2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 4-2同角三角函数基本关系式与诱导公式_图文

第2讲
最新考纲
2

同角三角函数基本关系式与诱导公式
1. 理解同角三角函数的基本关系式: sin2 α +

sin α cos α=1, =tan α;2.能利用单位圆中的三角函 cos α π 数线推导出 ±α,π±α,-α 的正弦、余弦、正切的 2 诱导公式.

课堂总结

知 识 梳 理
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:________________ sin2α+cos2α=1 . sin α =tan α . (2)商数关系:________________ cos α

课堂总结

2.三角函数的诱导公式

公式 角 正弦 余弦

一 2kπ+α (k∈Z) sin α cos α

二 π+ α

三 -α

四 π- α sin α _____

五 π -α 2

六 π +α 2 cos α _____

-sin α _______ -sin α _______

cos α ______

-cos α _______ cos α -cos α ______ sin α ______ _______ _______ -sin α tan α ________ -tan α _______ ______ -tan α
函数名 改变, 符号看 象限
课堂总结

正切

tan α

口诀

函数名不变,符号看象限

诊 断 自 测
1. 判断正误(在括号内打“√”或“?”) 精彩 PPT 展示 (1)sin(π +α)=-sin α 成立的条件是 α 为锐角. (? ) (2)六组诱导公式中的角α 可以是任意角. (√ ) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”, π 其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数 2 名称的变化. ( √ ) π 1 2 (4)若 α≠kπ + (k∈Z),则 cos α = . ( √ ) 2 1+tan2α

课堂总结

2.tan 300°+sin 450°的值为 A.1+ 3 C.-1- 3 B.1- 3 D.-1+ 3

(

)

解 析 tan 300 ° + sin 450 ° = tan(360 ° - 60 ° ) + sin(360°+90°)=tan(-60°)+sin 90°=-tan 60°+ 1=1- 3.

答案

B

课堂总结

3.(2015· 广州调研)已知 2 A.- 5

?5π ? sin? ? 2

? 1 ? +α?=5,那么 ?

cos α =(

)

1 1 2 B.- C. D. 5 5 5 ?5π ? ?π ? ? ? ? 解析 ∵sin? +α?=sin? +α? =cos α, ? ? 2 ? ?2 ? 1 ∴cos α= .故选 C. 5

答案

C

课堂总结

? π ? 1 ? 4.已知 sin(π -α)=log8 ,且 α∈?- ,0? ?,则 tan(2π -α) 4 2 ? ? 的值为 ( ) 2 5 2 5 A.- B. 5 5 2 5 5 C.± D. 5 2 1 2 解析 sin(π-α)=sin α=log8 =- , 4 3 ? π ? 5 ? ? 2 又因为 α∈?- ,0?,则 cos α= 1-sin α= , 3 2 ? ?

sin α 2 5 所以 tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=- = . 5 cos α 答案 B
课堂总结

5.(人教A必修4P22B3改编)已知tan θ =2,则sin θcos θ=________.

解析

sin θ·cos θ tan θ sin θ cos θ = = = 2 2 2 sin θ+cos θ tan θ+1

2 2 = . 22+1 5 2 答案 5

课堂总结

考点一

同角三角函数基本关系式及应用

2sin α -3cos α 【例 1】 (1)已知 tan α =2,则 = 4sin α -9cos α __________________. (2)已知 tan θ =2,则 sin2θ +sin θ cos θ -2cos2 θ = ( ) 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5

课堂总结

解析

2sin α-3cos α 2tan α-3 2?2-3 (1) = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4?2-9

(2) 由于 tan θ = 2 ,则 sin2 θ + sin θ cos θ - 2cos2 θ = sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ tan2θ+tan θ-2 = = sin2θ+cos2θ tan2θ+1 22+2-2 4 = . 5 22+1
答案 (1)-1 (2)D

课堂总结

规律方法

若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次分

式的值,则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂 将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值就可以求出这 个分式的值,这是同角三角函数关系中的一类基本题型.

课堂总结

1 【训练 1】 若 3sin α +cos α =0, 则 2 的 cos α +2sin α cos α 值为 ( ) 10 5 2 A. B. C. D.-2 3 3 3 1 解 析 3sin α + cos α = 0?cos α ≠ 0?tan α = - , 3
cos2α+sin2α 1 = cos2α+2sin αcos α cos2α+2sin αcos α 1+tan2α = = 1+2tan α
? 1 ?2 1+?-3? ? ?

答案

A

2 1- 3

10 = . 3

课堂总结

【例 2】 (1)(2014· 山东省实验中学诊断)已知 sin θ ?cos θ π π 1 = ,且 <θ< ,则 cos θ -sin θ 的值为________. 8 4 2 π 1 1 (2)已知- <α<0, sin α +cos α = , 则 2 2 5 cos α -sin2α 7 25 24 B. C. D. 25 7 25 π π 解析 (1)当 <θ< 时,sin θ>cos θ, 4 2 ∴cos θ-sin θ<0, 的值为 7 A. 5 ( )

1 3 又(cos θ-sin θ) =1-2sin θcos θ=1- = , 4 4 3 ∴cos θ-sin θ=- . 2
2
课堂总结

(2) 法一 联立 1 ? ?sin α+cos α= , ① 5 ? 2 2 ? ② ?sin α+cos α=1, 1 由①得,sin α= -cos α,将其 5 代入②, 整理得 25cos2α-5cos α-12=0.

深度思考

第(2)小题有两种

解法,其一结合平方关系解 方程组求sin α 与cos α ;其二 求cos α -sin α ;你用到的哪

一种?但作为选择题本题还
可以根据已有的结论猜测sin

α 与cos α . π 因为- <α<0, 2 3 ? ?sin α=-5, 1 1 25 所以? 于是 2 =? ? = . 2 ? ? 4 3 7 cos α - sin α ?cos α=4, ? ?2-?- ?2 ?5? ? 5? ? 5
课堂总结

1 法二 因为 sin α+cos α= , 5 ?1?2 24 2 ? ? 所以(sin α+cos α) = 5 ,可得 2sin αcos α=- . 25 ? ? 24 而 (cos α - sin α ) = sin α - 2sin α cos α + cos α = 1 + 25 π 49 = ,又- <α<0,所以 sin α<0,cos α>0, 25 2 7 1 所以 cos α-sin α= .于是 2 5 cos α-sin2α 1 25 = = . (cos α+sin α)(cos α-sin α) 7
2 2 2

答案

3 (1)- (2)C 2
课堂总结

规律方法 求解此类问题的关键是:通过平方关系,对称式 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α之间可建立 t2 - 1 联系,若令 sin α+cos α=t,则 sin αcos α= , 2 sin α-cos α=± 2-t2(注意根据 α 的范围选取正、 负号), 这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用.

课堂总结

【训练 2】 已知 sin α -cos α = 2, α ∈(0, π ), 则 tan α = A.-1
解析 法一

( 2 B.- 2 2 C. 2 D. 1

)

? ?sin α-cos α= 2, 由? 2 2 ? sin α + cos α=1, ?

得:2cos2α+2 2cos α+1=0,
?2 ? =0,∴cos α=- 2cos α + 1 即 ? ? ? ?

2 . 2

3π 3π 又 α∈(0,π),∴α= ,∴tan α=tan =-1. 4 4

课堂总结

法二 所以

因为 sin α-cos α= 2,
? π? ? 2sin?α- ? ?= 4 ? ?

2,所以

? π? ? sin?α- ? ?=1. 4 ? ?

3π 因为 α∈(0,π),所以 α= ,所以 tan α=-1. 4 法三 因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2, 所以 sin 2α=-1.因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α 3π 3π = ,所以 α= ,所以 tan α=-1. 2 4

答案

A

课堂总结

考点二 利用诱导公式化简三角函数式 【例 3】 (1)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)· sin (-1 050°)=________. 2sin(π +α)cos(π -α)-cos(π +α) (2)设 f(α)= ?3π ? ? ? ? ? 2 2?π 1+sin α +cos? +α?-sin ? +α? ? ? 2 ? ?2 ? ? 23π ? ? (1+2sin α ≠0),则 f ? =________. - ? 6 ? ? ?

课堂总结

解析 (1)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020° sin 1 050° =-sin(3?360°+120°)cos(3?360°+210°)- cos(2?360°+300°)sin(2?360°+330°) =-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330° =-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)· sin(360°-30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30° 3 3 1 1 = ? + ? =1. 2 2 2 2

课堂总结

(-2sin α)(-cos α)+cos α (2)∵f(α)= 1+sin2α+sin α-cos2α 2sin αcos α+cos α cos α(1+2sin α) = = 2 2sin α+sin α sin α(1+2sin α) 1 = , tan α ? 23π? 1 1 ? ? ∴f ?- = ? ?= ? 6 ? 23 π π? ? ? ? ? ? ? tan?- tan - 4 π+ ? 6 ? 6? ? ? ? ? 1 = = 3. π tan 6

答案

(1)1

(2) 3
课堂总结

规律方法

利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要

求:(1)基本思路:①分析结构特点,选择恰当公式;②利 用公式化成单角三角函数;③整理得最简形式.(2)化简要 求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次 数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.

课堂总结

【训练 3】 (1)sin(-1 071°)sin 99°+sin(-171°)sin (-261°)+tan(-1 089°)tan(-540°)=________. ? 3π ? ? ? tan(π -α)cos(2π -α)sin?-α+ 2 ? ? ? (2)化简: = cos(-α-π )sin(-π -α) ________.

解析

(1)原式=(-sin 1 071°)· sin 99°+sin 171°·

sin 261°+tan 1 089°· tan 540°
=-sin(3×360°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)· sin(270°-9°)+tan(3×360°+9°)· tan(360°+180°) =sin 9°cos 9°-sin 9°cos 9°+tan 9°· tan 180° =0+0=0.
课堂总结

-tan α·cos α·(-cos α) (2)原式= cos(π+α)·(-sin(π+α)) sin α ·cos α cos α tan α·cos α·cos α = = =-1. -cos α·sin α -sin α

答案

(1)0

(2)-1

课堂总结

利用诱导公式求值 ?π ? 1 ?π ? ? ? ? ? 【例 4】 (1)已知 sin? -α?= ,则 cos? +α?=______. ?3 ? 2 ?6 ? ?π ? ?5 ? 3 ? ? (2)已知 tan? -α?= ,则 tan?6π +α?=________. 3 ? ? ?6 ?
?π ? ?π ? π ? ? ? ? 解析 (1)∵? -α?+? +α?= , 2 ?3 ? ?6 ? ?π ?π ?π ? ?π ? 1 ?? ? ? ? ? ? ?? ∴cos? +α?=cos? -? -α??=sin? -α? ?=2. 2 6 3 3 ? ? ? ? ? ?? ? ?π ? ?5π ? ?5 ? ? ? ? ? (2)∵? -α?+? +α?=π,∴tan?6π+α?= ? ? ?6 ? ? 6 ? ?π ? ? ?5 ?? 3 ? ? ? ? ? ? -tan π- 6π+α =-tan? -α?=- . 3 ? ? ?? ?6 ?

考点三

答案

1 3 (1) (2)- 2 3
课堂总结

规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程. 常见的互余关 π π π π π π 系有 -α 与 +α; +α 与 -α; +α 与 -α 等,常 3 6 3 6 4 4 π 2π π 3π 见的互补关系有 +θ 与 - θ; + θ 与 -θ 等. 3 3 4 4

课堂总结

【训练 4】 (1)已知

?7π sin? ? 12 ?

? 2 ? 则 +α?=3, ?

? 11π ? cos?α- 12 ?

? ? ?=________. ?

1 (2)若 tan(π +α)=- ,则 tan(3π -α)=________. 2
? ?11π ? 11π? ? ? ? ? 解析 (1)cos?α- = cos - α ? 12 ? 12 ? ? ? ? ? ? ?π ?? ?π ? ? ? ?? ? =cos?π-? +α??=-cos? +α? ?, ? ?12 ?? ?12 ? ?π ?π ?7π ? ?π ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ?? 而 sin? +α?=sin? 2 +? +α??=cos? +α?=3, ? 12 ? ?12 ? ?12 ?? ? ? 11π? 2 ? ? 所以 cos?α- ?=-3. 12 ? ?

课堂总结

1 (2)因为 tan(π+α)=tan α=- , 2 1 所以 tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α= . 2 2 1 答案 (1)- (2) 3 2

课堂总结

[思想方法] 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数;诱导公式主要 用于统一角,其主要作用是进行三角函数的求值、化简 和证明,如已知一个角的某一三角函数值,求这个角的 其它三角函数值时,要特别注意平方关系的使用.

课堂总结

2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常 sin x 用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式 tan x= 进行 cos x asin x+bcos x 切化弦或弦化切,如 ,asin2x+bsin xcos x+ csin x+dcos x ccos2x 等类型可进行弦化切.(2)和积转换法:如利用(sin θ ±cos θ )2=1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化. (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ +cos2θ =cos2θ (1+tan2θ )= ? 1 ? π ? ? 2 sin θ ?1+tan2θ ?=tan =?. 4 ? ?

课堂总结

[易错防范] 1.诱导公式的应用及注意事项 (1)应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判 断.求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式 化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤为“负角化正 角”→“正角化锐角”→求值. (2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,

特别是在具体题目中出现类似kπ±α的形式时,需要对k的
取值进行分类讨论,从而确定出三角函数值的正负.

课堂总结

2.化简三角函数应注意的几点 (1)化简不同名的三角函数的式子,解答此类问题的一般规 律是利用“化弦法”,即把非正弦和非余弦的函数都化为 正弦和余弦,以达到消元的目的. (2)化简形如 A(A 可化为形如 a2 的三角函数式),这种问题 是利用 A= a2=|a|(a 是实数)化去根号. (3)化简含有较高次数的三角函数式,此类问题多用因式分 解、约分等.

课堂总结


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