2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5教学案:第二讲二综合法与分析法

数学 二 综合法与分析法 对应学生用书 P21 1.综合法 (1)定义:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的 推理、 论证而得出命题成立, 这种证明方法叫做综合法, 综合法又叫顺推证法或由因导果法. (2)特点:由因导果,即从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. (3)证明的框图表示: 用 P 表示已知条件或已有的不等式,用 Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图表 示为 P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →……→ Qn?Q 2.分析法 (1)定义:证明题时,常常从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所 需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出 要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种“执果索因”的思考和证明方法. (2)特点:执果索因,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”. (3)证明过程的框图表示: 用 Q 表示要证明的不等式,则分析法可用框图表示为 Q?P1 → P1?P2 → P1?P3 →……→ 得到一个明显成立的条件 对应学生用书 P21 用综合法证明不等式 [例 1] 已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求证: ?1+1?· ? 1? ? x? ?1+y?≥9. 数学 [思路点拨] 可将所证不等式左边展开,运用已知和基本不等式可得证,也可以用 x+y 取代“1”,化简左边,然后再用基本不等式. [证明] 法一:∵x>0,y>0,∴1=x+y≥2 xy. 1 ∴xy≤ . 4 1?? 1? 1 1 1 ∴? ?1+x??1+y?=1+x+y+xy x+y 1 2 =1+ + =1+ ≥1+8=9. xy xy xy 1 当且仅当 x=y= 时等号成立. 2 法二:∵x+y=1,x>0,y>0, 1 1 ? x+y?? x+y? 1+ ??1+ ?=?1+ ∴? ??1+ ? ? x ?? y ? ? x ?? y ? y?? x? ?y x? =? ?2+x??2+y?=5+2?x+y?≥5+2×2=9. 1 当且仅当 x=y= 时, 等号成立. 2 综合法证明不等式, 揭示出条件和结论之间的因果联系, 为此要着力分析已知与求证之 间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明 的关键. 1.已知 a,b,c∈R+,证明不明式: a+b+c≥ ab+ bc+ ca,当且仅当 a=b=c 时取等号. 证明:因为 a>0,b>0,c>0,故有 a+b≥2 ab,当且仅当 a=b 时取等号; b+c≥2 bc,当且仅当 b=c 时取等号; c+a≥2 ca,当且仅当 c=a 时取等号. 三式分边相加,得 a+b+c≥ ab+ bc+ ca.当且仅当 a=b=c 时取等号. 2.已知 a,b,c 都是实数,求证: 数学 1 a2+b2+c2≥ (a+b+c)2≥ab+bc+ca. 3 证明:∵a,b,c∈R, ∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc. c2+a2≥2ca 将以上三个不等式相加得: 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)① 即 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.② 在不等式①的两边同时加上“a2+b2+c2”得: 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2 1 即 a2+b2+c2≥ (a+b+c)2.③ 3 在不等式②的两端同时加上 2(ab+bc+ca)得: (a+b+c)2≥3(ab+bc+ca) 1 即 (a+b+c)2≥ab+bc+ca.④ 3 1 由③④得 a2+b2+c2≥ (a+b+c)2≥ab+bc+ca. 3 用分析法证明不等式 1 1 [例 2] 已知 x>0,y>0,求证(x2+y2) >(x3+y3) . 2 3 [思路点拨] 不等式两边是根式,可等价变形后再证明.分析每一步成立的充分条件. 1 1 [证明] 要证明(x2+y2) >(x3+y3) , 2 3 只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2. 即证 x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6. 即证 3x4y2+3x2y4>2x3y3. ∵x>0,y>0,∴x2y2>0. 即证 3x2+3y2>2xy. 数学 ∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy. ∴3x2+3y2>2xy 成立. 1 1 ∴(x2+y2) >(x3+y3) . 2 3 (1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系,或条件与结论之间的 关系不明显时,可用分析法来寻找证明途径. (2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆. 3.求证: 3+ 7<2 5. 证明:分析法: ∵ 3+ 7>0,2 5>0,∴要证 3+ 7<2 5. ∴只需证明:( 3+ 7)2<(2 5)2. 展开得:10+2 21<20. 即证 2 21<10, 即证 21<25(显然成立). ∴ 3+ 7<2 5. 4.a,b∈R+,且 2c>a+b. 求证:c- c2-ab<a<c+ c2-ab. 证明:要证 c- 只需证- c2-ab<a<c+ c2-ab, c2-ab<a-c< c2-ab, c2-ab, 即证:|a-c|< 两边平方得 a2-2ac+c2<c2-ab, 也即证 a2+ab<2ac,即 a(a+b)<2ac. ∵a,b∈R+,且 a+b<2c,∴a(a+b)<2ac 显然成立. ∴原不等式成立. 数学 综合法与分析法的综合应用 [例 3] 设 a>0,b>0,且 a+b=1,求证: a+1+ b+1≤ 6. [思路点拨] 所证不等式含有开方运算且两边都为正数,可考虑两边平方,用分析法转 化为一个不含开方运算的不等式,再用综合法证明. [证明] 要证: 只需证( a+1+ a+1+ b+1≤ 6, b+c)2≤6, ab+a+b+1≤6. 3 ab+2≤ , 2 即证(a+b)+2+2 由 a+b=1

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