【市级联考】福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查数学理试题-6a0817cea4784ce39af3f1c8a309f665

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绝密★启用前

【市级联考】 福建省龙岩市 2019 届高三下学期教学质量检查 数学理试题

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 1.已知 A. 2.已知 A. C. B. D. 的公差为 , 若 C.-8 D.-10 ,且满足 ,那么输出的 等于( ) 成等比数列, 则数列 的前 8 项和为 ( ) B. C. ,则 D. ( ) 为虚数单位,则 的值为( )

3. 已知等差数列 A.-20 B.-18

4.如果执行下面的程序框图,输入正整数

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A.

B.

C.

D. ,则 C. D. 和双曲线 ,则下列结论正确的是( ) 渐近线相同 虚轴长相等 焦距相 的取值范围为( )

5.已知实数 , 满足不等式组 A. 6.已知双曲线 等,离心率分别为 、 ,若 A. 和 C. 和 离心率相等 实轴长相等 B. 和 D. 和 B.

7.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的 外接球表面积为 ( )

A.

B.

C.

D. , , , 为直径作四个圆,在

8.如图, 和

是圆 两条互相垂直的直径,分别以

圆 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

A. 9.已知函数 ( A. 10.设 A.2 )

B.

C.

D. 在区间



上单调,则 的取值范围为

B. , B.3 C.4 D.5

C.

D. ,当 取最小值时 的值为( )

11. 如图, 已知正方体 内,若 ,则

的棱长为 4, 是 面积的最小值为( )

的中点, 点 在侧面

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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A.1 , B.3 ( 为常数且 各项均为整数,共有 7 项,且满足 C.5 D.7 B.4 C.

A.8

值为( )

12.已知数列

).若满足上述条件的不同数列个数共有 15 个,则 的

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, D. ,其中

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.已知向量 , 的夹角为 14.若 15.已知抛物线 于 两点.若以 , , ,则 ________.

的展开式中 项的系数为 16,则实数 =________. 的焦点为 ,其准线与 轴的交点为 ,过点 作直线与抛物线交 为直径的圆过点 ,则 ,若 的图像和 的值为________. 的图像有四个不同的公共点,则实数

16.已知

的取值范围是________. 评卷人 得分 三、解答题 17.在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 .

(1)求角 的大小; (2)设 为 中点,若 ,求 面积的取值范围. , 的中点.

18.如图,已知四边形 ,

是边长为 2 的菱形,且 上的一点. 为线段

平面



,点 是线段

(1)若 (2)若



于 且 ,

,证明: ,求二面角

平面

; 的余弦值. 为椭圆 上关于原点对 .

19.已知椭圆 的方程为 称的两点.直线 与直线 的斜率

,点 为长轴的右端点.



满足:

(1)求椭圆 的标准方程; (2)若直线 线段 与圆 相切,且与椭圆 相交于 两点,求证:以

为直径的圆恒过原点.
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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20.某医院为筛查某种疾病,需要检验血液是否为阳性,现有 (

)份血液样本, 且

有以下两种检验方式: (1) 逐份检验, 则需要检验 次; (2) 混合检验, 将其中 (

)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这 份的血液全为阴 性,因而这 份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这 份血 液究竟哪几份为阳性, 就要对这 份再逐份检验, 此时这 份血液的检验次数总共为 次.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的, 且每份样本是阳性结果的概率为 .

(1)假设有 5 份血液样本,其中只有 2 份样本为阳性,若采用逐份检验方式,求恰好 经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率. (2)现取其中 ( 且 )份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

的总次数为 ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为 (ⅰ)试运用概率统计的知识,若 (ⅱ)若 ,试求 关于 的函数关系式 ;

,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐

份检验的总次数期望值更少,求 的最大值. 参考数据: 21.已知函数 (1)讨论函数 的单调性; 恒成立,求实数 的取值范围. , , , , ,



(2)当 a=1 时,若关于 的不等式 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 中, 直线 的参数方程为

( 为参数,

) ,

以原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 的极坐标方程为 . (1)求直线 的普通方程、曲线 的直角坐标方程; (2)若直线 与曲线 交于 、 两点,且 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (1)当 (2)若存在 时,解不等式 ,使 . ; 成立,求 的取值范围. .求 的大小.

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参考答案 1.A 【解析】 【分析】 先化简已知的等式,再利用两个复数相等的条件,解方程组求得 x 的值. 【详解】 ∵ ∴ ∴ 故选:A 【点睛】 本题考查两个复数的乘法法则的应用,以及两个复数相等的条件,基本知识的考查. 2.A 【解析】 , 两边平方得: 即 3.C 【解析】 【分析】 运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式, 解方程可得首项, 再由等差数列求和公式, 计算即可得到所求值. 【详解】 解:等差数列 可得 a32= , 的公差 d 为 2,若 , 成等比数列, ,故选 A. , , ,即 ,

即有( +4)2= ( +6) , 解得 =﹣8, 则{an}前 8 项的和为 8×(﹣8) 8×7×2=﹣8,

答案第 1 页,总 17 页

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故选:C. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用, 考查等比数列中项的性质, 以及运算能力, 属于基础题. 4.D 【解析】 【分析】 该程序的作用是利用循环计算并输出变量 p 的值,模拟程序的运行,用表格对程序运行过程 中各变量的值进行分析,不难得到输出结果. 【详解】 解:第一次循环:k=1,p=1,p= 第二次循环:k=2,p= 第三次循环:k=3,p= … 第 m 次循环:k=m,p= 此时结束循环,输出 p= 故选:D. 【点睛】 解决程序框图问题时一定注意以下几点:(1) 不要混淆处理框和输入框;(2) 注意区分程序 框图是条件分支结构还是循环结构;(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4) 处 理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5) 要注意各个框的顺序,(6)在给出程序 框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算, 直到达到输出条件 即可. 5.B 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域,设 z=x﹣y,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的取值范围.
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; ;





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【详解】 解:设 z=x﹣y,则 y=x﹣z, 作出不等式对应的平面区域(阴影部分)如图:

平移直线 y=x﹣z,由图象可知当直线 y=x﹣z 经过点 A(﹣1,0)时,直线 y=x﹣z 的截距 最大, 此时 z 最小,最小值 z=﹣1﹣0=﹣1 继续向下平移直线 y=x﹣z,z 值越来越大, ∴ 的取值范围为

故选: . 【点睛】 本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思想是解决 此类问题的基本方法. 6.B 【解析】 【分析】 根据 【详解】 设两个双曲线的焦距为 , 可知: , a,从而得到结果.

答案第 3 页,总 17 页

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∴ 又 ∴ ∴



,∴ ,即 ,故 ,

又双曲线 双曲线 ∴ 和 故选:B 【点睛】

的渐近线方程为: 的渐近线方程为: 渐近线相同

本题考查双曲线的简单几何性质,考查双曲线渐近线方程,考查计算能力,属于基础题. 7.C 【解析】 【分析】 由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥,底面是斜边上的高为 的等腰直角三

角形,与底面垂直的侧面是个等腰三角形,底边长为 ,高为 ,故三棱锥的外接球与以棱长 为 的正方体的外接球相同,由此可得结论 【详解】 由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥, 底面是斜边上的高为 的等腰直角三角形,

与底面垂直的侧面是个等腰三角形,底边长为 ,高为 , 故三棱锥的外接球与以棱长为 的正方体的外接球相同,其直径为 三棱锥的外接球体积为 故选 【点睛】 本题主要考查了三视图,几何体的外接球的体积,考查了空间想象能力,计算能力,属于中 档题。 8.A 【解析】
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,半径为

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【分析】 根据圆的对称性只需看四分之一即可,利用面积比即可得到结果. 【详解】 解:根据圆的对称性只需看四分之一即可, 设扇形的半径为 r,则扇形 OBC 的面积为 ,

连接 BC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后利用位移割补的方法,分别平移到图 中划线部分,则阴影部分的面积为: ∴此点取自阴影部分的概率是 故选:A. . ,

【点睛】

本题考查几何概型, 解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积, 此类不规则图形的 面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算. 9.B 【解析】 【分析】 根据 y=|cosx|的单调递减区间为[kπ,kπ 行求解即可. 【详解】 解:y=|cosx|的单调递减区间为[kπ,kπ 由 kπ≤ωx 得 x kπ ,k Z, , ],k Z, ],k Z, ],k Z,求出 x 的范围,结合条件区间的关系进

,即函数的单调递减区间为[

若 f(x)在区间



上单调递减,

答案第 5 页,总 17 页

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则 得 当 k=0 时,



, ,k Z, ,即 0<ω ,即 ω 的取值范围是(0, ].

当 f(x)在区间 故选:B. 【点睛】



上单调递增时,ω 无解,

本题主要考查余弦函数单调性的求解,结合绝对值函数的单调性是解决本题的关键.综 合性较强,有一定的难度. 10.C 【解析】 【分析】 利用对数运算与性质可得 【详解】 , 此时 ∴ 取最小值时 的值为 4 故选:C 【点睛】 本题考查对数运算与性质,考查计算能力,属于中档题. 11.D 【解析】 【分析】 建立坐标系,求出 M 的轨迹,得出 M 到 B 的最小距离,得出三角形的最小面积. 【详解】 解:以 AB,AD,AA1 为坐标轴建立空间坐标系如图所示: 则 P(0,0,2) ,C(4,4,0) ,D1(0,4,4) , 设 M(a,0,b) ,则 (a,﹣4,b﹣4) , (﹣4,﹣4,2) , ,利用作差法即可得答案.

答案第 6 页,总 17 页

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∵D1M⊥CP,∴

4a+16+2b﹣8=0,即 b=2a﹣4.

取 AB 的中点 N,连结 B1N,则 M 点轨迹为线段 B1N, 过 B 作 BQ⊥B1N,则 BQ 又 BC⊥平面 ABB1A1,故 BC⊥BQ, ∴S△BCM 的最小值为 S△QBC 故选: . . .

【点睛】 本题考查了空间点的轨迹问题,考查了空间向量的运算,考查了空间想象能力与运算能力, 属于中档题. 12.B 【解析】 【分析】 根据题意,先确定数列中 1 的个数,再利用组合知识,即可得到结论. 【详解】 解:∵ ∴ =1 或 , =﹣1

设有 x 个 1,则有 6x 个﹣1 ∴ ﹣ =( ﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ ) ∴ ∴x= ∴这样的数列个数有 解得 x=2 或 4,
答案第 7 页,总 17 页

=x+(6﹣x)?(﹣1)

,

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(舍)或

故选:B. 【点睛】 本题考查数列知识,考查组合知识的运用,确定数列中 1 的个数是关键. 13.1 【解析】 【分析】 对 【详解】 解: ∵ ∴
2

两边平方,列方程得出答案.

| || |cos60°=| |, , ﹣6 +9| |2=7,即 9| |2﹣6| | (舍去). =0,

解得| |=1 或 故答案为:1. 【点睛】

平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数 量 积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简 的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问 题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数. 14. 或

【解析】 【分析】
3 2 利用二项展开式的通项公式求出第二个因式的 x ,x 项的系数,结合第一个因子,即可得 a

的值. 【详解】 的通项公式为 ∴ ∴ ,

展开式的含 x3,x2 项的系数分别是 的展开式中 项的系数为





答案第 8 页,总 17 页

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∴ ∴ = 或 或

故答案为: 【点睛】

本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、 考查分类讨论与等价转 化的能力. 15.4 【解析】 【分析】 设直线方程,与抛物线方程联立,借助于求出点 A,B 的横坐标,利用抛物线的定义,即可 求出|AF|﹣|BF|. 【详解】 解:假设 k 存在,设 AB 方程为:y=k(x﹣1) , 与抛物线 y =4x 联立得 k (x ﹣2x+1)=4x,
2 2 2 2 即 k x ﹣(2k +4)x+k =0 2 2 2

设两交点为 A(x2,y2) ,B(x1,y1) , ∵以 为直径的圆过点 ,

∴∠QBA=90°,
2 ∴(x1﹣2) (x1+2)+y1 =0, 2 2 ∴x1 +y1 =4, 2 ∴x1 +4x1﹣1=0(x1>0) ,

∴x1

2,

∵x1x2=1, ∴x2 2,

∴|AF|﹣|BF|=(x2+1)﹣(x1+1)=4, 故答案为:4 【点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.
答案第 9 页,总 17 页

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16. 【解析】 【分析】 的图像和 的图像有四个不同的公共点等价于方程 有四个不同的实

根,利用变量分离与数形结合即可得到结果. 【详解】 的图像和 根, 当 时,方程显然成立,即 为方程的一个实根, 的图像有四个不同的公共点等价于方程 有四个不同的实

问题转化为 当 当 时, 时,

时,方程有三个不等的实根,

作出图象如图:

由图象可得: 故答案为: 【点睛】 本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法,一个是利用二分法求解,另一个是 化原函数为两个函数,利用两个函数的交点来求解. 17. (1) 【解析】 【分析】
答案第 10 页,总 17 页

(2)

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(1)利用正弦定理与 式可得结果;

可得

,结合两角和正弦公

(2)利用余弦定理及均值不等式即可得到 【详解】 解: (1)由 即 , ,得 ,

面积的取值范围.

,

(2)在 即 又

中,由余弦定理得: ,

,



【点睛】 解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”, 二是利用余弦定理实现“角化边; 求三角形面积的最大 值也是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值, 二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值. 18. (1)见证明; (2) 【解析】 【分析】 (1)要证

平面

,转证



即可;

答案第 11 页,总 17 页

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(2)以 为 轴, 面 与平面

所在直线为 轴,

所在直线为 轴建立空间直角坐标系,分别求出平

的法向量,代入公式即可得到答案.

【详解】 (1) 四边形 与 是边长为 2 的菱形,且 为等边三角形 , 又 ,

交于点 且 , 又 , ,

平面 平面
在 在 在 中, 中, 中, ,又

平面

,

,

平面

,

平面
(2)在平面 为 轴, 中,过 作直线 ∥ , 则



,如图,以 为 轴,

所在直线

所在直线为 轴建立空间直角坐标系,

, , , 设 是平面 ,即 取 ,取

, ,

,

的法向量,则 , 中点 ,连结 ,

答案第 12 页,总 17 页

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, 因此, 是平面 , 设二面角

, 的法向量,



, 的大小为 ,则 ,

二面角 【点睛】

的余弦值为

空间向量解答立体几何问题的一般步骤是: (1) 观察图形, 建立恰当的空间直角坐标系; (2) 写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量; (3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂 直数量积为零列出方程组求出法向量; (4)将空间位置关系转化为向量关系; (5)根据定理 结论求出相应的角和距离. 19. (1) 【解析】 【分析】 (1)由 (2)原问题等价于 【详解】 解: (1)设 由 由 所以 得, ,即 ,所以 得, 则 可得 的值,从而得到椭圆 的标准方程; ,联立方程,利用韦达定理即可得到结果. (2)见证明

即椭圆 的标准方程为: (2)设 由 得:

答案第 13 页,总 17 页

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又 与圆 C 相切,所以 所以



所以, 所以,以线段 【点睛】

,即 为直径的圆经过原点.

圆锥曲线中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数 无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意. 20. (1) (2) (ⅰ) 【解析】 【分析】 (1)根据古典概型概率公式即可得到结果; (2) (ⅰ) 由已知得 数关系式 , 求出 , 得 , 利用 由 , 可得 关于 的函 可得 , ( 且 ) (ⅱ)4

; (ⅱ) 由题意可知

构建函数利用导数知识即可得到结果. 【详解】 解: (1) 恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为 (2) (ⅰ)由已知得 , = 若 ,则 ∴ ∴ ∴ , 的所有可能取值为

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∴ 关于 的函数关系式 (ⅱ)由题意可知 , , 当 又 , 的最大值为 4. 【点睛】 ,得 ,设 时, ,







,即 ,

在 ,

上单调递减 ,

本题考查了离散型随机变量的期望,古典概型概率公式,利用导数知识处理最值问题,属于 中档题. 21.(1)见解析;(2) 【解析】 【分析】 (1)求出 (2)关于 的不等式 构建函数 【详解】 解: (1) 当 当 时, 时,由 在 综上:当 当 时, , 得: 在 ;由 单调递增 单调递增; 单调递增. , 单调递增; 得: , ,对 a 分类讨论,解不等式即可得到函数 恒成立等价于 ,研究其单调性与最值即可. 的单调性; 在 恒成立,

单调递减,在 时, 在 在

单调递减,在 时,不等式

(2)由题意:当 即 即



恒成立,
答案第 15 页,总 17 页

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令 令 在 又 所以, 当 , 令 又易知 所以, 所以

,则 ,则 单调递增 ,所以, ,即 时, 即 ,



有唯一零点 (



--------(※) , 为 单调递减; 在定义域内的最小值. 时, 即

单调递增,所以

则方程(※)等价于 单调递增,所以 的最小值 ,即 ,

所以实数 的取值范围是 【点睛】 利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性, 求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函 数,直接把问题转化为函数的最值问题. 22.(1) 直线 的普通方程为 曲线 的直角坐标方程为 【解析】 【分析】 (1)利用作商消参法得到直线 的普通方程,利用 线 的直角坐标方程; (2)利用圆的几何性质即可得到 的大小. 【详解】 解: (1)由 直线 的普通方程为 将 代入
答案第 16 页,总 17 页

, (2)

可得曲

消 得

, , 得

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曲线 的直角坐标方程为 (2)曲线 的方程化为 ,圆心到直线 的距离 又 解得 【点睛】 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如 等三角恒等式)消去参数化 , ,∴ , ,∴ , ,曲线 是以 为圆心, 为半径的圆. ,

为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程,利用关系式

等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化, 本题这类问题一般我们可以先把曲 线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题. 23.(1) 【解析】 【分析】 (1)通过讨论 x 的范围,得到各个区间上的 x 的范围,取并集即可; (2)根据绝对值的几何意义求出 m 的范围即可. 【详解】 解: (1)由已知 当 当 当 时,不等式等价于 时, 时, 或 ,解得 ,此时不等式无解; ,解得 ,∴ ,∴ ; 或 (2)

综上:解集为 (2)∵ ∴ 当且仅当 依题意 ∴ 的取值范围为 【点睛】

且 ,解之得 或 . ,

时等号成立.

本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值的几何意义,分类讨论思想,是一道中档题.
答案第 17 页,总 17 页


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