2012年广州市高三文科数学调研、一模、二模试题分类整理汇编

2012 年广州市高三文科数学调研、一模、二模试题分类整理汇编
1.集合与常用逻辑用语 GZ-T 1.已知集合 A ? ?1,2? , B ? ??2,1,2? ,则 A ? B 等于 A. ??2? B. ?1? C. ?1, 2? D. ??1,1, 2?

GZ-1

1.函数 y ?

1 的定义域为 x ?1
B. ? ??, ?1? C. ? ?1, ?? ? D. ? ?1, ?? ?

A. ? ??, ?1?

GZ-2

1.已知集合 A 满足 A ? ?1,2? ,则集合 A 的个数为 B. 3 C. 2 D.1

A. 4 GZ-2

8.下列说法正确的是

A.函数 f ? x ? ?

1 在其定义域上是减函数 x
2 2

B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C.命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ” D.给定命题 p 、 q ,若 p ? q 是真命题,则 ? p 是假命题

2.函数、导数

GZ-T 2.已知函数 f ? x ? ? ? A.1 B.2

?1 ? x, ?a ,
x

x ? 0, x ? 0.

若 f ?1? ? f ? ?1? ,则实数 a 的值等于 C .3 D.4

GZ-T

10.定义:若函数 f ( x) 的图像经过变换 T 后所得图像对应函数的值域与 f ( x) 的值域相同,则称

变换 T 是 f ( x) 的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T ,其中 T 不属于 f ( x) 的同值变换 的是
2 A. f ( x) ? ( x ? 1) , T 将函数 f ( x) 的图像关于 y 轴对称

B. f ( x) ? 2

x ?1

? 1 , T 将函数 f ( x) 的图像关于 x 轴对称

1

C. f ( x) ? 2 x ? 3 , T 将函数 f ( x) 的图像关于点 ? ?1,1? 对称 D. f ( x) ? sin ? x ?

? ?

??

? , T 将函数 f ( x) 的图像关于点 ? ?1,0? 对称 3?

GZ-T 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ?

1 3 a 2 x ? x ? 2 x ? a ? R? . 3 2

(1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意 x ??1, ?? ? 都有 f ?( x) ? 2(a ? 1) 成立,求实数 a 的取值范围; (3)若过点 ? 0, ? ? 可作函数 y ? f ? x ? 图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.

? ?

1? 3?

GZ-1

7.已知幂函数 y ? m ? 5m ? 7 x
2

?

?

m2 ? 6

在区间 ? 0, ??? 上单调递增,则实数 m 的值为 C.2 或 3 D. ?2 或 ?3

A.3

B.2

GZ-1

9.已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ,对于任意正数 a , x1 ? x2 ? a 是 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? a 成立的 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分非必要条件 C.充要条件

GZ-1 GZ-1 GZ-1

2 11.若函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 1 是偶函数,则实数 a 的值为

?

?

. .

B ? x a≤x≤a ? 3 , 12. 已知集合 A ? x 1≤x≤3 , 若A? B, 则实数 a 的取值范围为
20. (本小题满分14分)

?

?

?

?

已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b ? a, b ? R ? . (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若对任意 a ? ?3, 4? ,函数 f ( x ) 在 R 上都有三个零点,求实数 b 的取值范围.

GZ-2

6.已知函数 f ? x ? ? e ? e
x

?x

?1 (e 是自然对数的底数),若 f ? a ? ? 2 ,则 f ? ?a ? 的
C.e D. 1 ? e

值为 A. ? 1 ? e

B. ? e

2

GZ-2

21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? x , a ?R. 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使得函数 f ? x ? 的极值大于 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存 在,说明理由. 3.数列 GZ-T 4.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 3 , S 3 ? 6 ,则 a10 的值是 A.1 B.3 C.10 D.55

GZ-1

19. (本小题满分14分)

已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 70 ,且 a2 , a7 , a22 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ≤Tn ? . 6 8 ? Sn ?

GZ-2

20.(本小题满分 14 分)
*

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ?N ,都有 an ? 0 且 Sn ?

? an ? 1?? an ? 2 ? ,
2

令 bn ?

ln an?1 . ln an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)使乘积 b1 ? b2 ????? bk 为整数的 k (k ? N ) 叫“龙数” ,求区间 ?1, 2012? 内的所有
*

“龙数”之和; (3)判断 bn 与 bn ?1 的大小关系,并说明理由.

3

4.不等式

? x ? 0, ? GZ-T 9. 已知实数 x, y 满足 ? y ? 1, 若目标函数 z ? ax ? y ?a ? 0? 取得最小值时最优解有无数 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0. ?
个,则实数 a 的值为 A. ? 1 B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

? x ? y ? 2≥0, ? GZ-1 6.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? y ? 2≥0, 表示的 ? x≤t ?
平面区域的面积为4,则实数 t 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4

GZ-2 11.不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是
2

.

GZ-2 17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示: 食物类型 维生素 C (单位/kg) 维生素 D (单位/kg) 成本(元/kg) 甲 300 700 5 乙 500 100 4 丙 300 300 3

某工厂欲将这三种食物混合成 100 kg 的混合食物,设所用食物甲、乙、丙的重量分别为 x kg、 y kg、 z kg. (1) 试以 x 、 y 表示混合食物的成本 P ; (2)若混合食物至少需含 35000 单位维生素 C 及 40000 单位维生素 D ,问 x 、 y 、 z 取什么值时,混合 食物的成本最少?

5.平面向量与三角 GZ-T 5.已知向量 a ? ? 2 , 1? , b ? ? x, ? 2? ,若 a ∥ b ,则 a + b 等于 A. ? ?2, ?1? B. ? 2,1? C. ? 3, ?1? D. ? ?3,1?

4

GZ-T

7.已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

3? ? 的是 ? ( x ? R) ,下面结论错误 .. 2 ?
B.函数 f ( x) 是偶函数

A.函数 f ( x) 的最小正周期为 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x ?

? 对称 4

D.函数 f ( x) 在区间 ? 0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

GZ-T

16. (本小题满分 12 分)

如图,在 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上, AD ? 33 , sin ?BAD ?

5 , 13

A

3 . 5 (1)求 sin ?ABD 的值; (2)求 BD 的长. cos ?ADC ?
D B A A ? ?? ? 3.如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ?? ? 0? 的最小正周期为 ,则 ? 的值为 C A

GZ-1

?

6?

2

A.1

B.2

C.4

D.8

GZ-1

8.已知两个非零向量 a 与 b ,定义 a ? b ? a b sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角.若 a = ? ?3, 4? ,

b = ? 0,2? ,则 a ? b 的值为
A. ? 8 B. ? 6 C. 6 D. 8

GZ-1

16. (本小题满分12分)

已知函数 f ( x) ? tan ? 3x ?

? ?

?? ?. 4?
(2)若 f ?

(1)求 f ?

??? ? 的值; ?9?

?? ?? ? ? ? 2 ,求 cos 2? 的值. ? 3 4?

5

GZ-1 17. (本小题满分12分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生, 将他们的期中考 试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分 成六段: ?40,50? , ?50,60? ,?, ?90,100? 后得到如图 4 的 频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3) 若从数学成绩在 ? 40,50? 与 ?90,100? 两个分数段内的学 生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于 10 的概率.

a
0.025 0.020

频率 组距

0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90

100(分数)

图4

GZ-2

5.已知向量 OA ? ? 3, ?4 ? , OB ? ? 6, ?3? , , OC ? ? m, m ? 1? ,若 AB / /OC ,则实数 m 的

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

值为 A. ?

3 2

B. ?

1 4
2 2

C.

1 2

D.

3 2

GZ-2

10. 已知实数 a , b 满足 a ? b ? 4a ? 3 ? 0 ,

函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ?1 的最大值记为 ? ? a, b? , 则 ? ? a, b? 的最小值为 A. 1 C. 3 ? 1 B. 2 D. 3

GZ-2

13.已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点, OP ? .

, 2 (点 O 为坐标原点)

点 M ? ?1,0? ,则 cos ?OPM 的取值范围是 GZ-2 16. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ? . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,且 f ?

?? ? 1 ? ? ? 2 ? ? , f ? ? ? ,求 sin ?? ? ? ? 的值. ?2? 3 ?2? 3

6

6.立体几何 GZ-T 8.设一个球的表面积为 S1 ,它的内接正方体的表面积为 S2 ,则

S1 的值等于 S2
D.

A.

2 ?

B.

6 ?

C.

? 6

? ?

资料来源: 苏 元 高 考 吧 www.g aokao8.net GZ-T 19.(本小题满分 14 分) 如图所示,已知正方形 ABCD 的边长为 2, AC ? BD ? O .将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 得到三棱锥 A ? BCD . (1)求证:平面 AOC ? 平面 BCD ; (2)若三棱锥 A ? BCD 的体积为

6 ,求 AC 的长. 3

A

B

O

D

C

GZ-1

5.如图 1 是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积 为 ... 2 B. 4 3 D.12 2 正(主)视图 2 侧(左)视图 2 2 2

4 3 A. 3
C.8

2

2 俯视图 图1

7

GZ-1

18. (本小题满分14分)

如图 5 所示, 在三棱锥 P ? ABC 中,AB ? BC ? 6 , 平面 PAC ? 平面 ABC ,PD ? AC 于点 D ,

AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 2 . (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)证明△ PBC 为直角三角形. A

P

D B
图5

C

GZ-2

7. 已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,在下列条件中,可得出 ? ? ? 的是 B. m ? l , ? ? ? ? l , m ? ? D. m // l , m ? ? , l ? ?

A. m ? l , l // ? , l // ? C. m // l , l ? ? , m ? ?

GZ-2

18. (本小题满分 14 分)

某建筑物的上半部分是多面体 MN ? ABCD , 下半部分是长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 (如 图 5). 该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 6, 其中正(主)视图由正方形和等 腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. (1)求线段 AM 的长; (2)证明:平面 ABNM ? 平面 CDMN ; (3)求该建筑物的体积.

2

M D A

N C B

1

1

4

4

D1 A1 B1

C1
正(主)视图 图6
8

2 侧(左)视图

图5

7.平面解析几何 GZ-T 6.直线 y ? kx ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 4 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.与 k 的取值有关

GZ-T 13.已知直线 y ? k ? x ? 2? ? k ? 0 ? 与抛物线 y 2 ? 8x 相交于 A 、 B 两 点, F 为抛物线的焦点,若 FA ? 2 FB ,则 k 的值为 GZ-T 20. (本小题满分 14 分) 设椭圆 M : .

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 的 右 焦 点 为 F1 , 直 线 l : x ? a2 2

?

?

a2 a ?2
2

与 x 轴交于点 A ,若

???? ???? . OF1 ? 2 AF1 ? 0 (其中 O 为坐标原点)
(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径( E 、 F 为直径
2

的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值. 10.已知圆 O : x ? y ? r ,点 P ? a,b ? ( ab ? 0 )是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短弦
2 2 2 2

GZ-1

所在的直线为 l1 ,直线 l2 的方程为 ax ? by ? r ? 0 ,那么 A. l1∥l2 ,且 l2 与圆 O 相离 C. l1∥l2 ,且 l2 与圆 O 相交 B. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相切 D. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相离

GZ-1

21. (本小题满分14分)
2

已知椭圆 x ?

y2 ? 1的左、 右两个顶点分别为 A 、B . 曲线 C 是以 A 、B 两点为顶点, 离心率为 5 4

的双曲线.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上,直线 AP 与椭圆相交于另一点 T . (1)求曲线 C 的方程; (2)设点 P 、 T 的横坐标分别为 x1 、 x2 ,证明: x1 ? x2 ? 1; (3) 设 ?TAB 与 ?POB(其中 O 为坐标原点) 的面积分别为 S1 与 S2 , 且 PAgPB≤15 , 求 S12 ? S22 的取值范围.

uu r uur

9

GZ-2

3.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是 m
1 4
C. ?

A. 4

B.

1 4

D. ? 4

GZ-2

19.(本小题满分 14 分)

已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 有一个相同的焦点 F 1, 直线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的长轴长取得最小值时,求椭圆 C1 的方 程及点 P 的坐标. 8.算法、统计与概率 GZ-T 11.在区间 ? 0,1? 内任取两个实数,则这两个实数之和小于 0.8 的概 率是 . GZ-T 12.已知程序框图如右,则输出的 i = .
开始

S ?1
i ?3


S ? 100?


输出i

S ? S *i

结束

i ?i?2

10

GZ-T 17. (本小题满分 12 分) 某城市为准备参加“全国文明城市”的评选,举办了“文明社区”评选的活动,在第一轮暗访评分 中,评委会对全市 50 个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分,每项评分均采用 5 分制,若设“社区服务”得分为 x 分, “居民素质”得分为 y 分,统计结果如下表:

y
社区数量

居民素质 1分 2分 3 0 1 3分 1 7 0 6 1 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3 1 3

x
社 区 服 务 1分 2分 3分 4分 5分

1 1 2

a
0

b
0

(1)若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于 3 分(即 x ? 3 且 y ? 3 )的社区可以进入第 二轮评比,现从 50 个社区中随机选取一个社区,求这个社区能进入第二轮评比的概率; (2)若在 50 个社区中随机选取一个社区,这个社区的“居民素质”得 1 分的概率为 值.

1 ,求 a 、b 的 10

GZ-1

? 4.在△ ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 2 , BC ? 3 ,在 BC 上任取一点 D ,使△ ABD 为钝角

三角形的概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

GZ-2 4.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛, 他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图 1,其中甲班学生的 平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x ? y 的值为 甲 A. 7 C. 9 B. 8 D. 10
8 5 x 6 9 0 2 7 8 9 图1

乙 6 1 1 1 y 1 6

11

9.阅读图 2 的程序框图, 该程序运行后输出的 k 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

开始

k ? 1, S ? 0


S ? 50


输出 k

S ? S ?k
结束

k ? k ?1

9.复数 GZ-T 3.设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 ? 2i ,则 A.第一象限 B.第二象限

图2

z1 在复平面内对应的点在 z2
C.第三象限 D.第四象限

GZ-1

2.已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 B. ? 1 C.0 D.2

A. ? 2

GZ-2

2.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? i , z2 ? 2 ? i ,且 z1 ? z2 ,则实数 a 的值为 B. ? 2 C. 2 或 ?2 D. ? 2 或 0

A. 2

12

10.推理与证明 GZ-1 13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画 点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5, 12,22,?,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2个五角形数记作 a2 ? 5 ,第3个 五角形数记作 a3 ? 12 ,第4个五角形数记作 a4 ? 22 ,?,若按此规律继续下去,则 a5 ? ,若

an ? 145 ,则 n ?



1

5

12

22 图2

GZ-2

12.如图 3, A, B 两点之间有 4 条网线连接,每条网线能通过

的最大信息量分别为 1, 2,3, 4 .从中任取两条网线,则这两条 网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是 11.坐标系与参数方程 GZ-T 15. (极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中,点 A 的坐标为 ? 2 2, 直线被曲线 C 所截弦的长度为 .

1 2 3 4 图3 B

A

? ?

?? ? ,曲线 C 的方程为 ? ? 2 cos? ,则 OA ( O 为极点)所在 4?


GZ-1

15. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的

参数方程分别为 l : ?

? x ? t ? 2, ? x ? 1 ? s, ( s 为参数)和 C : ? ( t 为参数) , 2 ?y ? t ? y ? 1? s


若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,则 AB ?

GZ-2

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC ( 顶点 A , B, C 按顺时

13

针方向排列 ) 的顶点 A, B 的极坐标分别为 ? 2, 为 .

? ?

?? ?

7? ? ? , ? 2, ? ,则顶点 C 的极坐标 6? ? 6 ?

12.几何证明选讲 GZ-T 14. (几何证明选讲选做题) 如右图, AB 是圆 O 的直径,直线 CE 与圆 O 相切于点 C , AD ? CE 于 点 D ,若圆 O 的面积为 4 ? , ?ABC ? 30 ,则 AD 的长为
?

B O

. C

A D E

GZ-1

14. (几何证明选讲选做题)如图3,圆 O 的半径为 5 cm ,点 P 是弦 AB 的中点,

OP ? 3 cm ,弦 CD 过点 P ,且

CP 1 ? ,则 CD 的长为 CD 3

cm .
C A O P

B D

图3 GZ-2 15. (几何证明选讲选做题)如图 4, AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C , D 使 BC ? 2OB , CD 是圆 O 的切线,切点为 D ,连接 AD , BD , 则

AD 的值为 BD

.

A

O 图4

B

C

14


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