6-3 一元二次不等式的解法 ··

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一、选择题

?x≥1 1.(2010· 福建高考)若 x,y∈R,且?x-2y+3≥0 ?y≥x
等于( A.2 ) B.3 C.5 D.9

,则 z=x+2y 的最小值

?x+y-1≥0, 2.在平面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0, ?ax-y+1≥0
平面区域的面积等于 2,则 a 的值为( A.-5 B.1 C.2 D.3 )

(a 为常数)所表示的

?x-y+5≥0, 3.不等式组?y≥a, ?0≤x≤3,
是( ) A.a<5 B.a≥8 C.5≤a<8 D.a<5 或 a≥8

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的范围

?x-y+1≤0, 4.若实数 x、y 满足?x>0, ?y≤2,
A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)

y 则x的取值范围是(

)

?3x-y-6≤0, 5. 设 x, y 满足约束条件?x-y+2≥0, ?x≥0,y≥0,
2 3 的最大值为 12,则a+b的最小值为( 25 A. 6 8 B.3 11 C. 3 D.4 )

若目标函数 z=ax+by(a>0, b>0)

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二、填空题

?x+y+2≥0 6.设 x,y 满足约束条件?x+2y+1≤0 ?y≥0
是________.

,则 z=(x+1)2+(y-2)2 的最小值

?x+2y≥0 7.设 z=x+y,其中 x,y 满足?x-y≤0 ?0≤y≤k
小值为________.

,若 z 的最大值为 6,则 z 的最

?x+y≥1, 8.若 x、y 满足约束条件?x-y≥-1, ?2x-y≤2,
处取得最小值,则 a 的取值范围是________. 三、解答题

目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)

?x-y+1≥0, 9.(2011· 青岛质检)若实数 x、y 满足?x+y≥0, ?x≤0, ?x≥0 10.当 x,y 满足约束条件?y≤x ?2x+y+k≤0
的最大值为 12,试求 k 的值.

求 z=3x+2y 的最小值.

(k 为负常数)时,能使 z=x+3y

11.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A、B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元.现 该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件.求所需要的租赁费最少是 多少元?

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答案及解析
1.【解】 可行域如图阴影部分所示,则当直线 x 1

+2y-z=0 经过点 M(1,1)时,z=x+2y 取得最小值,为 +2=3. 【答案】 B

2.【解】

?x+y-1≥0, 不等式组?x-1≤0, ?ax-y+1≥0

所围成的区域如图

所示. ∵其面积为 2,∴|AC|=4, ∴C 的坐标为(1,4),代入 ax-y+1=0,得 a=3. 【答案】 D

?x-y+5=0 ?x-y+5=0 ? ? 3. 【解】 如图, 的交点为(0,5), ?x=0 ?x=3 的交点为(3,8), ∴5≤a<8. 【答案】 C

4.【解】

?x-y+1≤0 画出线性约束条件?x>0 ?y≤2

的可行域(如

图) y x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k.
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?x-y+1=0, y 由? 得 A(1,2),∴k≥kOA,故x≥2. ?y=2, 【答案】 D

5.【解】 值 12,

由图形可知,目标函数在(4,6)处取得最大

∴2a+3b=6, 2 3 12 3 1 6b 6a 从而有a+b=6(a+b)(2a+3b)=6( a +4+9+ b ) 13 1 6b 6a = 6 +6( a + b ) 13 b a 13 = 6 +(a+b)≥ 6 +2 【答案】 A b a 25 a· b= 6 .

6.【解】

作出约束条件的可行域如图, A( - 2y +

z=(x+1)2+(y-2)2,可看作可行域内的点到定点 1,2)的距离的平方,其最小值为点 A(-1,2)到直线 x+ 1=0 的距离的平方, |-1+2×2+1| 2 16 ∴zmin=( ) =5. 12+22 【答案】 16 5

7.【解】

如图,x+y=6 过点 A(k,k),k=3,z=x

+y 在点 B 处取得最小值,B 点在直线 x+2y=0 上,B(- 6,3), ∴zmin=-6+3=-3. 【答案】 -3
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8.【解】

可行域为△ABC,如图

当 a=0 时,显然成立. a 当 a>0 时, 直线 ax+2y-z=0 的斜率 k=-2>kAC -1, a<2. a 当 a<0 时,k=-2<kAB=2, ∴a>-4.综合得-4<a<2. 【答案】 (-4,2) =

9.【解】

根据不等式组画出可行域 (如图所示),即为

△AOB 所围区域(包括边界), 1 1 ∵t=x+2y?y=-2x+2t, 1 1 1 所以当直线 y=-2x+2t 过 O 点时截距2t 最小,此时 t 有最小值 0. ∴z=3x+2y 的最小值为 30=1.

10.【解】

在平面直角坐标系中画出不等式组所表示

的平面区域(如图所示) 1 1 k k 当直线 y=-3x+3z 经过区域中的点 A(-3,-3)时,z 4k 取到最大值,等于- 3 . 4k 令- 3 =12,得 k=-9. ∴所求实数 k 的值为-9. 11.【解】 设需租赁甲型设备 x 台,乙型设备 y 台.租赁费为 z 元.
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?10x+20y≥140, 根据题意得? x≥0且x∈N, ?y≥0且y∈N.
5x+6y≥50, 且目标函数 z=200x+300y.

作出可行域,如图所示知目标函数 z=200x+300y 在点 A 处取得最小值. ?5x+6y=50, ?x=4, 由? 得? 即点 A(4,5) ?x+2y=14, ?y=5. ∴zmin=200×4+300×5=2 300. 故所需要的租赁费最少是 2 300 元.

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