浙江省嵊州市2014-2015学年高二第二学期期末教学质量检测数学文试卷(A卷)

嵊州市 2014 学年第二学期期末教学质量检测试卷

高二 数学(文科 A 卷)
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、班级、 学号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分 钟.

参考公式: 球的表面积公式 S=4πR
4 3
2

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S 2 3

球的体积公式 V= πR3 其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V= Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高
1 3

?

?

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

第Ⅰ卷(共 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ? ?1, 2,3? , N ? x ? Z 1 ? x ? 4 ,则 A. M ? N 2.若 a ? b ? 0 ,则 A. a 2 ? b 2 B. ab ? b
2

?

?

B. N ? M

C. M ? N ? {2,3}

D. M ? N ? (1,4)

C. ? ? ? ? ?

?1? ?2?

a

?1? ?2?

b

D.

b a ? ?2 a b

3.命题 “ ?x ? R, f ? x ? ? ? ”的否定为 A. ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 C. ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 4. 若数列 a1 , B. ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 D. ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0

a a a2 , 3 ,?, n 是首项为 1,公比为 ? 2 的等比数列,则 a4 等于 a1 a2 an ?1

A. ? 8

B. ?2 2

C. 2 2

D. 8

5.已知 a, b, c, d 为非零向量,且 a ? b ? c , a ? b ? d ,则下列命题正确 的个数为 .. (1)若 a ? b ,则 c ? d ? 0 (3)若 c ? d ,则 a ? b ? 0 A. 1 B. 2 (2)若 c ? d ? 0 ,则 a ? b (4)若 a ? b ? 0 ,则 c ? d C. 3 D. 4

6.对于函数 y ? f ? x ? 图象上任意一点 P ( x1 , y1 ) ,存在 Q( x2 , y2 ) ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 则函数 y ? f ? x ? 可以为 A. y ? 2 x ? 2 C. y ? x2 +1 B. y ? log 2 x D. y ? x ? 1

7. 如图,四边形 OABC ,ODEF ,OGHI 是三个全 等的菱形, ?COD ? ?FOG ? ?AOI ? 60? , P 为各

E

??? ? ??? ? ???? 菱形边上的动点,设 OP ? xOD ? yOH ,则 x ? y 的
最大值为 A. 3 D. 6 B. 4 C. 5

F

D

G

O
H
I

C

x2 y 2 8. 设双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率 a b

A
第7题图

B

为 e ,右顶点为 A ,点 Q ? 3a,0? ,若 C 上存在一点 P ,使得 AP ? PQ ,则 A. e ? 1, 2 C.

? e ? ?1, 3 ?

?

B. e ? D.

? 2, 3 ? e ? ? 2, ?? ?

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题 (本大题共 7 小题,其中第 9、10、11、12 题每格 3 分,13、14、15 题每格 4 分, 共 36 分)
?| x ? 1| ( x ≤ 1) 9.已知函数 f ( x) ? ? x , f (a) ? 2 ,则 f ( x ? 1) ? 3

? f ? ?1?? ?

▲ ,a ?

▲ .

10.已知平面向量 a ? (1, 2), b ? (?2, y) ,且 a ⊥ b ,则 | a |?

▲ ,y?

▲ .

? x ? y ? 5 ? 0, ? 11.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0, 则 x ? 2 y 的最小值为 ▲ ,该不等式组所围成的区域 ? x ? 3. ?
的面积为 ▲ . 12.若直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 与圆 C: x2 ? 2ax ? y 2 ? 0 有交点,则直线 l 的斜率为 ▲ , 实数 a 的取值范围为 ▲ . 13.设 O 为原点, P 是抛物线 x2 ? 4 y 上一点, F 为焦点, PF ? 5 ,则 OP ? ▲ . 14.已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ? ?1? an ? 2n ? 1 ,则数列 ?an ? 的前 4 项的和为 ▲ .
n

15. 定义 min ?a, b? ? ?

?a, a ? b ,若关于 x 的方程 min 2 x , x ? 2 ? m ?b, a ? b

?

?

? m ? R ? 恰有二个

不同的实根,则 m 的值为 ▲ . 三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16. (本小题满分 15 分) 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , 2a3 ? a1 ? a4 ? 3 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3n ?1 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n

17.(本小题满分 15 分) 已知椭圆 ? : 离之和为 4 . (Ⅰ)求椭圆 ? 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 y ? x ? m 与椭圆 ? 交于不同两点 A, B , 若点 P ? 0,1? 满足 PA ? PB , 求实数 m 的值.

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的一个焦点为 a 2 b2

?

3, 0 ,且 ? 上一点到其两焦点的距

?

??? ?

??? ?

18. (本小题满分 15 分) 设抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,且 y1 y 2 ? ?4 .
(Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)已知点 P ? ?1, k ? ,且 ?PAB 的面积为 6 3 ,求 k 的值.

第 18 题图

19. (本小题满分 15 分)
2 n ?1 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ??? ? 2 an ?
()

n , n ? N* . 2

[

(Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ? lg

1 , Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ,求证:数列 ?Tn ? 中 T1 最小. an

20. (本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的一个不动点. 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ( a ? 0 ) . (Ⅰ)当 a ? 2 , b ? ?2 时,求 f ( x) 的不动点; (Ⅱ)若 f ( x) 有两个相异的不动点 x1 , x 2 . (i)当 x1 ? 1 ? x2 时,设 f ( x) 的对称轴为直线 x ? m ,求证: m ? (ii)若 | x1 |? 2 ,且 | x1 ? x2 |? 2 ,求实数 b 的取值范围.

1 ; 2

嵊州市 2014 学年第二学期期末教学质量检测
高二文科数学 A 卷参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.C 2.D 3. B 4.D 5.D 6 .A 7.B 8.A

二、填空题 (本大题共 7 小题,第 9,10,11,12 题每空 3 分,第 13,14,15 题每空 4 分, 共 36 分) 9. 9 , 0 13. 4 2 10. 5 , 1 14. 10 11. ?13 , 15. 2

121 4

12.

? , ? ??, ?1? ? ?3, ??? ?

?

3 ?1

?

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16.(本小题满分 15 分) 解(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,则 2a3 ? a1 ? a4 ? 3 得 d ? 3 . 又由 a2 ? 6 ,得 a1 ? 3 . 故 an ? 3n . (Ⅱ) S n ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ?
2 n

????3 分 ????6 分 ????9 分

3 n ? ? 3 ? 1? . 2

????15 分

17.(本小题满分 15 分) 解(Ⅰ) c ? 3 , a ? 2 . 故b ?1 . 故椭圆方程为 ????2 分 ????4 分

x2 ? y 2 ? 1. 4

????6 分

(Ⅱ)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由 ? 由 ? ? 0 得 m ? ? 5, 5 .

? y ? x ? m, ?x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

2 2 得 5 x ? 8mx ? 4 m ? 1 ? 0 ,

?

?

?

?

????8 分

x1 ? x2 ? ?

8m 2m ,得 y1 ? y2 ? , 5 5

故 AB 的中点 M ? ?

? 4m m ? , ?. ? 5 5?

????11 分

m ?1 因为 PM ? AB ,所以 5 ? ?1 , 4m ? 5 5 得 m ? ? 满足条件. 3
18.(本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ) F (

????13 分

????15 分

p p ,0) ,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? ) , 2 2

????2 分

p ? ? y ? k(x ? ) 联立 ? 2 ,消 x ,得: ky 2 ? 2 py ? kp2 ? 0 , ? y 2 ? 2 px ?

????4 分

? y1 y2 ? ? p 2 ? ?4 ,从而 p ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x .????6 分
(Ⅱ)由已知, F (1,0) ,直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

4 ? ? y ? kx ? k ? y1 ? y2 ? , 2 联立 ? 2 ,消 x ,得 ky ? 4 y ? 4k ? 0 ,所以 ? k ????8 分 y ? 4 x ? ? ? y1 y2 ? ?4.
AB |? 1 ? 1 16 1 ? ? ? 2 ? 4 ? (?4) ? 4 ?1 ? 2 ? . 2 k k ? k ?
????10 分

又? P 到直线 AB 的距离 d ?

3k k 2 ?1



????12 分

故 S?OAB ?

1 1 ? AB ? d ? 6 1 ? 2 . 2 k

????14 分

故得 k ? ?

2 . 2

????15 分

19.(本小题满分 15 分) 解(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ?

1 . 2

????2 分

2 n?2 当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ??? ? 2 an ?1 ?

n ?1 n n ?1 1 n ?1 ? ,相减得 2 an ? ? 2 2 2 2
????4 分 ?????6 分 ????7 分

所以,当 n ? 2 时, an ? 当 n ? 1 时, a1 ?

1 . 2n

1 1 也满足上式,所求通项公式 an ? n . 2 2

(Ⅱ) bn ? n lg 2 ,

2 n ? ?1? ?1? ?1? ? Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? lg 2 ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? , ?2? ?2? ? ? ? ?2? ? 3 n ?1 ? ? 1 ?2 1 ?1? ?1? ? Tn ? lg 2 ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? 2 ?2? ?2? ? ? ?2? ?, ?

????9 分

相减得 Tn ? lg 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ?

1 2

? 1 ? 1 ?2 ? ?2 ? 2 ?

?1? ?2?

n

?1? ?2?

n ?1

? ?, ? ?
????12 分

所以 Tn ? 2lg 2 ?1 ? 设 f ?n? ?

? ?

n?2? ? 2n ?1 ? ,

f ? n ? 1? n ? 3 n?2 n?3 ,则 f ? n ? 1? ? n ? 2 ,显然 ? ? 1 ,????14 分 n ?1 2 2 f ? n? 2n ? 4
????15 分

即 f ? n ? 为减,从而 Tn 随着 n 的增大而增大,故 T1 最小. 20.(本小题满分 14 分)

2 解(Ⅰ)依题意: f ( x) ? 2x 2 ? 2x ? 1 ? x ,即 2 x ? 3x ? 1 ? 0 , ??????2 分

1 1 或 1 ,即 f ( x) 的不动点为 和 1 . 2 2 b (Ⅱ) (ⅰ)由 f ? x ? 表达式得 m ? ? , 2a
解得 x ? ∵ g ? x ? ? f ? x ? ? x ? ax ? ?b ?1? x ? 1, a ? 0 .
2

??????4 分

由 x1 ? 1 ? x2 得 g ?1? ? 0 得?



??????6 分 ??????8 分

b 1 ? 1 ,即证 m ? . 2 a
2

(ⅱ)△ ? ? b ? 1? ? 4a ? 0 ,

x1 ? x2 ?
又 x1 ? x2

1? b 1 , x1 x2 ? , a a
2

? 4 ,∴ ? b ? 1? ? 4a ? 4a 2 .
2

??????10 分

又 x1 , x2 到 g ? x ? 对称轴 x ?

1? b 的距离都为 1 , 2a

要使 g ? x ? ? 0 有一根属于 (?2,2) , 则 g ? x ? 对称轴 x ?

1? b ? (?3,3) , 2a

∴ a?
2

b ?1 . 6

??????12 分

故 ? b ? 1? ?

2 1 1 7 2 b ? 1 ? ? b ? 1? ,解得 b ? 或 b ? .??????14 分 3 9 4 4


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