湖北省宜昌市高三数学5月模拟考试试题理(扫描版)

湖北省宜昌市 2015 届高三数学 5 月模拟考试试题 理(扫描版)

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宜昌市 2015 届高三年级五月模拟考试 数学(理工类)参考答案 一、选择题 题号 1 答案 A 二、填空题 11. 2 14.(Ⅰ)14 三、解答题 17. 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin( 2 x ? 12. (Ⅱ) 2 C 3 D 4 B 5 B 6 A 7 D 8 B 9 C 10 D

3 2

13. x ? y ? 2 ? 0 15. 20 16. 2

3n ?1 ? 1 2

?
6

) ? sin 2 x ?

1 2
4分 5分 7分

?

k? ,0), ? k ? z ? 2 3 3 A 1 sin 2 x 得: sin A ? (Ⅱ)由 f ( ) ? 和 f ( x) ? 2 3 2 2 6 , ∵ ?ABC为锐角三角形,∴ cos A ? 3 6 6 3 又 cos?? ? C ? ? ? ,所以 cosC ? , sin C ? 3 3 3 3 6 2 2 cosC ? sin C ? 而 sin B ? sin( A ? C ) ? 3 3 3
所以 f ( x) 的对称中心为 ( 由正弦定理得: b ?

3 3 1 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2

10 分

a sin B ?4 2 sin A
S n ? na1 ?

12 分

18. 解: (Ⅰ)设 a n ? a1 ? (n ? 1)d ,

n(n ? 1) d , 由 S 3 ? 9 ? a1 ? d ? 3 2 a1 、 a 2 、 a 5 成等比数列 ? a1 (a1 ? 4d ) ? (a1 ? d ) 2 ? d ? 2a1

? a1 ? 1, d ? 2 或 a1 ? 3, d ? 0
故 an ? 2n ? 1, (Ⅱ)

S n ? n 2 或 an ? 3, Sn ? 3n .

6分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
8分

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ... ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 n , Tn ? ? an ?1 对一切 n ? N ? 恒成立 ?Tn ? 2n ? 1 ?Tn ?

5

?

n n ? ? (2n ? 1) ? ? ? ? 2n ? 1 (2n ? 1) 2

1 1 4n ? ? 4 n

10 分

? 4n ?

1 1 在 ?1 , +?? 单调递增,? ? ? 9 n

12 分

19. (Ⅰ)证:连结 QM , ∵点 Q, M , N 分别是线段 PB, AB, BC 的中点 ∴ QM // PA , MN // AC , ∴ QM // 平面 PAC ,∴ MN // 平面 PAC ∵ MN 2分 3分

QM ? M , ∴平面 QMN // 平面 PAC 4分 又 QK ? 平面 QMN , ∴ QK // 平面 PAC . 5分 (Ⅱ)法一:以 B 为原点,以 BC 、 BA 所在的直线为 x 、 y 轴,建立空间直角坐标系
则 A(0,8,0), M (0, 4,0), N (4,0,0), P(0,8,8), Q(0, 4, 4) , AK ? (a, ?a ? 4,0) 设 K (a, b,0) , ?MNB ? 45 ,则 a ? b ? 4 , AQ ? (0, ?4, 4) , 记 n ? ( x, y, z) 为平面 AQK 的一个法向量,则

? ? n AQ ? 0 ? y ? z ?? , 取 y ? z ? a ,则 n ? ( a ? 4, a , a ) ? ax ? ( a ? 4) y n AK ? 0 ? ? ?
分 又平面 AKM 的一个法向量为 m ? (0,0,1) 设二面角 Q ? AK ? M 的平面角为 ? 则 cos ? ? 分 10 分 ∴ K (1,3, 0) ,M (0, 4, 0) , ∴ MK 的长度为 2 .

8

mn m n

?

a (a ? 4) ? 2a
2 2

?

3 , 解得 a ? 1 9

10

12 分

法二: 过 M 作 MH ? AK 于 H , 连 QH , 则 ?QHM 即为二面角 Q ? AK ? M 的

A ? A B B ? C 平面角, 设 MK ? x , 且P
得 MH ?

? 8, KM H A M ? M K 由A

A M s n iK ?

2 2x x 2 ? 4 2 x ? 16

,

又 QM ? 4 ,且 cos ?QHM ?

3 9

∴ tan ?QHM ?

QM 2 ? MH ∴ MK 的长度为 2 .

x 2 ? 4 2 x ? 16 ? 26 , 解得 x ? 2 . x

20. 解: (Ⅰ)∵ 10 ? (0.01 ? 0.02 ? 0.03 ? a) ? 1 ,∴ a ? 0.04. ∴平均数 x ? 10 ? (65? 0.01 ? 75 ? 0.04 ? 85 ? 0.02 ? 95 ? 0.03) ? 分

82.

2

6

由图可知前两个矩形面积之和为了 0.5,则中位数为了 80. 分 (Ⅱ)据题意,知评分结果在 (40,50],(50,60] 内零件各有 2 个 则随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4. 分

4

5

1 1 2 2 1 P( X ? 0) ? ? ? ? ? , 2 2 3 3 9


6

1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 P( X ? 1) ? C2 ? ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? , 2 2 3 3 2 2 3 3 3


7

1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 13 1 1 P( X ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? C2 ? ? ? , 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 36


8

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 3) ? ? ? C2 ? ? ? C2 ? ? ? ? ? , 2 2 3 3 2 2 3 3 6


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1 1 1 1 1 P( X ? 4) ? ? ? ? ? . 2 2 3 3 36
分 ∴ X 的分布列为:

10

X
P

0

1

2

3

4

1 1 1 13 9 6 3 36 1 1 13 1 1 5 ∴ EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 3 36 6 36 3
分 21. 解: (Ⅰ)由题意 MF ? MH 知,

1 36

11 分 12

M 点的轨迹为以点 F (0,1) 为焦点, 直线 l : y ? ?1 为准线的抛物线, 分 所以曲线 ? 的方程为 x ? 4 y
2

2 4

分 (Ⅱ) 当直线 AB 斜率不存在时显然不合题意, 故设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b

? x2 ? 4 y 2 , 联立消去 y 得 x ? 4kx ? 4b ? 0 ? ? y ? kx ? b 设 A?x1 , y1 ?B?x2 , y2 ? , x1 ? x2 ? 4k , x1.x2 ? ?4b

6分
7

曲线 ? 的方程为 y ? 切线 PA : y ? 分

1 2 1 x , y? ? x 4 2
8

1 1 x1 ? x ? x1 ? ? y1 , 切线 PB : y ? x2 ? x ? x2 ? ? y2 2 2

? ? 2y ? 2y ? ?x ?x xx ? , F? P ? 1 2 , 1 2 ? 即 p?2k ,?2b? , E ? x1 ? 1 ,0 ? x2 ? 2 ,0 ? ? ? ? 4 ? x2 ? x1 ? ? 2 ? ? ?
分 线段 EF ? x2 ? x1 ?

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1 2 y1 2 y2 ,化简得 EF ? x2 ? x1 ? 2 x1 x2 1 1 1 S1 ? EF | y p |? x1 ? x2 x1 x2 ? | b | x1 ? x2 2 16 4 1 S 2 ? | b | x1 ? x2 2

12

分 所以存在 λ = 分

1 2

13

22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2 x ?

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 f ( x) 有两个不同的极值点, ? ( x ? a) x?a x?a ? 令 h( x) ? 2 x2 ? 2ax ? 1 ,则 h( x) 有两个大于 a 的零点, 2



? ? ? ? 4a 2 ? 8 ? 0 ? ? ? h( a ) ? 0 ? a ? ? 2 ? a ? a? ? 2
分 (Ⅱ)由(1)知,当 a ? ?2 时, f ( x) 在 (a, 增;

4

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ],[ , ??) 上单调递 2 2

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 , ] 上单调递减 在[ 2 2 a ? a2 ? 2 a a2 ? 2 a2 ? 2 x1 ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 2 2 2 2 a ? a2 ? 2 , a 2 ? 2 ? a 2 ? ?a ,故 x2 ? 0 , 又 x2 ? 2

6分

8

a ? ?1 , 2 h(?1) ? 3 ? 2a ? 0 , h(0) ? 1 ? 0 ,可推知 ?1 ? x2 ? 0 , ? 当 x ?[?1,0] 时, g(a) ? f ( x)max ? max ? f (?1), f (0)? 而 f (0) ? ln(?a), f (?1) ? 1 ? ln(?1 ? a) , ?e ?e 又由 f (0) ? f (?1) ? a ? ,但 ? ?2 ,故 f (0) ? f (1) 不成立, e ?1 e ?1 综上分析可知, g (a) ? f (?1) ? 1 ? ln(?1 ? a)(a ? ?2)
注意到 h( x) ? 2 x2 ? 2ax ? 1 的对称轴 x ? 分 (Ⅲ)由(2)知,当 a ? ?2 时, x ? ln( x ? 2) ? 1
2

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n ?1 n ?1 n ?1 2 n ?1 ,则 x ? ? ? (?1,0] ,? ( ) ? ln ? 1, n n n n n ?1 2 1 1 n ?1 2 ? ln ? ? 2 ,即 2 ? ln ? n n n n n n
令x?2? 分

12

??
i ?1

n

n 1 i ?1 n 1 n i ?1 n 2 ? ? ln ? ? 2 ? ? ln ?? i(i ? 2) i ?1 i i i ?1 i i ?1 i ?1 i

n n 3n2 ? 5n 1 1 3n2 ? 5n 2 ? 2 ? ln(n ? 1) ? ? ,即 2 ? ln(n ? 1) ? ? 8n ? 24n ? 16 2 4n ? 12n ? 8 i ?1 i i ?1 i 2 3n ? 5n 1 1 1 ? 2 ? ln n ? 1 ? 1 ? ? ? ... ? 8n ? 24n ? 16 2 3 n

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