2019年最新-高数-无穷级数8-精选文档_图文
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
定理
(1)当周期为2?的奇函数f(x)展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
an?0
(n?0,1,2,?)
? bn??2 0?f(x)sinnxdx (n?1,2,?)
(2)当周期为2? 的偶函数f (x) 展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
? an
?2 ?
? 0
f (x)cosnxdx
(n?0,1,2,?)
bn ?0
(n?1,2,?)
于是以2?为周期的奇函数f(x)的傅氏级数
为正弦级数
?
?bnsin x.
n?1
以2?为周期的偶函数f(x)的傅氏级数为余弦
级数
a20?n? ? ?1anconsx.
例1 设f(x)是周期为2?的周期函数,它在 [??,?)上的表达式为f(x)?x,将f(x)展开成
傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在 x ? 点 (2 k ? 1 )? (k ? 0 ,? 1 ,? 2 ,? )处不 , 连
收敛 f(??0 于 )?f(? ??0)? ??(??)? 0,
2
2
在连 x (x? (续 2 k ? 1 )? ) 点 处收 f(x ),敛于
? x?(2k?1)?时 f(x)是2? 以 为周期, 的
y
和 函 数 图 ?3? ?2? ?? 象
? 0 ? 2? 3? x ??
? a n ? 0 , ( n ? 0 ,1 ,2 ,? )
bn??2?0?f(x)sinnxd?x?2?0?xsinnxdx
?? 2[?xcnons? xsn i2 n n]x 0 ?
? ?2cosn? ? ( ? 1 ) n ? 1 2 (n?1,2,? )
n
n
f(x )? 2 (sx ? i1 n si2 x n ? 1 si3 x n ? ? ) 23
??
?2
(?1)n?1sinnx.
n?1 n
( ? ? x ? ? ? ; x ? ? ? ? ,? 3 ? , ? )
例2 设f ( x)是周期为2?的周期函数,它在
(-? ,? ]上的表达式为
f
(
x)
?
?
?? ?
? ??
?
2
?
2
? ?
x, x,
?? ? x ? 0 0? x??
把f ( x)展开为傅立叶级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.由于 f ( x )
偶函数, 故它的傅立叶系数为
a 0? ? 2?0 ?f(x )d x? ? 2?0 ?(? 2? x )d x? 0
2?
2 ??
? ? an
?
?
0
f(x)cosnxdx?
?
( ?x)cosnxdx 02
?n22?(1?cosn?)??????0n,42?,
当n为奇数时 当n为偶数时
(n?0,1,2, )
bn?0,(n?1,2, )
故
4c o s xc o s 3 xc o s 5 x
? f(x )?(1 2?3 2 ?5 2 ?) ,( ? ? ? x ? ? ? )
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓 设 f(x)定义 [0,?]上 在 ,延拓 2?为 成周 以期
函F 数 (x).
则有如下两种情况
奇延拓:
?f(x) 0? x??
y
F(x) ??? 0 x?0
???f(?x) ?? ? x?0
?? 0
f (x)的傅氏正弦级数
?x
?
f(x)??bnsinnx (0?x??) n?1
偶延拓:
?f(x) 0?x??
y
F(x)???f(?x) ???x?0
f (x)的傅氏余弦级数 ?? 0 f(x)? a20?n ? ? ?1anconsx(0?x??)
?x
例3 将函数f(x)? x (0? x??)展开成余弦级数.
解 对 f(x ) 进 行 偶 延 拓 . 傅 立 叶 系 数
a0?? 2?0 ?f(x)dx?? 2?0 ?xdx??
? ? 2 ?
2?
an
?
?
0
f(x)cosnxdx?
?
xcosnxdx
0
?n22?(cosn??1)??????0?,n42?,
当n为奇数时 当n为偶数时
?4c o s xc o s 3 xc o s 5 x ? ? x ? 2 ?(1 2?3 2 ?5 2 ?) ,( 0 ? x ?)
例4 将函数f (x) ? x2 (0? x ??) 展开成正弦级数.
解 对 f(x ) 进 行 奇 延 拓 . 傅 立 叶 系 数
? ? 2
bn??
?
0
f(x)sinnxdx??2
?x2sinnxdx
0
?(?1)n?12n??n43?[(?1)n?1] (n?1,2, )
所以
x2?(2???8)sinx??sin2x?(23??338?)sin3x
?
? sin4x? , 2
(0?x??)
三、小结
1、基本内容:
奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余 弦级数;非周期函数的周期性延拓;
2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅氏级数; b.在 [0,?]上 ,展成周 2?的 期傅 为氏;级数
c.在[??,?]上连续且只有值 有点 限,时 个极 级数处处收 f(x)敛 . 于
思考题
设f(x)是[在 a,b]上定义的 ,应函 如数 何选择 A,B,才能F(使 t)?f(A?t B)成[为 ??,?]上 定义的. 函数
思考题解答
应 A ( ? ? ) ? B 使 ? a ,A ? ? B ? b ,
即 A?b?a, B?b?a.
2?
2
练习题
一、设 f ( x) 是周期为2? 的周期函数,它在[??, ?)上的表
???
? 2
,??
?
x
?
?
? 2
达式为
f
(
x)
?
?? ? ?
x
,?
? 2
?
x
?
? 2
.
?? ?? 2
,
? 2
?
x
?
?
二、将函数 f ( x) ? 2x2 (0 ? x ? ?) 分别展开成正弦级数 和余弦级数 .
三、将以2? 为周期的函数 f ( x) ? x 在(??, ?) 内展开成
2
??
傅里叶级数,并求级数 (?1)n?1
1
的和 .
n?0
2n ? 1
? 四 、证 明:当0
?
x
?
?
时,
? n?1
cos n
nx
2
?
x2 4
?
?x 2
?
?2 6
.
练习题答案
? 一、
f
(
x)
?
? [(?1)n?1
n?1
n
?
2 n2?
sin
n?]sinnx . 2
( x ? (2n ? 1)?, n ? 0,?1,?2,?)
? 二、 f ( x) ? 4
?
[(
?1)n
(
2 n3
?
?2 n
)
?
2 n3
]sin nx
(0 ? x ? ?)；
? f
(
x)
?
2 3
?2
?
?
8
n?1
(?1)n n2
cos nx
(0 ? x ? ?).
? 三、 x ? ? (?1)n?1 1 sinnx
2 n?1
n
x ? (??, ?) ；
?? . 4