高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理剖析用归纳推理求解一类题素材新人教A版选修2


剖析用归纳推理求解一类题 归纳是一种“由特殊到一般”,“由个别到普遍”,“由表象到实质”的推理,是人类 探索规律,认识世界的一种重要思想方法.有一类以平面几何为背景,n 条直线(或圆等) 相交, 推测交点个数或分成的区域个数, 成为近年高考热点. 它综合性强, 与数列联系紧密, 下面结合具体例子剖析求解策略. 例1 平面内有 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于一点,若 f (n) 表示这 n 个圆把平面分割的区域数,试求 f (n) . 分析:由题意推测出递推式,再由递推式求出 f (n) . 解:∵ f (n) 表示 n 个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这 n 个圆相交,则有 2n 个交点,这些交点将增加的这个圆分成 2n 段弧且每一段弧又将原来的平面区域一分为 ( ) 2 ? . 二, 因此, 增加一个圆后, 平面分成的区域数增加 2n 个, 即 f (n ? 1) ? f (n) ? 2n , 且 f1 由 递 推 公 式 得 f (2) ? f (1) ? 2 ? 1 , f (3) ? f (2) ? 2 ? 2 , f (4) ? f (3) ? 2 ? 3 , f (n) ? f (n ? 1) ? 2(n ? 1) , , 将以上 n ? 1 个等式累加得 f (n) ? f (1) ? 2[1 ? 2 ? 3 ? ? (n ? 1)] ? n2 ? n ? 2 . 例 2 (2005 年广东)设平面内有 n 条直线( n ≥ 3 ),其中有且仅有两条直线平行, 任意三条直线不过同一点,若用 f (n) 表示这 n 条直线交点的个数,则 f (4) ? n ≥ 4 时, f (n) ? ,当 (用 n 表示). 解:因为 f (n) 表示 n 条直线交点的个数,若再增加一条直线,则这条直线与前 n 条直线 都相交,则交点个数增加 n 个,故 f (n ? 1) ? f (n) ? n ,且 f (2) ? 0 . ∴ f (3) ? f (2) ? 2,f (4) ? f (3) ? 3,f (5) ? f (4) ? 4 , ,f (n) ? f (n ? 1) ? n ? 1 . 将以上各式累加得 f (n) ? f (2) ? 2 ? 3 ? 4 ? (n ? 1) ? 2 ? (n ? 1) (n ? 2) . 2 1 ∴ f (n) ? (n ? 1)(n ? 2) . 2 评析: 这类问题直接求解较复杂, 可转化为推测任何相邻两项关系, 再用数列知识求解. 练习:(黄冈调考题)已知一个三角形内有 2004 个点,任意一个点都不在其它任何二 点的连线上, 则这些点 (含三角形三个顶点) 将该三角形分成不重合的三角形区域有 ( A.2004 个 答案:C. B.4008 个 C.4009 个 D.2005 个 ) 1

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