100测评网2009届高三数学第一轮复习资料——数列


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数列 第 2 章 数列 §2.1 数列的概念与简单表示 重难点:理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型,探索并掌握数列的几 种间单的表示法(列表、图象、通项公式);了解数列是一种特殊的函数;发现数列规律找 出可能的通项公式. 考纲要求:①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). ②了解数列是自变量巍峨正整数的一类函数. 经典例题:假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: (Ⅰ)每年年末 .... 加 1000 元; (Ⅱ)每 半年 结束时加 300 元。请你选择:(1)如果在该公司干 10 年,问两种 . .. 方案各加薪多少元? (2)对于你而言,你会选择其中的哪一种? 当堂练习:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1. 下列说法中,正确的是 ( ) A.数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是同一个数列. B.数列 l, 2,3 与数列 1,2,3,4 是同一个数列. C.数列 1,2,3,4,…的一个通项公式是 an=n. D.以上说法均不正确. 2 巳知数列{ an}的首项 a1=1,且 an+1=2 an+1,(n≥2),则 a5 为 ( A.7. B.15 C.30 D.31. 2 3.数列{ an}的前 n 项和为 Sn=2n +1,则 a1,a5 的值依次为 ( A.2,14 B.2,18 C.3,4. D.3,18. 2 4.已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn=4n -n+2,则该数列的通项公式为 ( A. an=8n+5(n∈N*) B. an=8n-5(n∈N*) C. an=8n+5(n≥2) D. an ? ?
? ?5 (n ? 1)

必修 5

) ) )

?8n ? 5(n ? 2, n ? N + ) ?
2

5.已知数列{ an}的前 n 项和公式 Sn=n +2n+5,则 a6+a7+a8= ( A.40. B.45 C.50 D.55.

)

6.若数列 {an } 前8项的值各异,且 a n ?8 ? a n 对任意的 n ? N * 都成立,则下列数列中可取遍
{an } 前8项值的数列为

( B. {a3k ?1} C. {a4k ?1} D. {a6k ?1}



A. {a2k ?1}

7.在数列{ an}中,已知 an=2,an= an+2n,则 a4 +a6 +a8 的值为 . 8.已知数列{ an}满足 a1=1 , an+1=c an+b, 且 a2 =3,a4=15,则常数 c,b 的值为 2 9.已知数列{ an}的前 n 项和公式 Sn=n +2n+5,则 a6+a7+a8= . 10.设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an2?1 ? nan2 ? an?1an ? 0 ( n =1,2,3,…) ,则它的 通项公式是 an =________.

.

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11. 下面分别是数列{ an}的前 n 项和 an 的公式,求数列{ an}的通项公式: 2 n (1)Sn=2n -3n; (2)Sn=3 -2

12. 已知数列{ an}中 a1=1, an?1 ?

n an (1)写出数列的前 5 项;(2)猜想数列的通项公式. n ?1

13. 已知数列{ an}满足 a1=0,an+1+Sn=n +2n(n∈N*),其中 Sn 为{ an}的前 n 项和,求此数 列的通项公式.

2

14. 已知数列{ an}的通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn 之间满足关系 Sn=2-3an (1)求 a1; (2)求 an 与 an (n≥2,n∈N*)的递推关系; (3)求 Sn 与 Sn (n≥2,n∈N*)的递推关系,

第 2 章 数列 §2.2 等差数列、等比数列 重难点:理解等差数列、等比数列的概念,掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和 公式,能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应 的问题. 考纲要求:①理解等差数列、等比数列的概念. ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式. ③能在具体的问题情境中, 识别数列的等差关系或等比关系, 并能用有关知识解决相应的问

必修 5

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题. ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 经典例题:已知一个数列{an}的各项是 1 或 3.首项为 1,且在第 k 个 1 和第 k+1 个 1 之间 有 2k-1 个 3,即 1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,…,记该数列的前 n 项的和为

Sn.
(1)试问第 2006 个 1 为该数列的第几项? (2)求 a2006; (3)求该数列的前 2006 项的和 S2006;

当堂练习: 1.数列 2, 5,2 2, 11,…, 则 2 5 是该数列的( ) A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 10 项 2 2.方程 x ? 6 x ? 4 ? 0 的两根的等比中项是( ) D.第 11 项

A. 3 B. ?2 C. ? 6 D. 2 3. 已知 a1 , a2 ,… , an 为各项都大于零的等比数列,公比 q ? 1 ,则( ) A. a1 ? a8 ? a4 ? a5 B. a1 ? a8 ? a4 ? a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 D. a1 ? a8 和 a4 ? a5 的大小关系不能由已知条件确定 4.一个有限项的等差数列,前 4 项之和为 40,最后 4 项之和是 80,所有项之和是 210,则 此数列的项数为( ) A.12 B. 14 C.16 D.18 1 1 1 5.若 a、b、c 成等差数列,b、c、d 成等比数列, , , 成等差数列,则 a、c、e 成( ) c d e A.等差数列 B.等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.以上答案都不是 6.在等差数列{an}中, a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 ,则 a3 ? a13 ? ( ) A.4 B. ?4 C.8 D. ? 8 S n 5n ? 3 a5 7.两等差数列{an}、{bn}的前 n 项和的比 ' ? ,则 的值是( ) S n 2n ? 7 b5 28 48 53 23 A. B. C. D. 17 25 27 15 8.{an}是等差数列, S10 ? 0, S11 ? 0 ,则使 an ? 0 的最小的 n 值是( ) A.5 B. 6 C.7 D.8 9.{an}是实数构成的等比数列, S n 是其前 n 项和,则数列{ S n } 中( ) A.任一项均不为 0 B.必有一项为 0 C.至多有一项为 0 D.或无一项为 0,或无穷多项为 0 10.某数列既成等差数列也成等比数列,那么该数列一定是( ) A.公差为 0 的等差数列 B.公比为 1 的等比数列 C.常数数列 1 , 1 , 1 ,… D.以上都不对 a ? a3 ? a 9 11.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1、a3、a9 成等比数列,则 1 的值是 . a2 ? a4 ? a10 12.由正数构成的等比数列{an},若 a1a3 ? a2 a4 ? 2a2 a3 ? 49 ,则 a2 ? a3 ? .

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2 an 1 对任意正整数 n 都成立,且 a7 ? ,则 a5 ? . an ? 2 2 14.在等差数列{an}中,若 a10 ? 0 ,则有等式 a1 ? a2 ? … ? an ? a1 ? a2 ? … ? a19?n ? n ? 19, n ? N* ?

13.已知数列{an}中, an?1 ?

成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若 b9 ? 1 ,则有等式 15. 已知数列{2 an }的前 n 项和 Sn ? 9 ? 6n .
?1? | a |? ? ⑴求数列{an}的通项公式;⑵设 bn ? n ? 3 ? log 2 n ? ,求数列 ? ? 的前 n 项和. 3 ? ? ? bn ?
n-1

16.已知数列{an}是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12 .

⑴求数列{an}的通项公式;⑵令 bn ? an xn ? x ? R ? ,求数列{bn}前 n 项和的公式.

17. 甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所 示. 甲调查表明:从第 1 年每个养鸡场出产 1 万只鸡上升到第 6 年平均每个鸡场出产 2 万只鸡. 乙调查表明:由第 1 年养鸡场个数 30 个减 少到第 6 年 10 个. 请您根据提供的信息说明: ⑴第 2 年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数; ⑵到第 6 年这个县的养鸡业比第 1 年是扩大了还是 缩小了?请说明理由; ⑶哪一年的规模最大?请说明理由.

18.已知数列{an}为等差数列,公差 d ? 0 ,{an}的部分项组成的数列 ak1 , ak2 , … , akn 恰为等 比数列,其中 k1 ? 1, k2 ? 5 , k3 ? 17 ,求 k1 ? k2 ? … ? kn .

第 2 章 数列 §2.3 等差数列、等比数列综合运用 2 1、设 {an } 是等比数列,有下列四个命题:① {an } 是等比数列;② {an an?1} 是等比数列; ③{

必修 5

1 } 是等比数列;④ {lg | an |} 是等比数列。其中正确命题的个数是 an





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A、1 B、2 C、3 D、4 是( )

2、 {an } 为等比数列,公比为 q ,则数列 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 , A、公比为 3q 的等比数列 B、公比为 6q 的等比数列 3 C、公比为 q 的等比数列 D、公比为 q6 的等比数列 3、已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ?

A、 a1 ? a101 ? 0 B、 a1 ? a101 ? 0 D、 a51 ? 51 4、若直角三角形的三边的长组成公差为 3 的等差数列,则三边的长分别为

? a101 ? 0 ,则有 C、 a1 ? a101 ? 0

( (

) )

A、5,8,11 B、9,12,15 C、10,13,16 D、15,18,21 5、数列 a, a, a, , a, (a ? R) 必为 ( ) A、等差非等比数列 B、等比非等差数列 C、既等差且等比数列 D、以上都不正确 6、若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个 数列共有 A、10 项 B、11 项 C、12 项 D、13 项 ( ) 7、在等差数列 {an } 中, a1 ? 4 ,且 a1 , a5 , a 13 成等比数列,则 {an } 的通项公式为 ( A、 an ? 3n ? 1
2

) )

B、 an ? n ? 3

8、 数列 1, a, a , a , A、

3

,a

n?1

C、 an ? 3n ? 1 或 an ? 4

D、 an ? n ? 3 或 an ? 4 (

,

, 的前 n 项的和为
1 ? a n?1 1? a
C、

1 ? an 1? a

B、

1 ? a n?2 1? a

D、以上均不正确 ( )

9、等差数列 {an } 中,a1 ? a7 ? 42, a10 ? a3 ? 21,则前 10 项的和 S10 等于

A、720 B、257 C、255 D、不确定 10、某人于 2000 年 7 月 1 日去银行存款 a 元,存的是一年定期储蓄;2001 年 7 月 1 日他将 到期存款的本息一起取出,再加 a 元后,还存一年的定期储蓄,此后每年 7 月 1 日他都 按照同样的方法,在银行存款和取款;设银行一年定期储蓄利率 r 不变,则到 2005 年 7 月 1 日, 他将所有的存款和利息全部取出时, 取出的钱数共有多少元? ( ) A、 a(1 ? r )5 B、 a[(1 ? r )5 ? (1 ? r )] C、 [(1 ? r ) ? (1 ? r )]
6

a r

D、 [(1 ? r ) ? r ]
5

a r

11、在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表, 观察表中的数列的特点,用适当的数填入表中空格内: 年龄(岁) 收缩压(水银柱,毫米) 舒张压 30 110 70 35 115 73 40 120 75 45 125 78 50 130 80 55 135 83 60 65 145 88

12、两个数列 x, a1 , a2 , a3 , y 与 x, b1 , b2 , y 都成等差数列,且 x ? y ,则

a2 ? a1 = b2 ? b1

13、公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项依次构成一等比数列,该等比数列的公比 q = 14、等比数列 {an } 中, a1 ? 4, q ? 5 ,前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? 105 的最小自然数 n 为 成等比数列. (1)证明 a1 ? d ; (2)求公差 d 的值和数列 {an } 的通项公式.

15、设 {an } 是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,它的前 10 项和 S10 ? 110 ,且 a1 , a2 , a4

16、 (1)在等差数列 {an } 中, a1 ? a6 ? 12, a4 ? 7 ,求 an 及前 n 项和 Sn ; (2)在等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66, a2 an?1 ? 128, Sn ? 126 ,求 n, q .

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17、设无穷等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . (1)若首项 a1 ?

3 2 ,公差 d ? 1 ,求满足 Sk 2 ? (Sk ) 的正整数 k ; 2 2 (2)求所有的无穷等差数列 {an } ,使得对于一切正整数 k 都有 Sk 2 ? (Sk ) 成立.

18.甲、乙两大型超市,2001 年的销售额均为 P(2001 年为第 1 年) ,根据市场分析和预测, P 2 甲超市前 n 年的总销售额为 (n ? n ? 2) ,乙超市第 n 年的销售额比前一年多 P . 2 2 n ?1 (I)求甲、乙两超市第 n 年的销售额的表达式; (II)根据甲、乙两超市所在地的市场规律,如果某超市的年销售额不足另一超市的年销售 额的 20%,则该超市将被另一超市收购,试判断哪一个超市将被收购,这个情况将在哪一 年出现,试说明理由.

第 2 章 数列 数列单元检测 1. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 a4 ? 18 ? a5 , 则S8 等于 ( D ) A.18 B.36 C.54 D.72 2. 已知 ?an ?为等差数列, ? bn ?为等比数列,其公比 q ? 1 ,且 bi ? 0(i ? 1,2,3, ?, n) ,若

必修 5

a1 ? b1
( B ) A. a6 ? b6 C. a6 ? b6 A.156



a11 ? b11
B. a6 ? b6





D. a6 ? b6 或 a6 ? b6 B.13

3. 在等差数列{a n }中, (a 3 +a 5 ) 3 +2 (a 7 +a 10 +a 13 ) =24, 则此数列的前 13 项之和为 ( D )

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C.12 D.26 4. 已 知 正 项 等 比 数 列 数 列 {an} , bn=log a an, 则 数 列 {bn} 是 ( A ) A、等比数列 B、等差数列 C、既是等差数列又是等比数列 D、以上都不对 5. 数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列,并且 a5 , a8 , a13 是等比数列 ?bn ? 的相邻三项,若

b2 ? 5 ,则 bn 等于
( B )

5 3 3 n ?1 C. 3 ? ( ) 5

n ?1 A. 5 ? ( )

5 3 3 n ?1 D. 5 ? ( ) 5
n ?1 B. 3 ? ( )

6. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项的值是 ( B ) A. 42 B.45 C. 48 D. 51 7. 一懂 n 层大楼,各层均可召集 n 个人开会,现每层指定一人到第 k 层开会,为使 n 位开 会人员上下楼梯所走路程总和最短,则 k 应取 ( D )

1 (n+1) 2 1 1 1 D.n为奇数时,k= (n—1)或k= (n+1) ,n为偶数时k= n 2 2 2 8. 设数列 ?an ? 是等差数列, a2 ? ?6, a8 ? 6 ,Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则( B
A. B. C. A.S4<S5 C.S6<S5 D.S6=S5 S 31 9. 等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? ?1 ,前 n 项和为 S n , 若 10 ? , 则公比 q 等于 ( S 5 32 B.S4=S5

1 n 2

1 (n—1) 2



B )

A.

1 2

B. ?

1 2

C.2

D.-2 D )

10. 已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 若 S6=36, Sn=324, Sn-6=144 (n>6) , 则 n 等于 ( A.15 B.16 C.17 D.18 11. 已知 a n ?

n ? 79 n ? 80

, ( n ? N? ) ,则在数列{ an }的前 50 项中最小项和最大项分别是 ( C )

A. a1 , a50

B. a1 , a8
*

C. a8 , a9

D. a9 , a50

12. 已知: an ? log( n?1) (n ? 2) (n ? Z ) ,若称使乘积 a1 ? a2 ? a3 ?an 为整数的数 n 为劣 数, 则在区间 (1, 2002) 内所有的劣数的和为 A.2026 B.2046 C.1024 D.1022 13. 在等差数列 {an } 中, 已知 a1+a3+a5=18, an-4+an-2+an=108, Sn=420, 则 n= 14. 在等差数列 {a n } 中,公差 d ? k≤60)的值为 . ( A )

.

1 + ,且 a1 ? a 4 ? a 7 ? ? ? a 58 ? 60 ,则 a k ? a 61? k (k∈N , 2

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15. 已知 S n ? 4 ? a n ?

(n ? N *) 则 通项公式 an = 2 16. 已知 a1 ? 3且an ? S n?1 ? 2 n , 则 an = ;
n?2

1

.

17. 若数列 ?an ? 前 n 项和可表示为 sn ? 2 n ? a ,则 ?an ? 是否可能成为等比数列?若可能, 求出 a 值;若不可能,说明理由.

Sn =



18.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的 前 n 项和 S10 及 T10.

19.已知数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 S3,S9,S6 成等差数列 (1)求证:a2 , a8, a5 也成等差数列 (2)判断以 a2, a8, a5 为前三项的等差数列的第四项是否也是数列{an}中的一项,若是求出 这一项,若不是请说明理由.

20.等比数列 {a n } 的首项为 a 1 ,公比为 q (q ? ?1) ,用 S n ? m 表示这个数列的第 n 项到第 m 项共 m ? n ? 1 项的和. (Ⅰ)计算 S1?3 , S 4?6 , S 7?9 ,并证明它们仍成等比数列; (Ⅱ)受上面(Ⅰ)的启发,你能发现更一般的规律吗?写出你发现的一般规律,并证 明.

21.某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%, 并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境, 要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆, 那么 每年新增汽车数量不应超过多少辆?

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参考答案 第 2 章 数列 §2.1 数列的概念与简单表示 经典例题:解: (1) (Ⅰ)55000 元(Ⅱ)63000 元 (2)当 n<2 时(Ⅰ)方案 当 n=2 时(Ⅰ) (Ⅱ)方案都行 当 n<2 时(Ⅱ)方案 当堂练习: 1.C; 2.C; 3.D; 4.D; 5.B; 6.B; 7. 46; 8. ?
? ?1
?c ? 2 ?c ? ?3 或? ; 9. 45; 10. ?b ? 6 ?b ? 1

1 ; n

11. 【 解】 (1) an=4n+5

(2) an ? ?

(n ? 1)

?2 ? 3n?1 (n ? 2, n ? N + ) ?

12. 【 解】 (1)1,

1 1 1 1 1 , , , .(2) . 2 3 4 5 n

13. 【 解】

? (n ? 1) ?0 an ? ? ? + ?2n ? 1 (n ? 2, n ? N )

14. 【 解】 (1)

1 1 3 3 (2) an +1= an (n≥1,n∈N*)(3) Sn +1= Sn+ (n≥1,n∈N*) 4 4 2 2

§2.2 等差数列、等比数列 经典例题:(1)4022031 (2)3 (3)5928 当堂练习: 1.B; 2.B; 3.A; 4.B; 5.B; 6.B; 7.B;8.B; 9.D; 10.B; 11.

13 16

12. 7

13. 1 (2)

14. b1 ? b2 …bn ? b1 ? b2 …b17?n ? n ? 17, n ? N* ?

15. (1) an ? ?

6 2n?1

n n ?1

16. (1) an ? 2n

( x ? 1), ?n(n ? 1) ? n (2) Sn ? ? 2 x ?1 ? x ? 2nx n?1 ? ?1 ? x ?2 ? 1 ? x ( x ? 1) ?

17.(1) 第 2 年养鸡场的个数为 26 个,全县出产鸡的总只数是 31.2 万只 (2) 到第 6 年这个县的养鸡业比第 1 年缩小了 18. 3n ? n ? 1 §2.3 等差数列、等比数列综合运用 (3) 第 2 年的规模最大

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1.C; 2.C; 3.C; 4.B; 5.D; 6.D; 7.D; 8.D; 9.C; 10.C;11. 140,85; 12.. 8 15、 (1)略; (2) d ? 2, an ? 2n 16、 (1) an ? 2n ? 1, Sn ? n2 ; 1 (2)当 a1 ? 2, an ? 64 时, q ? 2, n ? 6 ;当 a1 ? 64, an ? 2 时, q ? , n ? 6 17、 (1)当 a1 ?

3 ; 13. 3; 14. 4

2 3 3 n(n ? 1) 1 2 , d ? 1 时, S n ? n ? ? n ? n ,由 S k 2 ? (S k ) 2 得, 2 2 2 2 1 1 4 1 k ? k 2 ? ( k 2 ? k ) 2 ,即 k 3 ( k ? 1) ? 0 ,又 k ? 0 ,所以 k ? 4 . 2 2 4

(2)设数列 ?an ? 的公差为 d ,则在 S k 2

? S1 ? ( S1 ) 2 ? (S k ) 中分别取 k ? 1,2 得 ? 2 ?S 4 ? ( S 2 )
2

? a1 ? a12 ? 即? 4?3 2 ?1 2 ,由(1)得 a1 ? 0 或 a1 ? 1 . 4 a ? d ? ( 2 a ? d) 1 1 ? 2 2 ?
当 a1 ? 0 时,代入(2)得: d ? 0 或 d ? 6 ; 当 a1 ? 0, d ? 0 时, an ? 0, S n ? 0 ,从而 S k 2 ? (S k ) 成立;
2

2 当 a1 ? 1 时,d ? 0 或 d ? 2 ,当 a1 ? 1 ,d ? 0 时,an ? 1, S n ? n ,从而 S k 2 ? (S k )

当 a1 ? 0, d ? 6 时,则 an ? 6(n ? 1) ,由 S3 ? 18 , (S3 ) 2 ? 324 , S9 ? 216 知, 2 S9 ? (S3 ) ,故所得数列不符合题意;

2 另解:由 S k 2 ? (S k ) 得 k [a1 ?
2

1 1 (k ? 1)d ]2 ? k 2 [a1 ? (k 2 ? 1)d ] ,整理得 2 2 1 1 1 1 1 ( d 2 ? d )k 2 ? (da1 ? d 2 )k ? (a12 ? a1 ? d 2 ? d ? da1 ) ? 0 对于一切正整数 k 都 4 2 2 4 2

成立;当 a1 ? 1 , d ? 2 时,则 an ? 2n ? 1, S n ? n 2 ,从而 S k 2 ? (S k ) 2 成立,综上 共有 3 个满足条件的无穷等差数列; an ? 0 或 an ? 1 或 an ? 2n ? 1 .

?1 2 1 ?4 d ? 2 d ? 0 ? ?d ? 0 ?d ? 0 ?d ? 2 1 2 ? 成立,则有 ? da1 ? d ? 0 解之得: ? 或? 或? a ? 0 a ? 1 2 ? 1 ? 1 ? a1 ? 1 ? 1 2 1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 4 d ? 2 d ? da1 ? 0 ?
所以所有满足条件的数列为: an ? 0 或 an ? 1 或 an ? 2n ? 1 . P ( n 2 ? n ? 2) ?n ? 2时 18. (I)设甲超市第 n 年的年销售量为 a n ? S n ? 2 P(n 2 ? n ? 2) P[(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2] a n ? S n ? S n ?1 ? ? ? ( n ? 1) P 2 2 又 n ? 1 时, a1 ? P . 设乙超市第 n 年的年销售量为 bn ,
?(n ? 1) P (n ? 2) ? an ? ? (n ? 1) ?P P P ? bn ? bn?1 ? n?1 ? bn ?1 ? bn ?2 ? n ?2 2 2

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bn?2 ? bn?3 ? P 2
n ?3


1 2



b2 ? b1 ? P 2

以上各式相加得: bn ? b1 ? P( ?

1 1 ? ? ? ? n?1 ) 22 2 1 1 1 1 ? bn ? P(1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n?1 ) ? P(2 ? n?1 ) 2 2 2 2 (II)显然 bn ? 2P ? n ? 3 时 a n ? bn , 故乙超市将被早超市收购.



1 an ? bn 5



n ?1 1 P ? P(2 ? n?1 ) 5 2



n ? 11?

5 2 n ?1

? n ? 10 时 10 ? 11?

5 不成立. 而 n ? 11 时 11 ? 11 ? 5 成立. 9 2 210

即 n=11 时

1 这个情况将在 2011 年出现, 且是甲超市收购乙超市. a11 ? b11 成立. 答: 5

数列单元检测 1.D; 2.B; 3.D; 4.A; 5.B; 6.B; 7.D; 8.B; 9.B; 10.D;11.C;12.A;13. 20; 14. 7;15.
an ? n ; 2 n?1
?3 n?2 ?( 2n ? 3) ? 2

16. a n ? ?

(n ? 1) (n ? 2)

S n ? (2n ? 1)2 n?1 .

17. 【 解】 因 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 2 n ? a ,故 a1 = s1 ? 2 ? a , an ? sn ? sn?1 (n ? 2) ,

an=2n+a-2n-1-a=2n-1( n ? 2 ).要使 a1 适合 n ? 2 时通项公式,则必有 2 ? a ? 2 0 , a ? ?1,
此时 an ? 2
n?1

(n ? N ) ,

?

a n?1 2n ? n?1 ? 2 , an 2

故当 a=-1 时,数列 ?an ? 成等比数列,首项为 1,公比为 2, a ? ?1 时, ?an ? 不是等比数 列. 2 18. 【 解】 ∵{an}为等差数列,{bn}为等比数列,∴a2+a4=2a3,b2·b4=b3 , 已知 a2+a4=b3,b2·b4=a3,∴b3=2a3,a3=b3 , 得 b3=2b3 ,∵b3≠0,∴b3=
2 2

1 1 ,a3= . 2 4

1 3 10 ? 9 55 ,知{an}的公差 d=- , ∴S10=10a1+ d=- . 4 8 2 8 2 2 1 由 b1=1,b3= ,知{bn}的公比 q= 或 q=- , 2 2 2
由 a1=1,a3=
当q ? b (1 ? q10 ) 31 b (1 ? q10 ) 31 2 2 时, T10 ? 1 ? (2 ? 2);当q ? ? 时, T10 ? 1 ? (2 ? 2). 2 1? q 32 2 1? q 32

19. 【 解】 (1)S3=3a1, S9=9a1, S6=6a1, 而 a1≠0,所以 S3,S9,S6 不可能成等差数列……2 分 所以 q≠1,则由公式 S n ? 即 2q =1+q
6 3 6

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q 9 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) , 得2 1 ? ? 1? q 1? q 1? q 1? q
3

∴2q a1q=a1q+q a1q , ∴2a8=a2+a5 所以 a2, a8, a5 成等差数列

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(2)由 2q =1+q =-
6 3

1 2
k ?2 3

要以 a2, a8, a5 为前三项的等差数列的第四项是数列{an}中的第 k 项, 必有 ak-a5=a8-a2,所以 ak ? q 3 ? q 6 ? 1 所以 ak ? ? 5 , 所以qk ? 2 ? ? 5 , 所以(? 1 )
a2
a2 4 4 2 5 ?? , 4

由 k 是整数,所以 (? 1 )
2

k ?2 3

??

5 不可能成立,所以 4

a2, a8, a5 为前三项的等差数列的第四项

不可能也是数列{an}中的一项. 20. 【 解】 (Ⅰ) S1?3 ? a1 (1 ? q ? q 2 ) , S 4?6 ? a1 q 3 (1 ? q ? q 2 ) , 因为
S 7 ?9 S 4 ? 6 ? ? q3 , S 4?6 S1?3
S 7?9 ? a1 q 6 (1 ? q ? q 2 )

所以 S1?3、S 4?6、S7?9 成等比数列.

(Ⅱ)一般地 S n?n?m、 Sp?p?m、 Sr?r ?m 、 (2 p ? r ? n 且 m、n、p、r 均为正整数)也成等比数 列, S n?n? m ? a1 q n?1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q m ) , S p? p?m ? a1q p?1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q m ) ,
S r ?r ? m ? a1 q r ?1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q m ) ,
S p? p?m S r ?r ? m ? ? q p ? n ( 2 p ? r ? n) S p? p?m S n?n ? m

所以 S n?n?m、 Sp?p?m、 Sr?r ?m 成等比数列. 21. 【 解】 设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆,b3 万辆,……,每年新增汽车 x 万辆,则 b1 ? 30 , bn?1 ? 0.94bn ? x 所以,当 n ? 2 时, bn ? 0.94bn?1 ? x ,两式相减得: bn?1 ? bn ? 0.94?bn ? bn?1 ? (1)显然,若 b2 ? b1 ? 0 ,则 bn?1 ? bn ? bn ? bn?1 ? ? ? 0 ,即 bn ? ? ? b1 ? 30 ,此时

bn?1 ? bn ?为以 x ? 30? 30? 0.94 ? 1.8. (2)若 b2 ? b1 ? 0 ,则数列 ?
b2 ? b1 ? x ? 0.06b1 ? x ? 1.8 为首项,以 0.94 为公比的等比数列,所以,
bn?1 ? bn ? 0.94n ? ?x ? 1.8? .

bn?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30 , (i) 若 b2 ? b1 ? 0 , 则对于任意正整数 n , 均有 bn?1 ? bn ? 0 , 所以,

此时, x ? 30? 30? 0.94 ? 1.8. (ii)当 x ? 1.8万 时, b2 ? b1 ? 0 ,则对于任意正整数 n ,均有 bn?1 ? bn ? 0 ,所以,
bn?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30 ,由 bn?1 ? bn ? 0.94n ? ?x ? 1.8? ,得

bn ? ?bn ? bn?1 ? ? ?bn?1 ? bn?2 ? ? ? ? ?b2 ? b1 ? ? b1 ?

?b

2

? b1 ??1 ? 0.94n?1 ? ? 30 1 ? 0.94

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?

?x ?1.8??1 ? 0.94 ? ? 30 ,
n ?1

0.06

要使对于任意正整数 n ,均有 bn ? 60 恒成立, 即

?x ? 1.8??1 ? 0.94 ? ? 30 ? 60
n ?1

0.06

对于任意正整数 n 恒成立,解这个关于 x 的一元一次不等式 , 得 x ? 上式恒成立的条件为:x ? ? 调递减,所以, x ? 3.6 .
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1.8 ? 1.8 , 1 ? 0.94n

1.8 ? 1.8 ? ? 1.8 ? ,由于关于 n 的函数 f ?n? ? ? 1.8 单 n 1 ? 0.94n ? 1 ? 0.94 ? 在n?N上的最小值

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