【数学】1.3.1 导数在研究函数中的应用——单调性 课件(苏教版选修2-2)_图文

第1章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用 ——单调性 一、知识回顾: 形 变量变化的快慢 数 曲线陡峭程度 函数的变化趋势 函数的变化率 导 数 思考: 刻画函数变化趋势的是否还有其他… 函数单调性 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数; y G=(a,b) y o a b x o a b x 导数与函数的单调性有什么关系? 二、问题探究 讨论函数y=x2-4x+3的单调性. 解:取x1<x2∈R, f(x1)-f(x2)=(x12-4x1+3)-(x22-4x2+3) =(x1+x2)(x1-x2)-4(x1-x2) = (x1-x2)(x1+x2-4) 则当x1<x2<2时, x1+x2-4<0, f(x1)>f(x2), 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时, x1+x2-4>0, f(x1)<f(x2), 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为(2,+∞) y=f(x)单调递减区间为(-∞,2)。 问题探究 y 函数y=x2-4x+3的图象: 0 2 x 单增区间:(2,+∞). 单减区间:(-∞,2). 再观察函数y=x2-4x+3的图象 总结: 函数在区间 y 0 . . . . . .. 2 (-∞,2)上单调 递减,切线斜率小于 0,即其导数为负; 在区间(2,+∞) x 上单调递增,切线斜 率大于0,即其导数 为正. 三、构建数学 一般地,对于给定区间上的函数 f(x),如果对于属于这个区间的任意两 个自变量的值x1,x2,当x1<x2时, 若f(x1)<f(x2),那么f(x)在这个 区间上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2) 同号,即: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ? 0也即 ?0 x1 ? x2 ?x 构建数学 增函数时有: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ? 0也即 ?0 x1 ? x2 ?x 减函数时有: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ? 0也即 ? 0 x1 ? x2 ?x 构建数学 结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数. 忆一忆 基本求导公式: (1)(kx ? b)? ? k , 特殊的:C? ? 0(C为常数) ? ' ? ?1 (2)( x ) ? ?x (?为常数) (3)(a ) ? a lna(a ? 0, 且a ? 1) x ' x 1 (4)(log a x ) ? (a ? 0, 且a ? 1) xlna ' (5)(e ) ? e x ' ' x (7)(sinx ) ? cosx (8)(cosx) ? ?sinx 1 (6)(lnx) ? x ' ' 四、数学应用 例1.求函数y=x2(1-x)3的单调区间. 解:y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2· 3(1-x)2· (-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2· (2-5x) 令x(1-x)2(2-5x)>0,解得0<x< 2 . 5 2 ∴y=x2(1-x)3的单调增区间是(0, ) 5 令x(1-x)2(2-5x)<0,解得x<0或x> 2 且x≠1. 5 1为拐点,∴y=x2(1-x)3的单调减区间是(-∞,0), 2 ( ,+∞) 5 例2、求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间. 解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x 不能用并 2 令6x -12x>0,解得x<0或x>2, 则f(x)的单增区间为(-∞,0)和 (2,+∞). 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2). 注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变. 当x=x0时, f′(x0)=0,且当x<x0与x>x0时 f′(x0)异号,则函数在该点单调性发生改变. 五、随堂练习 1. 求 f ( x) ? ln 1 ? x2 1 ? x2 的单调递增区间 1 ? x2 ? 0 ,即 解:由函数的定义域可知 又 ?1 ? x ? 1 1 ? x2 1 2 2 f ( x) ? ln ? [ln(1 ? x ) ? ln(1 ? x )] 2 1? x 2 1 2x ?2 x x x ? f ( x) ? ( ? )? ? 2 2 2 2 1? x 1? x 1 ? x 1 ? x2 所以令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? ?1 f ( x)的单调递增区间为(0,1) 综上所述, 五、随堂练习 应用导数求函数的单调区间 2.函数y=x-3在[-3,5]上为 增 函数(填“增”或“减”)。 ______ 3、求函数 y ? 3 x 解 : y? ? 6 x ? 3 2 ? 3 x 的单调区间。 变式:求函数 y ? 3 x ? 3 x 的单调区间。 3 2 1 1 6 x ? 3 ? 0, x ? , 单调增区间为 ( ,??); 2 2 1 1 6 x ? 3 ? 0, x ? , 单调减区间为 (??, ). 2 2 解 : y? ? 9 x 2 ? 6 x 2 2 9 x ? 6 x ? 0, x ? 或x ? 0,单 调 增 区 间 为 (??,0), ( ,??); 3 3 2 2

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