【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第4课_图文

数学

R B(理)

§4.4 三角函数的图象和性质
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 y=sin x, x∈[0,2π]的图象中, 五个关键点是:

3π π ( 2 ,-1) (0,0),( ,1),(π,0), ,(2π,0).
2 余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点 π 3π (π ,- 1) 是:(0,1),( ,0), ,( ,0),(2π,1). 2 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 性质
定义域

y=sin x

y=cos x

y=tan x
π {x|x≠kπ+2, k∈Z}

R

R

图象

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
值域
知识回顾 理清教材

[-1,1]
x=kπ 对称轴:

[-1,1]
对称轴: x=kπ(k ∈Z) ; 对称中心:
π (kπ+2,0) (k∈Z) 2π

R

π + (k∈Z) 2 对称性 ;
(kπ,0)(k∈Z)

对称中心:
?kπ ? ? ,0?(k∈Z) ?2 ?

对称中心:

周期



π

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
单调增区间
π π [2kπ-2,2kπ+2]
知识回顾 理清教材

单调增区间
[2kπ-π,2kπ] (k∈Z)

单调增区间

单调 (k∈Z)



性 单调减区间
π 3π [2kπ+2,2kπ+ 2 ] (k∈Z)

; (kπ-π,kπ+π) 2 2 单调减区间
[2kπ,2kπ+π] (k∈Z) (k∈Z)

奇偶 性
基础知识

奇函数
题型分类

偶函数
思想方法

奇函数
练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) × (5) × (6) ×

解析

C

B

B
π π {x|-3≤x<-2或 0<x<2}

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y ?πx π? ? =2sin? 6 -3 ? ?(0≤x≤9)的最大 ? ? 值与最小值之和为 A.2- 3 C.-1 B.0 D. -1- 3 ( )

1 (2)函数 y= 的定义域 tan x-1 为_______________________ ______.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y ?πx π? ? =2sin? 6 -3 ? ?(0≤x≤9)的最大 ? ? 值与最小值之和为 A.2- 3 C.-1 B.0 D. -1- 3 ( )

求函数的定义域可利用三 角函数的图象或数轴;求 函数最值或值域时要利用 图象、三角变换、二次函 数等知识.

1 (2)函数 y= 的定义域 tan x-1 为_______________________ ______.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y ?πx π? ? =2sin? 6 -3 ? ?(0≤x≤9)的最大 ? ? 值与最小值之和为 A.2- 3 C.-1 B.0 D. -1- 3 ( )

(1) 利用三角函数的性质先 求出函数的最值.
∵0≤x≤9, π π π 7π ∴-3≤6x-3≤ 6 ,
? ?π π? ? ? ∴sin?6x-3?∈? ?- ? ? ? ? 3 ? , 1 ?. 2 ?

1 (2)函数 y= 的定义域 tan x-1 为_______________________ ______.
基础知识 题型分类

∴y∈ - 3,2??,
∴ymax+ymin=2- 3.
思想方法 练出高分

? ? ?

?

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y ?πx π? ? =2sin? 6 -3 ? ?(0≤x≤9)的最大 ? ? 值与最小值之和为 A.2- 3 C.-1 B.0 D. -1- 3 ( )

(2)要使函数有意义,必须有
?tan x-1≠0 ? ? , π ?x≠ +kπ,k∈Z 2 ? ? ?x≠π+kπ,k∈Z ? 4 即? π ? x≠2+kπ,k∈Z. ? ?

1 (2)函数 y= 的定义域 tan x-1 为_______________________ ______.
基础知识 题型分类

π 故函数的定义域为{x|x≠4+ π kπ 且 x≠2+kπ,k∈Z}.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y ?πx π? ? =2sin? 6 -3 ? ?(0≤x≤9)的最大 ? ? 值与最小值之和为 A.2- 3 C.-1 B.0 D. -1- 3 ( A )

(2)要使函数有意义,必须有
?tan x-1≠0 ? ? , π ?x≠ +kπ,k∈Z 2 ? ? ?x≠π+kπ,k∈Z ? 4 即? π ? x≠ +kπ,k∈Z. ? 2 ?

1 (2)函数 y= 的定义域 tan x - 1 π π

x|x≠4+kπ 且 x≠2+kπ, 为{ _______________________
k∈Z} . ______
基础知识 题型分类

π 故函数的定义域为{x|x≠ + 4 π kπ 且 x≠ +kπ,k∈Z}. 2
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y ?πx π? ? =2sin? 6 -3 ? ?(0≤x≤9)的最大 ? ? 值与最小值之和为 A.2- 3 C.-1 B.0 D. -1- 3 ( A )

(1)求三角函数的定义域实际 上是解简单的三角不等式, 常借助三角函数线或三角函 数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)

常见到以下几种类型的题目: 1 (2)函数 y= 的定义域 ①形如 y=asin x+bcos x+c tan x - 1 π π x|x≠4+kπ 且 x≠2+kπ, 的三角函数化为 y= Asin(ωx 为{ _______________________

k∈Z} . ______
基础知识 题型分类

+φ)+k 的形式, 再求最值(值 域);
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y ?πx π? ? =2sin? 6 -3 ? ?(0≤x≤9)的最大 ? ? 值与最小值之和为 A.2- 3 C.-1 B.0 D. -1- 3 ( A )

②形如 y=asin2x+bsin x +c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二 次函数求值域(最值); ③形如 y=asin xcos x+ b(sin x± cos x)+c 的三角 函数,可先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二次 函数求值域(最值).

1 (2)函数 y= 的定义域 tan x - 1 π π

x|x≠4+kπ 且 x≠2+kπ, 为{ _______________________
k∈Z} . ______
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1

π ≤3+2kπ,k∈Z} _________________ .

(1)函数 y=lg(sin x)+

1 {x|2kπ<x cos x- 的定义域为_________ 2 ( )

(2)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为 5 A.[-1,1] B.[- ,-1] 4 5 5 C.[- ,1] D.[-1, ] 4 4 sin x>0, ? ? 解析 (1)要使函数有意义必须有? 1 cos x - ? 2≥0, ? ? ? ?sin x>0, ?2kπ<x<π+2kπ, 即? 解得? π (k∈Z), 1 π cos x≥2, - +2kπ≤x≤3+2kπ ? ? ? ? 3
π ∴函数的定义域为{x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z}. 思想方法 题型分类 基础知识 π ∴2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z,

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1

π ≤3+2kπ,k∈Z} _________________ .
A.[-1,1] 5 C.[- ,1] 4

(1)函数 y=lg(sin x)+

1 {x|2kπ<x cos x- 的定义域为_________ 2 ( C )

(2)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为 5 B.[- ,-1] 4 5 D.[-1, ] 4

(2)y=sin2x+sin x-1, 令 t=sin x, 则有 y=t2+t-1, t∈[-1,1],
画出函数图象如图所示,从图象可以看出, 1 当 t=- 及 t=1 时,函数取最值,代入 y=t2 2 +t-1,
5 可得 y∈[- ,1]. 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 写出下列函数的单调 区间及周期:
? π? ? ? (1)y=sin?-2x+3 ?; ? ?

(2)y=|tan x|.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 写出下列函数的单调 区间及周期:
? π? ? ? (1)y=sin?-2x+3 ?; ? ?

(1)化为

? π? ? y=-sin?2x-3 ? ?,再 ? ?

求单调区间及周期.

(2)y=|tan x|.

(2)由 y=tan x 的图象→y= |tan x| 的图象 → 求单调性及 周期.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华
? π? ? (1)y=-sin?2x-3? ?, ? ? ? π? ? 它的增区间是 y=sin?2x-3? ? ? ?

【例 2】 写出下列函数的单调 区间及周期:
? π? ? ? (1)y=sin?-2x+3 ?; ? ?

(2)y=|tan x|.

的减区间,

它的减区间是

? π? ? y=sin?2x-3? ? ? ?

的增区间. π π 由 2kπ - 2 ≤2x - 3 ≤2kπ +
π 2,k∈Z, π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 写出下列函数的单调 区间及周期:
? π? ? ? (1)y=sin?-2x+3 ?; ? ?

(2)y=|tan x|.

π π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ 2 3 3π ,k∈Z, 2 5π 11π 得 kπ + 12 ≤x≤kπ + 12 , k∈Z. 故所给函数的减区间为 ? π 5π? ? ? , k π + ?kπ- ?,k∈Z; 12 12 ? ? ? 5π 11π? ? 增区间为?kπ+12,kπ+ 12 ? ?, ? ? k∈Z.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 写出下列函数的单调 区间及周期:
? π? ? ? (1)y=sin?-2x+3 ?; ? ?

2π 最小正周期 T= =π. 2
(2)观察图象可知,y=|tan x| ? π? ? 的 增 区 间 是 ?kπ,kπ+2? ?, ? ? ? ? π ? k∈Z,减区间是?kπ-2,kπ? ?, ? ? k∈Z.
最小正周期 T=π.

(2)y=|tan x|.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 写出下列函数的单调 区间及周期:
? π? ? ? (1)y=sin?-2x+3 ?; ? ?

(1) 求形如 y = Asin(ωx + φ) 或 y= Acos(ωx+ φ)(其中, ω>0) 的单 调区间时,要 视 “ωx+φ”为一个整体,通 过 解不 等式 求解. 但如果 ω<0,那么一定先借助诱导 公式将 ω 化为正数, 防止把 单调性弄错.

(2)y=|tan x|.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 写出下列函数的单调 区间及周期:
? π? ? ? (1)y=sin?-2x+3 ?; ? ?

(2) 求函数的单调区间应遵 循简单化原则,将解析式先 化简,并注意复合函数单调 性规律“同增异减”.
(3) 求含有绝对值的三角函 数的单调性及周期时,通常 要画出图象, 结合图象判定.

(2)y=|tan x|.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 求函数 大、最小值.
?π ? ?π ? π 解 ∵?3+4x?+?6-4x?=2, ? ? ? ? ? ?π ? π? ∴cos?4x-6?=cos?6-4x? ? ? ? ? ?π ? π ?? ?π ? ? ? =cos?2-?3+4x??=sin?3+4x?. ? ?? ? ? ? ? π? 2π π ? ? ∴y=2sin 4x+3 ,周期 T= 4 =2. ? ?

?π ? ? π? y=sin?3+4x?+cos?4x-6 ?的周期、 单调区间及最 ? ? ? ?

π π π 当-2+2kπ≤4x+3≤2+2kπ (k∈Z)时,函数单调递增, ? 5π kπ π kπ? ∴函数的递增区间为?-24+ 2 ,24+ 2 ? (k∈Z). ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 求函数 大、最小值.
π π 3π 当 +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递减, 2 3 2
?π kπ 7π kπ? ∴函数的递减区间为?24+ 2 ,24+ 2 ?(k∈Z). ? ?

?π ? ? π? y=sin?3+4x?+cos?4x-6 ?的周期、 单调区间及最 ? ? ? ?

π kπ 当 x=24+ 2 (k∈Z)时,ymax=2; 5π kπ 当 x=-24+ 2 (k∈Z)时,ymin=-2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x ? π? (x∈R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤2 ?的 ? ? 图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值为________. (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象 ?4π ? 关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的 ? ? 最小值为 π π A. B. 6 4
基础知识

π C. 3

( π D. 2

)

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
解析 答案 思维升华
? π? (1)f(x)=2sin?x+3 ?, ? ? ? ? π y = f(x + φ) = 2sin ?x+3+φ? 图 ? ?

【例 3】 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x ? π? (x∈R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤2 ?的 ? ? 图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值为________. (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象 ?4π ? 关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的 ? ? 最小值为 π π A. B. 6 4
基础知识

象关于 x=0 对称,

即 f(x+φ)为偶函数.
π π ∴3+φ = 2 +kπ ,k∈Z, φ=kπ π +6,k∈Z, π π 又∵|φ|≤ ,∴φ= . 2 6
思想方法 练出高分

π C. 3

( π D. 2

)

题型分类

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x ? π? (x∈R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤2 ?的 ? ? 图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值为________. (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象 ?4π ? 关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的 ? ? 最小值为 π π A. B. 6 4
基础知识

? ? 4π (2) 由题意得 3cos ?2× 3 +φ? = ? ? ?2π ? 3cos? 3 +φ+2π? ? ? ?2π ? =3cos? 3 +φ?=0, ? ?

2π π ∴ +φ=kπ+ ,k∈Z, 3 2
π ∴φ=kπ-6,k∈Z,取 k=0, π 得|φ|的最小值为6.
思想方法

π C. 3

( π D. 2

)

题型分类

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x ? π? (x∈R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤2 ?的 ? ? 图象关于直线 x=0 对称,则 φ

π 6 的值为________ .

(2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象 ?4π ? 关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的 ? ? 最小值为 π π A. B. 6 4
基础知识

? ? 4π (2) 由题意得 3cos ?2× 3 +φ? = ? ? ?2π ? 3cos? 3 +φ+2π? ? ? ?2π ? 2π ? ? + φ =3cos 3 =0, ∴ +φ=kπ 3 ? ?

π C. 3

( A ) π D. 2

π + ,k∈Z, 2 π ∴φ=kπ- ,k∈Z,取 k=0, 6 π 得|φ|的最小值为 . 6

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x ? π? (x∈R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤2 ?的 ? ? 图象关于直线 x=0 对称,则 φ

若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数, 则当 x=0 时,f(x)取得最大值或 最小值.

π 6 的值为________ .

若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数, 则当 x=0 时,f(x)=0.
如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx π +φ=2+kπ (k∈Z),求 x.
如果求 f(x)的对称中心的横坐标, 只需令 ωx+φ=kπ (k∈Z)即可.
思想方法 练出高分

(2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象 ?4π ? 关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的 ? ? 最小值为 π π A. B. 6 4
基础知识

π C. 3

( A ) π D. 2

题型分类

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为 1, 则它的图象的一个对称中心为 π A.(- ,0) 8 1 C.(- ,0) 8 ( B.(0,0) )

1 D.( ,0) 8 π π (2)设函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(- , ))的最小正周期为 π,且其 2 2 π π 图象关于直线 x= 对称,则在下面四个结论:①图象关于点( ,0) 12 4 π π π 对称;②图象关于点( ,0)对称;③在[0, ]上是增函数;④在[- , 3 6 6 0]上是增函数中,所有正确结论的编号为________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
π 解析 (1)由条件得 f(x)= 2sin(ax+ ), 4 2π 又函数的最小正周期为 1,故 a =1,∴a=2π, π 故 f(x)= 2sin(2πx+4). 1 将 x=-8代入得函数值为 0. (2)∵T=π,∴ω=2. π π π 又 2×12+φ=kπ+2(k∈Z),∴φ=kπ+3(k∈Z). π π π π ∵φ∈(-2,2),∴φ=3,∴y=sin(2x+3), 由图象及性质可知②④正确.
答案 (1)C
基础知识

(2)②④
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4 三角函数的单调性、对称性

π π 典例:(20 分)(1)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+ )在( , 4 2 π)上单调递减,则 ω 的取值范围是 1 5 1 3 1 A.[ , ] B.[ , ] C.(0, ] 2 4 2 4 2 ( ) D.(0,2]

(2)已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 对任意实数 x 有 f(x π π + )=f(-x)成立,且 f( )=1,则实数 b 的值为 ( ) 4 8 A.-1 B.3 C.-1 或 3 D.-3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4 三角函数的单调性、对称性

π 5π (3)(2012· 课标全国)已知 ω>0,0<φ<π, 直线 x= 和 x= 4 4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴, 则φ 等于 ( ) π π π 3π A. B. C. D. 4 3 2 4 π π 2π (4)函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0 且|φ|< )在区间[ , ]上单 2 6 3 调递减,且函数值从 1 减小到-1,那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 ( ) 6+ 2 1 2 3 A. B. C. D. 2 2 2 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4
思 维 启 迪

三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4
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三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答
温 馨 提 醒

π (1)( ,π)为函数 f(x)某个单调减区间的子集; 2 π (2)由 f(x+4)=f(-x)可得函数的对称轴,应用函数

在对称轴处的性质求解即可; (3)f(x)= sin(ωx+ φ)图象相邻两条对称轴之间的距 T 离是2;
(4)可结合图象分析函数的单调性,周期性确定 ω,φ.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4
思 维 启 迪

三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答

温 馨 提 醒

π π π π π 解析 (1)由 <x<π 得 ω+ <ωx+ <πω+ , 2 2 4 4 4 π π π π 3π 由题意知(2ω+4,πω+4)?[2, 2 ], ? ?πω+π≥π, ?2 4 2 ∴? , π 3π ? πω+4≤ 2 ? ? 1 5 ∴2≤ω≤4,故选 A.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4
思 维 启 迪

三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答 温 馨 提 醒

π (2)由 f(x+ )=f(-x)可知函数 f(x)=2cos(ωx+φ) 4 π +b 关于直线 x= 对称,又函数 f(x)在对称轴处取 8 得最值,故± 2+b=1,∴b=-1 或 b=3.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4
思 维 启 迪

三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答 温 馨 提 醒

(3)利用三角函数的对称轴求得周期 ?5π ? π ? - 由题意得周期T=2? ? ?=2π, 4 4 ? ? 2π ∴2π= ω ,即ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),
?π? ?π ? ? ? ? ∴f?4?=sin?4+φ? 1, ?= ± ? ? ? ?

π π 5π π π π ∵0<φ<π,∴4<φ+4< 4 ,∴φ+4=2,∴φ=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4
思 维 启 迪

三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答 温 馨 提 醒

(4)函数 y=sin(ωx+φ)的最大值为 1,最小值为-1,由 π 2π 该函数在区间[ , ]上单调递减,且函数值从 1 减小到 6 3 2π π π 2π 2π -1, 可知 - = 为半周期, 则周期为 π, ω= T = = 3 6 2 π 2,此时原函数式为 y=sin(2x+φ),又由函数 y=sin(ωx π π +φ)的图象过点( ,1),代入可得 φ= ,因此函数为 y 6 6 π 1 =sin(2x+ ),令 x=0,可得 y= . 6 2 答案 (1)A (2)C (3)A (4)A
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三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω 的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为 函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的 单调区间,从而利用它们之间的关系可求解.
(2)函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的图象与其对称轴的交 点是最值点.

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思想方法·感悟提高

1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y

方 法 与 技 巧

=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式.
2.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的 2π 最小正周期为|ω|, y=tan(ωx+φ)的最小正 π 周期为|ω|.

3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、 对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t =ωx+φ, 将其转化为研究 y=sin t 的性质.
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思想方法·感悟提高

1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域

失 误 与 防 范

基础上分析单调性,含参数的最值问题,要 讨论参数对最值的影响.

2.要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 ω 的符号,尽量化成 ω>0 时的情况.

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π 1.下列函数中,周期为 π 且在[0, ]上是减函数的 2 是 π A.y=sin(x+ ) 4 C.y=sin 2x ( D ) π B.y=cos(x+ ) 4 D.y=cos 2x

解析 对于函数 y=cos 2x,T=π, π 当 x∈[0,2]时,2x∈[0,π],y=cos 2x 是减函数.
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? π? ? x-cos?x+6 ? ?的值域为 ? ?

2.(2012· 湖南)函数 f(x)=sin A.[-2,2]

( B )

B.[- 3, 3] ? 3 3? ? ? C.[-1,1] D.?- , ? 2 2? ? 解析 将函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式后求解.
π π ∵f(x)=sin x-cos xcos 6+sin xsin 6 ? 3 ? 3 1 1 ? =sin x- cos x+ sin x= 3? sin x- cos x? ? 2 2 2 ? 2 ? ? π? = 3sin?x-6?(x∈R), ? ? ∴f(x)的值域为[- 3, 3].
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? π? x-cos?x+6?=sin ? ?

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3.(2013· 浙江)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0, π φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ= ”的 ( B ) 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
? π? π 解析 φ= ?f(x)=Acos?ωx+2?=-Asin ωx 为奇函数, 2 ? ? π ∴“f(x)是奇函数”是“φ= ”的必要条件. 2 π 又 f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数?f(0)=0?φ= +kπ(k∈Z) 2 π φ=2. π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ=2”的充分条件.

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4.函数 y=cos 2x+sin2x,x∈R 的值域是 1 A.[0,1] B.[ ,1] 2 C.[-1,2]
2

( A )

D.[0,2]

1-cos 2x 解析 y=cos 2x+sin x=cos 2x+ 2 1+cos 2x = . 2

∵cos 2x∈[ -1,1] ,∴y∈[0,1] .

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5.(2012· 天津)将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象向右 ?3π ? π ? , 0 平移 个单位长度,所得图象经过点? ? ?,则 ω 的 4 4 ? ? 最小值是 1 A. 3 B.1 5 C. 3 ( D ) D.2
? ? π ? x - ω? ? ?, 4 ? ?

解析 根据题意平移后函数的解析式为 y=sin
?3π ? ? 将? 4 ,0? ?代入得 ? ?

ωπ sin 2 =0, 则 ω=2k, k∈Z, 且 ω>0,

故 ω 的最小值为 2.
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π 5π π [kπ+8,kπ+ 8 ] 6.函数 y=cos( -2x)的单调减区间为_________________ 4
(k∈Z) . ______
π π 解析 由 y=cos(4-2x)=cos(2x-4)得 π 2kπ≤2x-4≤2kπ+π(k∈Z), π 5π 故 kπ+8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z). π 5π 所以函数的单调减区间为[kπ+8,kπ+ 8 ](k∈Z).
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π π 7.当- ≤x≤ 时,函数y=sin x+ 3cos x的最大值为 2 2 2 -1 . ________ ,最小值为________
π π π 5π 解析 y=2sin(x+3),-6≤x+3≤ 6 , 1 π ∴-2≤sin(x+3)≤1,∴-1≤y≤2,

故 ymax=2,ymin=-1.

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8.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0, π |φ|< ),y=f(x)的部分图象如图,则 2 π f( )=________. 24
3π π 解析 由题中图象可知,此正切函数的半周期等于 - = 8 8 π π ,即最小正周期为 , 4 2 3π 所以 ω=2.由题意可知,图象过定点( ,0), 8

3π 3π 所以 0=Atan(2× +φ),即 +φ=kπ(k∈Z), 8 4 3π 所以 φ=kπ- (k∈Z), 4
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8.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0, π |φ|< ),y=f(x)的部分图象如图,则 2 π 3 f( )=________. 24
π π 又|φ|< ,所以 φ= . 2 4

又图象过定点(0,1),所以 A=1. π 综上可知,f(x)=tan(2x+ ), 4 π π π π 故有 f(24)=tan(2×24+4)=tan 3= 3.
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? ? (-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称 2 x + φ 9.设函数 f(x)=sin ? π 轴是直线 x= . 8

(1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间.

π π 解 (1)令2×8+φ=kπ+2,k∈Z, π ∴φ=kπ+4,k∈Z, 3π 又-π<φ<0,则 φ=- 4 .
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? ? (-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称 2 x + φ 9.设函数 f(x)=sin ? π 轴是直线 x= . 8

(1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间.
? 3π? ? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- ? ?, 4 ? ?

π 3π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 8 ?π ? 5π 因此 y=f(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?, k∈Z. ? ?
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πx π 2 πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求 4 当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3

πx π πx π πx 解 (1)f(x)=sin cos -cos sin -cos 4 6 4 6 4 3 πx 3 πx πx π = sin - cos = 3sin( - ), 2 4 2 4 4 3 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= π =8. 4
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πx π 2 πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求 4 当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3
(2)方法一 在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),

它关于 x=1 的对称点(2-x,g(x)).
由题设条件,知点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图象上, π π 从而 g(x)=f(2-x)= 3sin[4(2-x)-3] π πx π πx π = 3sin[2- 4 -3]= 3cos( 4 +3).
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πx π 2 πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求 4 当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3

4 π πx π 2π 当 0≤x≤ 时, ≤ + ≤ , 3 3 4 3 3 4 因此 y=g(x)在区间[0,3]上的最大值为 π 3 g(x)max= 3cos 3= 2 .
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πx π 2 πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求 4 当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3

方法二

4 2 区间[0, ]关于 x=1 的对称区间为[ , 2], 3 3

且 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 4 故 y=g(x)在[0,3]上的最大值为 2 y=f(x)在[3,2]上的最大值.
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πx π 2 πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求 4 当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3 πx π 由(1)知 f(x)= 3sin( - ), 4 3 2 π πx π π 当3≤x≤2 时,-6≤ 4 -3≤6. 4 因此 y=g(x)在[0,3]上的最大值为 π 3 g(x)max= 3sin = . 6 2
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1.函数 y= |sin x+cos x|-1的定义域是 ( A ) π π A.[kπ,kπ+ ](k∈Z) B.[2kπ,2kπ+ ](k∈Z) 2 2 π π C.[- +kπ,kπ](k∈Z) D.[- +2kπ,2kπ](k∈Z) 2 2

解析 |sin x+cos x|-1≥0?(sin x+cos x)2≥1 ?sin 2x≥0,
∴2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,
π 故原函数的定义域是[kπ,kπ+2](k∈Z).
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π π 2.设函数 f(x)=3sin( x+ ),若存在这样的实数 x1,x2, 2 4 对任意的 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-

2 x2|的最小值为________ .
π π 2 解析 f(x)=3sin(2x+4)的周期 T=2π×π=4,

f(x1),f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值,
T 故|x1-x2|的最小值为2=2.

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3.已知函数 f(x)=cos xsin x(x∈R),给出下列四个命题: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是 2π; π π ③f(x)在区间[- , ]上是增函数; 4 4 3π ④f(x)的图象关于直线 x= 对称. 4 其中真命题是________.

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1 π 解析 f(x)= sin 2x,当 x1=0,x2= 时, 2 2 f(x1)=-f(x2),但 x1≠-x2,故①是假命题;
f(x)的最小正周期为 π,故②是假命题;

π π π π 当 x∈[-4,4]时,2x∈[-2,2],故③是真命题; 3π 1 3 1 因为 f( 4 )=2sin 2π=-2, 3 故 f(x)的图象关于直线 x=4π 对称, 故④是真命题.

答案 ③④
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4.已知函数 f(x)=sin 2x- 3cos 2x+1. π π (1)当 x∈[ , ]时,求 f(x)的最大值和最小值; 4 2 (2)求 f(x)的单调区间.
π 解 (1)f(x)=sin 2x- 3cos 2x+1=2sin(2x-3)+1. π π π π π 2π ∵4≤x≤2,∴2≤2x≤π,∴6≤2x-3≤ 3 , 1 π π ∴2≤sin(2x-3)≤1,∴1≤2sin(2x-3)≤2, π 于是 2≤2sin(2x-3)+1≤3, ∴f(x)的最大值是 3,最小值是 2.
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4.已知函数 f(x)=sin 2x- 3cos 2x+1. π π (1)当 x∈[ , ]时,求 f(x)的最大值和最小值; 4 2 (2)求 f(x)的单调区间.
π π π (2)由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z, π 5π 得 2kπ-6≤2x≤2kπ+ 6 ,k∈Z, π 5π ∴kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z, π 5π 即 f(x)的单调递增区间为[kπ-12,kπ+12],k∈Z, π π 3π 同理由 2kπ+2≤2x-3≤2kπ+ 2 ,k∈Z, 5π 11π 得 f(x)的单调递减区间为[kπ+12,kπ+ 12 ],k∈Z.
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? π? x∈?0,2 ?时, ? ?

5.已知 a>0,函数 -5≤f(x)≤1.

? π? f(x)=-2asin?2x+6 ?+2a+b,当 ? ?

(1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2 ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?



? π? 7π? π ? ? ? ?π (1)∵x∈?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ? ?. ? ? ? ?

? ? ? π? 1 ? ? ? ∴sin?2x+6?∈?-2,1? ?, ? ? ? ? ? π? ? ∴-2asin?2x+6? ?∈[-2a,a]. ? ?

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? π? x∈?0,2 ?时, ? ?

5.已知 a>0,函数 -5≤f(x)≤1.

? π? f(x)=-2asin?2x+6 ?+2a+b,当 ? ?

(1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2 ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?

∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1,
∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. ? ? π ? 2 x + (2)由(1)得,f(x)=-4sin? ? ?-1, 6 ? ? ? ? ? π? 7π? π? ? ? ? ? ? g(x)=f?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1=4sin?2x+6? ?-1, ? ? ? ? ? ?
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? π? x∈?0,2 ?时, ? ?

5.已知 a>0,函数 -5≤f(x)≤1.

? π? f(x)=-2asin?2x+6 ?+2a+b,当 ? ?

(1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2 ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?

又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, ? ? π? π? ? ? ? ? 1 ∴4sin?2x+6?-1>1,∴sin?2x+6?>2, ? ? ? ? π π 5π ∴2kπ+6<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z, π π π 其中当 2kπ+6<2x+6≤2kπ+2,k∈Z 时,
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? π? x∈?0,2 ?时, ? ?

5.已知 a>0,函数 -5≤f(x)≤1.

? π? f(x)=-2asin?2x+6 ?+2a+b,当 ? ?

(1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2 ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?

π g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z, 6 ? ? π ? k π , k π + ∴g(x)的单调增区间为? ? ?,k∈Z. 6 ? ? π π 5π 又∵当 2kπ+2<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z 时,
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? π? x∈?0,2 ?时, ? ?

5.已知 a>0,函数 -5≤f(x)≤1.

? π? f(x)=-2asin?2x+6 ?+2a+b,当 ? ?

(1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2 ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?

π π g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 6 3
? π π? ? ? k π + , k π + ∴g(x)的单调减区间为? ?,k∈Z. 6 3 ? ?

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