2019-2020学年度最新新版高中数学北师大版必修1课件:第二章函数2.2.3-PPT课件_图文

2.3 映 射 1.了解映射的概念,能判断一些简单的对应是否为映射. 2.掌握像与原像的关系,会求符合条件的映射的个数. 3.理解映射与函数的区别与联系. 1.映射 设两个非空集合A与B之间存在着对应关系f,而且对于A中的每一 个元素x,B中总有唯一的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A 到B的映射,记作f:A→B.A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为 x的像,记作f:x→y. 说明:映射是对应,但对应不一定是映射,即映射是特殊的对应. 【做一做1】 给出下列4个对应,是映射的是( ) A.③④ C.②③ 答案:C B.①② D.①④ 2.一一映射 当映射f:A→B满足: (1)A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应; (2)A中的不同元素的像也不同; (3)B中的每一个元素都有原像. 那么就称映射f:A→B是一一映射,一一映射也叫作一一对应,一一 映射是特殊的映射. 名师点拨映射和一一映射的区别与联系: 映射 f:A→B 一一映射 f:A→B 定义 对于集合 A 中的每一个 元素 x,B 中总有唯一的 一个元素 y 与之对应,就 称这样的对应为从 A 到 B 的映射 从 A 到 B 的映射满足:A 中 的每一个元素在 B 中都有 唯一的像与之对应,A 中的 不同元素的像也不同;B 中 的每一个元素都有原像,则 该映射又称为一一映射 对应方式 多对一或一对一 一对一 原像 B 中的一些元素可能没 B 中的任何元素有唯一的原 有原像 像 像 方向性 映射 f:A→B A 中的几个元素可能 对应同一个像 B 到 A 不一定是映射 一一映射 f:A→B A 中的任何元素有唯一的 像 B 到 A 是一一映射 【做一做2】 下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( ) A.M=N=R,f:x→y=? 1 , ∈M,y∈N B.M=N=R,f:x→y=x2,x∈M,y∈N C.M=N=R,f:x→y= 1 ||+ , ∈M,y∈N D.M=N=R,f:x→y=x3,x∈M,y∈N 答案:D 3.函数与映射 函数是特殊的映射,对于映射f:A→B,当两个集合A,B均为非空数 集时,则从A到B的映射就是函数,所以函数一定是映射,而映射不一 定是函数.在函数中,原像的集合称为函数的定义域,像的集合称为 函数的值域. 【做一做3】 下列对应为A到B的函数的是( ) A.A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x| B.A=Z,B=N+,f:x→y=x2 C.A=Z,B=Z,f:x→ y= D.A=[-1,1],B={0},f:x→y=0 解析:由函数的定义可知,对于选项A,0∈R, 且|0|=0?B,故A项中的对应不是A到B的函数; 对于选项B,0∈Z,且02=0?N+, 故B选项中的对应不是A到B的函数; 对于选项C,当x<0时, 无意义, 故C选项中的对应不是A到B的函数; 对于选项D,是多对一的情形, 符合函数的定义,是A到B的函数. 答案:D 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 映射的概念 【例1】 判断下列对应是否是映射.若是映射,是否为一一映射? (1)A={x|0≤x≤3},B={y|0≤y≤1},f:y= 1 3 , ∈A,y∈B; (2)A=N,B=N+,f:y=|x-1|,x∈A,y∈B; (3)A={x|0<x≤1},B={y|y≥1},f:y= 1 , ∈A,y∈B; (4)A=R,B={y|y∈R,y≥0},f:y=|x|,x∈A,y∈B. 分析:判断的依据是映射和一一映射的概念. 解:(1)是映射,且满足一一映射的条件,是一一映射. (2)对于A中的元素1,在f作用下的像是0,而0?B,故(2)不是映射. (3)是映射,且满足一一映射的条件,是一一映射. (4)对于A中的元素1和-1,在f作用下的像都是1,所以f是映射,但不 符合一一映射的条件,故不是一一映射. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思判断一个对应f:A B是否是一一映射,应考虑三点:(1)是不 是映射;(2)对应形式是不是“一对一”;(3)集合A中元素的像的集合是 否等于集合B. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射,其 中哪些是一一映射?哪些是函数?为什么? (1)A=R,B={非负实数},对应关系f:y=x2,x∈A,y∈B; (2)A=R,B={正实数},对应关系f:y=x2,x∈A,y∈B; (3)A={x|x≥2},B={y|y=x2-4x+3},对应关系f:y=x-3,x∈A,y∈B. 解:(1)是映射,且是函数,但不是一一映射,因为A中的任何一个元 素在B中都能找到唯一的元素与之对应,又A,B均为非空数集,所以 此映射是函数,因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同,所以不 是一一映射. (2)不是从集合A到集合B的映射,更不是函数或一一映射.因为A 中的元素0在集合B中没有对应的元素. (3)当x≥2时,x-3≥-1,而y=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,因而能构成映射, 且是函数,并且B中每一个元素在A中都有唯一的一个原像,所以又 是一一映射. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 求某一映射中的像或原像 【例 2】 已知集合 A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B 是从 A 到 B 的映射,f:x→(x+1,x2+1),求 A 中元素 2的像和中元素 3 2 , 5 4 的原像 . 分析:把 x= 2代入对应关系中可求得在B 中的像, 3 2 , 5 4 在A 中的原像可通过列方程组解出. 解:将 x= 2代入对应关系,得其在 B 中的像为( 2 + 1,3). 由 + 1 = 3 2 , 2 + 1 = 5 4 , 得x= 12.

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