高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明剖析演绎推理证明的几种常见错误素材新人教A版选修1


剖析演绎推理证明的几种常见错误 1. 偷换论题 例 1 求证四边形的内角和等于 360 。 证明:设四边形 ABCD 是矩形,则它的四个角都是直角,有 0 ?A ? ?B ? ?C ? ?D ? 900 ? 900 ? 900 ? 900 ? 3600 , 所以,四边形的内角和等于 360 。 剖析:上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中,把论题中的四边 形改为矩形。 2. 虚假论据 例 2 已知 2 和 3 是无理数,试证 2 ? 3 也是无理数。 证明:依题设 2 和 3 是无理数, 而无理数与无理数的和是无理数, 所以 2 ? 3 也是无理数。 剖析:上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是:“无理数与无理 数的和是无理数”,这个论据是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数。因此,原题的 真假性仍无法断定。 3. 循环论证 例 3 在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 求证: a ? b ? c 。 0 2 2 2 0 证明:因为 a ? c sin A, b ? c cos A , ? a 2 ? b 2 ? c 2 sin 2 A ? c 2 cos2 A = c (sin A ? cos A) ? c 。 2 2 2 2 剖析:上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾 股定理。上述证明中用了“ sin A ? cos A ? 1 ”这个公式,按照现行中学教材系统,这个 2 2 公式是由勾股定理推出来的, 这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据, 犯了循环论 证的错误。 4. 不能推出 (0, ),且 tan ? ? 例 4 设 ?、?、? ? 求证: ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 1 1 1 , tan ? ? , tan ? ? 。 2 5 8 。 ? ? ? ??) ? 证明:因为 tan( tan? ? tan ? ? tan? ? tan? tan ? tan? 1 ? tan? tan ? ? tan? tan? ? tan ? tan? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 5 8 2 5 8 ? 1, = 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? 2 5 5 8 5 8 ? ?? ? ? ? ? ? 。 4 ? ? ? ? ? ) ? 1 只能推 剖析:上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为 tan( 出 ? ? ? ? ? ? n? ? ? 4 , (n ? Z ) 。 至于关系式 ? ? ? ? ? ? ? 4 是否唯一地成立, 却无法断定。 因此,只有进一步推出 0 ? ? , ? , ? ? ? 4 ,即 0 ? ? ? ? ? ? ? 3? ,原题才能得证。 4 2

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