高中数学北师大版必修4第二章《从力做的功到向量的数量积》word教案

从力做的功到向量的数量积 ●教学目标 1.通过实例,正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量 积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角; 2.掌握平面向量的数量积的 5 个重要性质,并能运用这些性质解决有关问题; 3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态 度以及实际动手能力; 4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培养学生的应用意识. ●教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用 ●教学难点 平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解 ●教学方法 启发引导式 启发学生在理解力的做功运算的基础上,逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念,并掌握向量 的 5 个重要性质。 ●教具准备 多媒体辅助教学 ●教学过程 教学环节 教学程序 通过前面的学习,我们知道两个向量可以进行加减法运算, 创设情境 两个向量之间能进行乘法运算吗?找找物理学中有没有两个 向量之间的有关乘法运算? 在物理学中,力 F 对物体做的功为 W ?| F || s | cos ? ,功 W 新课引入 可以看成是向量 F、s 的某种运算有关,而这个运算结果的 正负与这两个向量的夹角有关。从而引出两个向量的夹角的 概念。 1、给出两个向量的夹角的概念,并让学生通过观察发现两 个向量的起点时,有向线段所夹的角才为两个向量的夹角。 探 究 并让学生讨论两个向量的夹角的范围 0? ? ? ? 180? ,要求 学生解释为什么在这个范围。进一步提问学生,如果夹角 通过提问,让学生在思 考问题的过程中,不要 忽略对特殊的情况的讨 论。培养学生严谨的学 教学设想 创设问题情境,激发学 生的学习欲望和要求。 通过对力做功的分析引 出两个向量的夹角,过 渡比较自然。 问 题 ? ? 0? 、 90 ? 及 180? 时,两向量的位置关系如何? 2、练习:在 ?ABC 中已知 A=45°,B=50°,C=85° 求下列向量的夹角: 习态度。 及时巩固所学知识,使 学生能正确理解两个向 量所成的角的概念。 师 生 互 动 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? (1) AB与AC (2) AB与BC (3) AC与BC 的夹角。 3、(1)射影的概念 ? ? ? b cos ? 叫作向量 b 在 a 方向上的射影。 并提问:射影是向量还是数量? 因为射影是新概念,所 以直接给出射影的概 念,然后通过提问及练 ? ? 给出如下六个图形,让学生指出 b 在 a 方向上的射影,并 习,帮助学生理解射影 判断其正负。 B B 是一个数量而不是向 B 量,其正负由这两个向 量的夹角来确定 ? b ? b ? O ? B1 a A B1 O ? ? a A ? ? ( B ) a A O 1 另外,通过对特殊的情 况的讨论,养学生严谨 的学习态度。 4、两向量数量积的定义: A ? ? ? B? ? O? O? ? A B a与b是非零向量, a ? b ? a b cos ? , 规定:0 ? a ? 0 。 提醒学生注意: a ? b 不能写成 a ? b 或 ab 的形式。 提问学生:两个向量的和与差是向量还是数量?向量的数量 积呢?若是数量,其正负如何确定? 探 究 问 题 ? ? ? ? ?? 直接给出向理数量积的 定义,通过提问,比较 向量和与差的运算,理 解向量的数量积是数量 而不是向量,其和由向 量的夹角确定。 ? ? ? ? 当 ? 为锐角时, a ? b ? a b cos ? >0 ? ? ? ? 当 ? 为钝角时, a ? b ? a b cos ? <0 当 ? ? 90? 时, a ? b ? a b cos ? =0 当 ? ? 0? 时, a ? b ? a b ? ? ? ? ? ? ? ? 师 生 互 当 ? ? 180? 时, a ? b ? ? a b ? ? ? ? ? ? ? (2)两个向量数量积的几何意义: b 与 a 的数量积等于 a 的 学习了投影的概念及及 与力对物体做功的比 动 长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos ? 的乘积或 b 的长度 ? ? ? ? ? 较,向量数量积的几何 意义与物理意义就比较 容易理解了。 ? ? ? ? b 与 a 在 b 的方向上的投影 a cos ? (3)向量数量积的物理意义:力 F 与其作用下物体位移 s 的数量积 F ? s 5、向量数量积的性质 练习二,请完成下列练习,并通过观察,看看自己能否 发现向量数量积的性质。 (1)已知 鼓励学生大胆猜想,表 达自己的观点和见解, 培养学生的探索精神和 严谨的科学态度以及实 际动手能力。 ? ? a ? 8 , e 为单位向量,当它们的夹角为时 ? ? ? ? ? ? ? ,求 a 在 e 方向上的投影及 a ? e、e ? a 3 性质为: (2)已知 ? ? ? ? a ? 2 , b ? 3 , a 与 b 的交角为 ? ? 90? ,则 ? ? a ?b ? 性质为: (3)若 ? ? ? ? ? ? a ? 1 , b ? 3 , a 、 b 共线,则 a ? b ? 性质总结归纳,让学生 特别注意打*的性质, 因为在后面的学习中, 这几个性质用的较多。 性质为: ?? ? ? ? ? ? (4)已知 m ? 3 , n ? 4 ,且 m ? n ? 6 ,则 m 与 n 的夹 探 究 问 题 角为 性质为: 因此,平面向量数量积的 5 个性质为: ? ? ? ? ? ? (1)e是单位向量, a ? e ? e ? a ? a cos ? * (2)? 师 生 互 动 ? ? ? ? ? 90? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ? (3)a // b

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