山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试卷

高三复习阶段性检测试题
文科数学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 5 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,考试结束 后,将试卷和答题卡一并上交. 注意事项:
1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和 科类填写
2. 在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂 改液、 胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:
锥体的体积公式:V ? 1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3
如果事件 A,B 互斥,那么 P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B? ;如果事件 A,B 独立,那么
P ? AB? ? P ? A?? P ?B? .

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
? ? 1.集合 A ? ??1, 0,1?, B ? y y ? ex , x ? A ,则 A ? B =

A.?0?

B.?1?

C.?0,1? D.??1, 0,1?

2.复数 1? i (i 是虚数单位)的共轭复数的虚部为 1?i

A. ?1

B.0 C.1 D.2

? ? 3.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,满足 a13 ? S13 ? 13,则a1 ?

A. ?14

B. ?13

C. ?12

D. ?11

4.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是

A.1

B.2

C.3

D.4

5.函数

f

?

x?

?

2x

?

tan

x在 ???

?

? 2

,? 2

? ??

上的图象大致为

6.在 ?ABC 中,“ sin A ? 3 ”是“ ?A ? ? ”的

2

3

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7. 如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,

AB ? 2, AD ? 1,?A ? 60 , 点 M 在 AB 边 上 , 且

AM ? 1 AB,则DM ? DB 等于 3

A. ? 3 2

3
B.

C. ?1

D.1

2

8.设 p在?0,5? 上随机地取值,则关于 x 的方程 x2 ? px ?1 ? 0 有实数根的概率为

1

2

3

4

A.

B.

C.

D.

5

5

5

5

?x ? 0

9.已知

x,y

满足条件

? ?

y

?

x

(k 为常数),若目标函数 z ? x ? 3y 的最大值为 8,则

??2x ? y ? k ? 0

k=

A. ?16

B. ?6

C. ? 8

D.6

3

10.已知 ?ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ?ABC 的面积为 S,且

2S ? ?a ? b?2 ? c2,则 tan C 等于

3
A.

4
B.

C. ? 4

D. ? 3

4

3

3

4

11.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 8x ?15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至

少存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是

A. ? 4 3

B. ? 5 4

C. ? 3 5

D. ? 5 3

12.定义域为 ?a,b? 的函数 y ? f ? x? 的图象的两个端点为 A,B,M ? x, y?是f ? x? 图象上任意

一点,其中 x ? ?a ? ?1? ? ?b ?? ? R?,向量ON ? ?OA ? ?1? ? ?OB ,若不等式 MN ? k 恒

成立,则称函数 f ? x?在?a,b? 上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 1 在?1,2?上“k 阶线性近
x
似”,则实数 k 的取值范围为

A.?0,? ??

B.?1,? ??

C.

? ??

3 2

?

2,?

?

? ??

D.

? ??

3 2

?

2,?

?

? ??

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是 ______.

14.若双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

?b

?

0? 的左、右焦点分别为

F1,F2,

线段 F1F2 被抛物线 y2 ? 2bx 的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线
的离心率为______.
15.已知函数 f ? x? 在实数集 R 上具有下列性质:①直线 x ? 1 是

函 数 f ? x? 的 一 条 对 称 轴 ; ② f ? x ? 2? ? ? f ? x? ; ③ 当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时 ,
? f ? x2 ? ? f ? x1 ?? ? ? x2 ? x1 ? ? 0,则
f ?2012? 、 f ?2013? 从大到小的顺序为_______.
16.在如图所示的数阵中,第 9 行的第 2 个数为___________.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.

17.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x? ? 3 sin ?x cos?x ? cos2 ?x ? 1 ?? ? 0? ,其最小正周期为 ? .

2

2

(I)求 f ? x? 的表达式;

(II)将函数 f ? x? 的图象向右平移 ? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍
8

(纵坐标不变),得到函数

y

?

g

?

x?

的图象,若关于

x

的方程

g

?

x?

?

k

?

0

,在区间

???0,

? 2

? ??

上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 50 名学生,将他们的期中考试数 学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:
?40,50?,?50, 60?,???,?90,100? ,得到如图所示的频率分布直方图.
(I)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计成绩不低于 60 分 的人数; (II)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的 50 名
学生中成立“二帮一”小组,即从成绩?90,100? 中选两位同学,

共同帮助?40,50? 中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分,乙
同学的成绩为 95 分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.

19.(本小题满分 12 分)
在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形, AE ? 1, AE ? 平面 ABC,平面
BCD ? 平面 ABC,BD=CD,且 BD ? CD.
(I)AE//平面 BCD;
(II)平面 BDE ? 平面 CDE.

20.(本小题满分 12 分)
? ? ? ? 等.比.数.列. cn 满 足 cn?1 ? cn ? 10 ? 4n?1 n ? N * , 数列?an? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且

an ? log2 cn . (I)求 an , Sn ;

第 19 题图

(II)数列 ?bn ? 满足bn

?

4S

1
n

?

1

,

Tn为数列?bn

?

的前

n

项和,是否存在正整数

m,? m

?

1?



使得T1,Tm ,T6m 成等比数列?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 13 分)
已知 P ? x, y? 为函数 y ? 1? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x? .

(I)若函数

f

?x?

在区间

? ??

m,

m

?

1? 3 ??

?m

?

0?

上存在极值,求实数

m

的取值范围;

(II)当 x ? 1时,不等式 f ? x? ? t 恒成立,求实数 t 的取值范围.
x ?1

22.(本小题满分 13 分)
已知抛物线 y2 ? 4x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂足

为 T),与抛物线交于不同的两点 P、Q 且 F1P ? F2Q ? ?5 .

(I)求点 T 的横坐标 x0 ;

? (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ???1,

2? 2 ??? .

①求椭圆 C 的标准方程;

②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 F2 A ? ? F2B ,若 ? ???2, ?1?, 求 TA ? TB 的

取值范围.

高三复习阶段性检测试题
文科数学参考答案及评分标准

一、 选择题

二、 1-5 B A D B C

6-10 A D C B C

11-12 A C

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

(13) 2 , ? 2 2
(15) f (2013) , f (2012) , f (2011)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.

(14) 2 3 3
(16)66

(17)(本小题满分 12 分)

解:(I) f (x) ? 3 sin?x ? cos?x ? cos2 ?x ? 1 2

? 3 sin 2?x ? cos 2?x ? 1 ? 1 ? sin(2?x ? ? ) ……………3 分

2

2

2

6

由题意知 f (x) 的最小正周期 T ? ? , T ? 2? ? ? ? ?

2

2? ? 2

所以? ? 2 ……………………………………………………………………5 分

所以

f

?

x?

?

sin

? ??

4x

?

? 6

? ??

………………………………………………6 分

(Ⅱ)将 f (x) 的图象向右平移个 ? 个单位后,得到 y ? sin(4x ? ? ) 的图象,再将所得图

8

3

象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin(2x ? ? ) 的图象. 3

所以 g(x) ? sin(2x ? ? ) 3

…………………………9 分

因为 0 ? x ? ? ,所以 ? ? ? 2x ? ? ? 2?

2

3

33

g(x)

?

k

?

0

在区间

???0,

? 2

? ??

上有且只有一个实数解,即函数

y

?

g(x)



y

?

?k

在区间

???0,

? 2

? ??

上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知

?

3 ? ?k ? 2

3 或 ?k ?1 2

所以 ? 3 ? k ? 3 或 k ? ?1 .

2

2

…………………………12 分

(18)(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)根据频率分布直方图,

成绩不低于 60 分的频率为1 ? 10 ? (0.004 ? 0.010) ? 0.86 . …………2 分

由于该校高一年级共有学生 1000 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级

数学成绩不低于 60 分的人数为

1000? 0.86 ? 860 人.

…………………………………………………5 分

(Ⅱ)成绩在?40,50? 分数段内的人数为 50? 0.04 ? 2 人

成绩在?90,100? 分数段内的人数为 50? 0.1 ? 5 人,…………………………7 分

[40,50)内有 2 人,记为甲、A.[90,100)内有 5 人,记为乙、B、C、D、 E .

则“二帮一”小组有以下 20 种分组办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E , 甲 BC,

甲 BD,甲 B E ,甲 CD, 甲 C E , 甲 DE, A 乙 B,A 乙 C,A 乙 D,A 乙 E,ABC,

ABD,ABE , ACD, ACE, ADE

……………………10 分

其中甲、乙两同学被分在同一小组有 4 种办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E

所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P ? 4 ? 1 . …………12 分 20 5

(19)(本小题满分 12 分)

证明:(Ⅰ)

E

取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM ,由已知可得

DM ? 1, DM ? BC , AM ? BC .

又因为平面 BCD ⊥平面 ABC ,

所以 DM ? 平面 ABC

…………2 分

D

因为 AE ? 平面 ABC ,

所以 AE ∥ DM

…………4 分

A

又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD

所以 AE ∥平面 BCD .

…………6 分

C

M

B

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AE ∥ DM ,又 AE ? 1 , DM ? 1,

所以四边形 DMAE 是平行四边形,则有 DE ∥ AM .

因为 AM ? 平面 BCD ,

所以 DE ? 平面 BCD .

…………8 分

又 CD ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD

由已知 BD ? CD ,

则 CD ? 平面 BDE

……………………………………………………10 分

因为 CD ? 平面 CDE ,

所以平面 BDE ⊥平面 CDE . ……………………………………………………12 分
(也可利用勾股定理证明题中的垂直关系.)

(20)(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ) c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4

c1 ? 4c1 ? 10

得 c1 ? 2

cn ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1

所以 an ? log2 22n?1 ? 2n ? 1

Sn

?

n(a1?an ) 2

?

n[1 ?

(2n 2

?1)]

?

n2

……………………2 分
……………………4 分 ……………………5 分 ……………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn

?

1 4n2 ?1

?

1 2

? ??

1 2n ?1

?

1? 2n ?1 ??

于是 Tn

?

1 2

??????1 ?

1? 3 ??

?

? ??

1 3

?

1 5

? ??

?

?

? ??

1? 2n ?1

1 ?? 2n ?1????

?

n 2n ?1

……………8 分

假设存在正整数 m ?m ? 1? ,使得T1,Tm ,T6m 成等比数列,则

? ??

m

2
?

2m ? 1 ??

?

1 3

? 6m , 12m ? 1

……………………10 分

整理得 4m2 ? 7m ? 2 ? 0 , 解得 m ? ? 1 或 m ? 2
4 由 m ? N ?, m ? 1,得 m ? 2 ,

因此,存在正整数 m ? 2 ,使得T1,Tm ,T6m 成等比数列 ……………………12 分

(21)(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)由题意 k ? f ? x? ? 1 ? ln x , x ? 0
x

……………………1 分

所以

f

??x?

?

? 1 ? ln ?? x

x

?? ??

?

?

ln x x2

当 0 ? x ? 1时, f ?? x? ? 0 ;当 x ? 1时, f ?? x? ? 0 .

……………………2 分

所以 f ? x? 在 ?0,1? 上单调递增,在 ?1, ??? 上单调递减.

故 f ? x? 在 x ? 1 处取得极大值.

……………………4 分

因为函数

f

?

x

?

在区间

? ??

m,

m

?

1? 3 ??

(m

?

0 )上存在极值,

?0 ? m ? 1

所以

? ???m

?

1 3

?

1



2 3

?

m

?

1



即实数

m

的取值范围是

? ??

23 ,1???

.

……………………6 分

(Ⅱ)由 f ? x? ? t 得 t ? ? x ? 1? ?1 ? ln x?

x ?1

x

……………………7 分

令 g ? x? ? ? x ? 1? ?1 ? ln x?
x

则 g??x?

?

x

? ln x x2

.

……………………9 分

令 h ? x? ? x ? ln x

则 h?? x? ? 1? 1 = x ?1
xx

因为 x ? 1, 所以 h?? x? ? 0 ,故 h ? x? 在?1,+?? 上单调递增,

所以 h ? x? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g?? x? ? 0 ,

g ? x? 在?1,+?? 上单调递增,

……………………11 分

g ? x? ? g ?1? ? 2

所以实数 t 的取值范围是 ???, 2? .

……………………13 分

(22)(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1(?1,0) ,设 P(x0, y0 ) , Q(x0,? y0 )

则 F1P ? (x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? (x0 ?1,? y0 ) .

由 F1P ? F2Q ? ?5 , 得 x02 ? 1 ? y02 ? ?5 即 x02 ? y02 ? ?4 ,① 又 P(x0, y0 ) 在抛物线上,则 y02 ? 4x0 ,② 联立①、②易得 x0 ? 2 (Ⅱ)(ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1,

…………………2 分 ……………………4 分

设椭圆

C

的标准方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) ,

1



1 a2

?

2 b2

?1



a2 ? b2 ?1 ④

将④代入③,解得 b2 ? 1 或 b2 ? ? 1 (舍去) 2

所以 a2 ? b2 ? 1 ? 2

…………………5 分 ……………………6 分

故椭圆 C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 2

……………………7 分

(ⅱ)方法一:

容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ?1

将直线 l 的方程代入 x2 ? y2 ? 1中得: (k 2 ? 2) y2 ? 2ky ?1 ? 0 .………………8 分 2

设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系,

可得:

y1

?

y2

?

?

2k k2 ?

2



y1 y2

?

?

1 k2 ?

2



…………………9 分

因为 F2 A ?

? F2B ,所以

y1 y2

?

?

,且 ?

?0.

将⑤式平方除以⑥式,得:

y1 y2

?

y2 y1

?

2

?

?

4k 2 k2 ?2

?

?

?

1 ?

?

2

?

?

4k 2 k2 ?2

由?

???2, ?1?

?

?

5 2

?

?+

1 ?

?

?2

?

?

1 2

?

?

?

1 ?

?

2

?

0

?

?

1 2

?

?

4k 2 k2 ?2

?

0

所以 0 ? k 2 ? 2 7

……………………………………………………………11 分

因为TA ? (x1 ? 2, y1),TB ? (x2 ? 2, y2 ) ,所以TA ? TB ? (x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,



y1

?

y2

?

?

2k k2 ?

2

,所以

x1

?

x2

?

4

?

k( y1

?

y2 )

?

2

?

?

4(k 2 ?1) k2 ?2



故|

TA

? TB

|2 ?

( x1

?

x2

?

4)2

?

( y1

?

y2 )2

?

16(k 2 ?1)2 (k 2 ? 2)2

?

4k 2 (k 2 ? 2)2

?

16(k

2

?

2)2 (k

? 28(k 2 2 ? 2)2

?

2)

?

8

?

16

?

k

28 2?

2

?

(k

2

8 ?

2)2



令t

?

1 k2 ?

2

,因为 0

?

k2

?

2 7

所以 7 16

?

1 k2 ?

2

?

1 2

,即 t

?[ 7 16

,

1] 2



所以| TA ? TB |2 ? f (t) ? 8t2 ? 28t ?16 ? 8(t ? 7)2 ? 17 . 42

而 t ?[ 7 , 1] ,所以 f (t) ?[4, 169] .

16 2

32

所以| TA ? TB |?[2, 13 2 ] .……………………………………………………13 分 8
方法二:

1)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1时, A(1, 2 ) , B(1,? 2 ) ,

2

2

又T (2,0) ,所以 TA ? TB ? (?1, 2 ) ? (?1, ? 2 ) ? 2

2

2

…………8 分

2)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k(x ?1)

? y ? kx ? k



? ?

x

2

?? 2

?

y2

得 (1 ? ?1

2k 2 )x2

?

4k 2x

?

2k 2

?

2

?

0

设 A? x1, y1 ? , B ? x2, y2 ? ,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系,

可得: x1

?

x2

?

4k 2 1 ? 2k 2

, x1

?

x2

?

2k 2 ? 2 1 ? 2k 2

……………………9 分

y1

?

y2

?

k ( x1

?

x2 )

?

2k

?

? 1?

2k 2k 2



y1

?

y2

?

k 2 (x1x2

?

( x1

?

x2 )

? 1)

?

? 1?

k2 2k 2



因为 F2 A

?

? F2B ,所以

y1 y2

??

,且 ?

?

0.

将⑤式平方除以⑥式得:

?

?

1 ?

?

2

?

?4 1 ? 2k 2

由?

? ??

2,?1? 得 ?

?

1 ?

? ????

5 ,?2?? 2?



?

?

1 ?

?

2?

????

1 ,0?? 2?

故?

1 2

?

?4 1 ? 2k 2

?

0 ,解得 k 2

?

7 2

………………………………………10 分

因为TA ? (x1 ? 2, y1),TB ? (x2 ? 2, y2 ) ,所以TA ? TB ? (x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,



x1

?

x2

?

4

?

? 4(1 ? k 2 ) 1 ? 2k 2





TA ? TB

2

?

( x1

?

x2

?

4)2

?

( y1

?

y2 )2

?

16(1 ? k 2 )2 (1 ? 2k 2 )2

?

4k 2 (1 ? 2k 2 )2

?

4(1 ?

2k 2 )2 ? 10(1 ? (1 ? 2k 2 )2

2k 2) ?

2

?

4

?

1

10 ? 2k

2

?

(1 ?

2 2k 2 )2

…………………11



令t

?

1 1 ? 2k 2

,因为 k 2

?

7 2

所以 0

?

1

?

1 2k

2

?

1 8

,即

t

?

?? ?

0,

1 8

? ??



所以

TA ? TB

2

?

2t 2

? 10t

?

4

?

2(t

?

5)2 2

?

17 2

?

? ??

4,

169 32

? ??

.

所以

TA

?

TB

?

????

2,

13 8

2

? ? ?

……………………12 分

综上所述:| TA ? TB |?[2, 13 2 ] . 8

……………………13 分


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