心 (m,0) ,则

4m ? 29 ? 5 ,又 m ? Z ,? m ? 1 , 所以圆的方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 ; 5

(2)把直线 ax ? y ? 5 ? 0 即 y ? ax ? 5 代入圆的方程,消去 y 整理,得

(a2 ? 1) x2 ? 2(5a ?1) x ? 1 ? 0 .由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 交圆于 A, B 两点,
5 5 或 a ? 0 所以实数 a 的取值范围是 (??,0) ? ( , ??) . 12 12 1 (3)设符合条件的实数 a 存在,由于 a ? 0 ,则直线 l 的斜率为 ? , a 1 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 4 , 即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 . a
故 ? ? 0 .? a ? 由于 l 垂直平分弦 AB ,故圆心 M (1,0) 必在 l 上. 所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 故存在实数 a ?

3 5 ? . 4 12

3 ,使得过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB . 4
N+,都有 8S n ? (an ? 2) . (1)
2

20.设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有的 n

写出数列{an}的前 3 项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程); (3)设 bn ? {bn}的前 n 项和,求使得 Tn ?

4 , Tn 是数列 a n ? a n ?1

m 对所有 n 20
2

N+都成立的最小正整数 m 的值.

20.解:(1) n=1 时 8a1 ? (a1 ? 2)

∴ a1 ? 2
4

n=2 时 8(a1 ? a2 ) ? (a2 ? 2)

2

∴ a2 ? 6

n=3 时 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? (a3 ? 2)2 (2)∵ 8Sn ? (an ? 2)2

∴ a3 ? 10

∴ 8Sn?1 ? (an?1 ? 2)2 (n ? 1) 即 an2 ? an?12 ? 4an ? 4an?1 ? 0

两式相减得: 8an ? (an ? 2)2 ? (an?1 ? 2)2 也即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵ an ? 0 ∴ an ? an?1 ? 4

即 {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

∴ an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 (3) bn ?

4 4 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an ? an?1 (4n ? 2)(4n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 (2n ? 1) (2n ? 1)

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 1 1 1 (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 4n ? 2 2 m 对所有 n ? N ? 都成立 20


∵ Tn ?

m 1 ? 20 2

即 m ? 10 ,故 m 的最小值是 10 。

5


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