高中数学 (3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式)教案 新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 整体设计 教学分析 “二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上,进一 步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、 正切公式的特殊化,又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过 对二倍角的推导知道,二倍角的内涵是:揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通 过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、 因此本节内容也是培养学生 运算和逻辑推理能力的重要内容, 对培养学生的探索精神和创新能力、 发现问题和解决问题 的能力都有着十分重要的意义. 本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中 α 、β 关系的特殊情形 α =β 时 的简化,让学生在探究中既感到自然、易于接受,还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式 的联系,同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引 导学生自己去做,因为, 《数学课程标准》提出:“要让学生在参与特定的数学活动,在具体 情境中初步认识对象的特征,获得一些体验”. 在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、 高难度的练习, 更不要再补充一些较为 复杂的积化和差或和差化积的恒等变换, 否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改 精神. 三维目标 1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内 在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力, 从而提高解决问题的能力. 2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会 化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握 联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的 能力. 3.通过本节学习,引导学生领悟寻找数学规律的方法,培养学生的创新意识,以及善于发现 和勇于探索的科学精神. 重点难点 教学重点:二倍角公式推导及其应用. 教学难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式,并回忆这组公 式的来龙去脉,然后让学生默写这六个公式.教师引导学生:和角公式与差角公式是可以互 相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公 式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题, 请同学们思考一下, 应解决哪些问题呢?由 此展开新课. 思路 2.(问题导入)出示问题,让学生计算,若 sinα = cos2α 的 值 . 学 生 会 很 3 ? ,α ∈( ,π ),求 sin2α , 5 2 容 易 看 出 : 1 sin2α =sin(α +α )=sinα cosα +cosα sinα =2sinα cosα 的,以此展开新课,并由此展开 联想推出其他公式. 推进新课 新知探究 提出问题 ①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗?(请学生默写出来,并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角 α 、β 会有特殊关系 α =β 吗?此时公式变成什么形式? ③在得到的 C2α 公式中,还有其他表示形式吗? ④细心观察二倍角公式结构,有什么特征呢? ⑤能看出公式中角的含义吗?思考过公式成立的条件吗? ⑥让学生填空:老师随机给出等号一边括号内的角,学生回答等号另一边括号内的角,稍后 两 人 为 一 组 , 做 填 数 游 戏 : sin( )=2sin( )cos( ) , 2 2 cos( )=cos ( )-sin ( ). ⑦思考过公式的逆用吗?想一想 C2α 还有哪些变形? ⑧请思考以下问题:sin2α =2sinα 吗?cos2α =2cosα 吗?tan2α =2tanα ? 活动:问题①,学生默写完后,教师打出课件,然后引导学生观察正弦、余弦的和角公 式,提醒学生注意公式中的 α ,β ,既然可以是任意角,怎么任意的?你会有些什么样的奇 妙想法呢?并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到 α ,β 会有相等这个特殊情况,教师就此 进入下一个问题,如果学生没想到这种特殊情况,教师适当点拨进入问题②,然后找一名学 生到黑板进行简化, 其他学生在自己的座位上简化、 教师再与学生一起集体订正黑板的书写, 最后学生都不难得出以下式子,鼓励学生尝试一下,对得出的结论给出解释.这个过程教师 要舍得花时间,充分地让学生去思考、去探究,并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生 的思维空间,为学生将来遇到的 3α 或 3β 等角的探究附设类比联想的源泉. sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ ?sin2α =2sinα cosα (S2α ); 2 2 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ ?cos2α =cos α -sin α (C2α ); tan(α +β )= tan? ? tan ? 2 tan? ? tan 2? ? (T2? ) 1 ? tan? tan ? 1 ? tan2 ? 这时教师适时地向学生指出,我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦,余弦,正切公 式,并指导学生阅读教科书,确切明了二倍角的含义,以后的“倍角”专指“二倍角”、教 2 2 师适时提出问题③, 点拨学生结合 sin α +cos α =1 思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为 以下右表中的公式. 这时教师点出,这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示).倍角公式给出了 α 的三角 函数与 2α 的三角函数之间的关系. 问题④,教师指导学生,这组公式用途很广,并与学生一起观察公式的特征与记忆,首 先公式左边角是右边角的 2 倍;左边是 2α 的三角函数的一次式,右边是 α 的三角函数的 二次式, 即左到右→升幂缩角, 右到左→降幂

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