初中数学竞赛教程及练习之十进制的记数法附答案

十进制的记数法 1. 一、内容提要 十进制的记数法就是用 0,1,2…9 十个数码记数的方法,位率是逢十进一。底数为 10 的各整数次幂,恰好是十进制数的各个位数: 100=1(个位数—第 1 位), 101=10(十位上的数---第 2 位), 102=100(百位上的数---第 3 位),…10n(第 n+1 位上的数) 例如 54307 记作 5×104+4×103+3×102+0×101+7×100 十进制的 n 位数(n 为正整数), a1 a 2 a 3 ? a n n 记作: 10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an 其中最高位 a1≠0,即 0<a1≤9,其它是 0≤a1,a2,a3…an≤9 各位上的数字相同的正整数记法: 例如∵999=1000-1=103-1,9999=104-1,∴ 999 ? 9 =10n-1 ? ? ? ? ? n个9 2. 3. 111 ? 1= ?? ? n个1 10n ? 1 10n ? 1 5 10n ? 1 , 333 = , = 555 ? 5 ? 3 ?? ? ? ? ? ? ? 9 3 9 n个5 n个3 ? ? 4 解答有关十进制数的问题,常遇到所列方程,少于未知数的个数,这时需要根据各位上 的数字都是表示 0 到 9 的整数,这一性质进行讨论。 二、例题 一个六位数的最高位是 1,若把 1 移作个位数,其余各数的大小和顺序都不变,则 所得的新六位数恰好是原数的 3 倍,求原六位数。 解:设原六位数 1 右边的五位数为 x,那么原六位数可记作 1×105+x ,新六位数为 10x+1, 根据题意,得 10x+1=3(1×105+x) 7x=299999 x=42857 ∴原六位数是 142857 例1. 例2. 设 n 为正整数,计算 999 ? 9 × 999 ? 9 +1 999 ? 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n个9 n n n个9 n n n个9 解:原数=(10 –1)×(10 –1)+1×10 +10 -1 =102n-2×10n+1+10n+10n-1 =102n 例3. 试证明 12,1122,111222,……,11 ? 1 22 ? 2 这些数都是两个相邻的正整数的积 ? ? ? ? ? ? n个1 n个 2 证明:12=3×4, 1122=33×34,111222=333×334 注意到 333×334=333×(333+1)= 由经验归纳法,得 103 - 1 103 - 1 ×( +1) 3 3 11 ? 1 22 ? 2= ? ? ? ? ? ? n个1 n个 2 10n ? 1 2 10n ? 1 ×10n+ 9 9 ? ? = 1 2 10n ? 1 10n ( + ) 3 3 3 = 10n ? 1 10n ? 1 ? 1) ( 3 3 上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积 试证明:任何一个四位正整数,如果四个数字和是 9 的倍数,那么这个四位数必能 被 9 整除。并把它推广到 n 位正整数,也有同样的结论。 证明:设一个四位数为 103a+102b+10c+d, 根据题意得 a+b+c+d=9k (k 为正整数),∴d=9k-a -b-c,代入原四位数,得 103a+102b+10c+9k-a -b-c=(103-1)a+(102-1)b+9c+9k =9(111a+11b+c+k) ∵111a+11b+c+k 是整数, ∴四位数 103a+102b+10c+d,能 9 被整除 - 推广到 n 位正整数: n 位正整数记作 10n 1a1+10n-2a2+…+10an-1+an(1) ∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k 是正整数) ∴an=9k-a1-a2-…-an-1 代入(1)得 n-1 n-2 原数=10 a1+10 a2+…+10an-1+9k-a1-a2-…-an-1 =(10n-1-1)a1+(10n-2-1)a2+…+9an-1+9k 例4. ∵10n-1-1,10n-2-1,…10-1 分别表示 99 ? 9 , 99 ? 9 ,…9 ? ? ? ? ? ? ?n ?1?个9 ?n ?2 ?个9 ∴原数=9( 11 ? 1 a1+ 11 ? 1 a2+…+an+k) ? ? ? ? ? ? n ?1 n?2 例5. ∴这个 n 位正整数必能被 9 整除 已知:有一个三位数除以 11,其商是这个三位数的三个数字和。 求:这个三位数。 解:设这个三位数为 102a+10b+c 其中 0<a≤9, 0≤b,c≤9 100 a ? 10b ? c a?b?c =9a+b+ 且-8 ≤a-b+c≤18 11 11 ∵它能被 11 整除,∴a-b+c 只能是 11 或 0。 ① 当 a-b+c=11 时,商是 9a+b+1, 根据题意得 9a+b+1=a+b+c,c=8a+1 a 只能是 1,c=9, b=a+c-11=-1 不合题意 ② 当 a-b+c=0 时,商是 9a+b , 9a+b= a+b+c 且 a-b+c=11 解得 ?a ? 1 ? ?b ? 9 ?c ? 8 ? 答这个数是 198 例6. 一个正整数十位上的数字比个位数大 2,将这个数的各位数字的顺序颠倒过来,再 加上原数,其和是 8877,求这个正整数。 解:∵顺序颠倒过来后,两个数的和是 8877, ∴可知它们都是四位数 设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为 a,b,c 则个位数是 c-2, 根据两个数的和是 8877 试用列竖式讨论答案 2 a b c (c-2) +) (c-2) c b a 8 8 7 7 从个位看 (c-2)+a=7 或 17 从千位看 a+(c-2)=8 (没进入万位) 可知 (c-2)+a=7 即 c+a=9 (1) b+c=7 或

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