专题阶段评估 立体几何


立体几何 ———————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷 可在各题后直接作答,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.(2013· 江西高三上学期七校联考)已知直线 a 和平面 α、β,α∩β=l,a?α,a?β,且 a 在 α、 β 内的射影分别为直线 b 和 c,则直线 b 和 c 的位置关系是( )

A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 2.一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为 π,则球的体积为( 8 2π A. 3 8π B. 3

)

32π C. 3 D.8π 3. (2013· 湖南五市十校检测)如图是一个空间几何体的三视图, 则该几何体的侧面积为( )

4 3 A. 3 B.4 3 C.8 D.12 4.(2013· 江西卷)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.200+9π B.200+18π
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C.140+9π D.140+18π 5.设直线 m 与平面 α 相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ) A.在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B.过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 C.与直线 m 垂直的直线不可能与平面 α 平行 D.与直线 m 平行的平面不可能与平面 α 垂直 6.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,有以下四个命题: ① α∥β? ?
?? β∥γ ? α∥γ ?



α⊥β ? ?

?? m⊥β ? m∥α?



m⊥α? ?

?? α⊥β ? m∥β?



m∥n? ?
? n? α ?

?? m∥α

其中正确的命题是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 7.(2013· 湖南卷)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一 个面积为 2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( 3 A. 2 C. B.1 D. 2 )

2+1 2

8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点, 在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( ) A.有无数条 B.有 2 条 C.有 1 条 D.不存在 9.如图所示,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠ BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确的是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC

B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

10.(2013· 东北三校模拟)点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,AB=BC= 2,AC=2,若四 2 面体 ABCD 体积的最大值为3,则这个球的表面积为( ) 125π A. 6 B.8π

25π 25π C. 4 D. 16 第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 题 号 得 分 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)
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第Ⅰ卷

第Ⅱ卷 二 16 17 18 19 20 21

总 分

11.(2013· 陕西卷)某几何体的三视图如图所示,则其体积为________.

12. (2013· 山西省诊断考试)如图, 水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2, 且侧棱 AA1⊥平面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,该三棱柱的侧视图 的面积为________. 13.已知平面 α、β 和直线 m,给出条件: ①m∥α;②m⊥α;③m? α;④α⊥β;⑤α∥β. (1)当满足条件________时,有 m∥β; (2)当满足条件________时,有 m⊥β.(填所选条件的序号)

14.如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,剪去△AOB,将 剩余部分沿 OC,OD 折叠,使 OA,OB 重合,则以 A,B,C,D,O 为顶点的四面体的体积 为________.

15.(2013· 山西省诊断考试)已知三棱锥 P-ABC 的各顶点均在一个半径为 R 的球面上,球心 AC O 在 AB 上,PO⊥平面 ABC,BC= 3,则三棱锥与球的体积之比为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)(2013· 长春市调研)如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧面 AA1C1C ⊥底面 ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,O 为 AC 中点. (1)证明:A1O⊥平面 ABC; 1 (2)若 E 是线段 A1B 上一点,且满足 VE-BCC1=12· VABC-A1B1C1,求 A1E 的长度.

17.(本小题满分 12 分)(2013· 安徽卷)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱
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形,∠BAD=60°,已知 PB=PD=2,PA= 6.

(1)证明:PC⊥BD; (2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P-BCE 的体积.

18.(本小题满分 12 分)(2013· 荆州市质量检查)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯 1 形, AB∥CD,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC=2AB=1,M 是 PB 的中点.

(1)求证:AM=CM; (2)若 N 是 PC 的中点,求证:DN∥平面 AMC.

19.(本小题满分 13 分)(2013· 东北三校模拟)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1 ⊥底面 ABC,∠ACB=90°,E 是棱 CC1 的中点,F 是 AB 的中点,AC=BC=1,AA1= 2. (1)求证:CF∥平面 AB1E; (2)求三棱锥 C-AB1E 在底面 AB1E 上的高.

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20.(本小题满分 13 分)如图,多面体 ABC-A1B1C1 中,三角形 ABC 是边长为 4 的正三角形, AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面 ABC,AA1=BB1=2CC1=4.

(1)若 O 是 AB 的中点,求证:OC1⊥A1B1; (2)在线段 AB1 上是否存在一点 D,使得 CD∥平面 A1B1C1,若存在,确定点 D 的位置;若不 存在,请说明理由.

21. (本小题满分 13 分)如图, 在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ∠DAB=60°.点 E、 F 分别在边 CD、 CB 上,点 E 与点 C、D 不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置,使 平面 PEF⊥平面 ABFED.

(1)求证:BD⊥平面 POA; (2)记三棱锥 P-ABD 的体积为 V1, 四棱锥 P-BDEF 的体积为 V2, 求当 PB 取得最小值时 V1∶V2 的值.

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详解答案 一、选择题 1.D 依题意,直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面,选 D. 2.A 4 8 2π 由题意,球的半径为 R= 12+12= 2,故其体积 V=3π( 2)3= 3 ,选 A.

3.C 由三视图可知该几何体为正四棱锥,底面边长为 2,斜高为 2,侧面为 4 个全等的等 1 腰三角形,所以该几何体的侧面积为 S=4×2×2×2=8. 4.A 由三视图可知该几何体的下面是一个长方体,上面是半个圆柱组成的组合体.长方 体的长、宽、高分别为 10、4、5,半圆柱底面圆半径为 3,高为 2,故组合体体积 V=10×4×5 +9π=200+9π. 5.B 可以通过观察正方体 ABCD-A1B1C1D1 进行判断,取 BC1 为直线 m,平面 ABCD 为平 面 α,由 AB,CD 均与 m 垂直知,选项 A 错;由 D1C1 与 m 垂直且与 α 平行知,选项 C 错; 由平面 ADD1A1 与 m 平行且与 α 垂直知,选项 D 错.故选 B. 6.C 对于②,直线 m 与平面 β 可能平行或相交;对于④,直线 m 可能也在平面 α 内.而 ①③都是正确的命题,故选 C. 7.D 由于该正方体的俯视图是面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2的矩形,因此 该几何体的正视图是一个长为 2,宽为 1 的矩形,其面积为 2. 8.A ∵平面 D1EF 与平面 ADD1A1 有公共点 D1 且不重合, ∴两平面有 1 条过 D1 的交线 l, 在平面 ADD1A1 内与 l 平行的任意直线都与平面 D1EF 平行, 这样的直线有无数条. 9.D 由题意知,在四边形 ABCD 中,CD⊥BD. 在三棱锥 A-BCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,两平面的交线为 BD, 所以 CD⊥平面 ABD,因此有 AB⊥CD. 又因为 AB⊥AD,AD∩DC=D,所以 AB⊥平面 ADC,于是得到平面 ADC⊥平面 ABC. π 10.C 如图所示,O 为球的球心,由 AB=BC= 2,AC=2 可知∠ABC=2,即△ABC 所在的圆面的圆心 O1 为 AC 的中点,故 AO1=1,S△ABC=1,当 D 为 OO1 的延长线 与球面的交点时,D 到平面 ABC 的距离最大,四面体 ABCD 的体积最大.连接 OA,设 1 1 球的半径为 R,则 DO1=R+ R2-1,此时 VA-BCD=3×S△ABC×DO1=3(R+ R2-1) 2 5 ?5? 25π =3,解得 R=4,故这个球的表面积为 4π 4 2= 4 . ? ? 二、填空题 11.解析: 原几何体可视为圆锥的一半,其底面半径为 1,高为 2, 1 1 π ∴其体积为3×π×12×2×2=3. π 答案: 3 12.解析: 依题意得,该几何体的侧视图是边长分别为 2 和 3的矩形,因此其侧视图的 面积为 2 3. 答案: 2 3 13.解析: 由两平面平行的性质,易知由③⑤? m∥β;由②⑤? m⊥β.
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答案: ③⑤ ②⑤ 14.解析: 折叠后的四面体如图所示.OA,OC,OD 两两相互垂直, 且 OA=OC=OD=2 2, 1 1 1 8 2 所以体积 V=3S△OCD· OA=3×2×(2 2)3= 3 . 答案: 8 2 3

AC 15.解析: 依题意,AB=2R,又BC= 3,∠ACB=90°,因此 AC= 1 1 3R, BC=R,三棱锥 P-ABC 的体积 VP- ABC=3PO· S △ ABC =3 3 ?1 ? ×R× 2× 3R×R = 6 R3. ? ? 4π 3 4π 3 而球的体积 V 球= 3 R3,因此 VP-ABC∶V 球= 6 R3∶ 3 R3= 8π . 答案: 3 8π

三、解答题 16.解析: (1)证明:∵AA1=A1C=AC=2,且 O 为 AC 中点, ∴A1O⊥AC,又∵侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,侧面 AA1C1C∩底面 ABC=AC,A1O? 平面 A1AC, ∴A1O⊥平面 ABC. 1 1 1 3 (2)∵VE-BCC1=12VABC-A1B1C1=4VA1-BCC1,∴BE=4BA1,即 A1E=4A1B. 3 连接 OB,在 Rt△A1OB 中,A1O⊥OB,A1O= 3,BO=1,故 A1B=2,则 A1E 的长度为2. 17.解析: (1)证明:连接 AC,交 BD 于点 O,连接 PO. 因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD,BO=DO. 由 PB=PD 知,PO⊥BD. 又因为 PO∩AC=O,所以 BD⊥平面 APC. 又 PC? 平面 APC,因此 BD⊥PC.

(2)因为 E 是 PA 的中点, 所以 V 三棱锥 P-BCE=V 三棱锥 C-PEB 1 =2V 三棱锥 C-PAB 1 =2V 三棱锥 B-APC. 由 PB=PD=AB=AD=2 知,△ABD≌△PBD. 因为∠BAD=60°, 所以 PO=AO= 3,AC=2 3,BO=1. 又 PA= 6,所以 PO2+AO2=PA2,所以 PO⊥AC,
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1 故 S△APC=2PO· AC=3. 由(1)知,BO⊥平面 APC, 1 11 1 因此 V 三棱锥 P-BCE=2V 三棱锥 B-APC=2· · BO· S △ APC = 3 2. 1 18.证明: (1)在直角梯形 ABCD 中,AD=DC=2AB=1,∴AC= 2,BC= 2,∴BC⊥AC, 又 PA⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD, ∴BC⊥PA,∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥PC. 1 在 Rt△PAB 中,M 为 PB 的中点,则 AM=2PB, 1 在 Rt△PBC 中,M 为 PB 的中点,则 CM=2PB,∴AM=CM.

(2)连接 DB 交 AC 于点 F, 1 1 ∵DC 綊2AB,∴DF=2FB. 取 PM 的中点 G,连接 DG,FM,则 DG∥FM, 又 DG?平面 AMC,FM? 平面 AMC, ∴DG∥平面 AMC. 连接 GN,则 GN∥MC, ∴GN∥平面 AMC, 又 GN∩DG=G, ∴平面 DNG∥平面 AMC. 又 DN? 平面 DNG,∴DN∥平面 AMC. 19.解析: (1)证明:取 AB1 的中点 G,连接 EG,FG,

∵F、G 分别是 AB、AB1 的中点, 1 ∴FG∥BB1,FG=2BB1. ∵E 为侧棱 CC1 的中点, ∴FG∥EC,FG=EC, ∴四边形 FGEC 是平行四边形,
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∴CF∥EG,∵CF?平面 AB1E,EG? 平面 AB1E, ∴CF∥平面 AB1E. (2)∵三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC, ∴BB1⊥平面 ABC. 又 AC? 平面 ABC,∴AC⊥BB1,∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC, ∵BB1∩BC=B,∴AC⊥平面 EB1C,∴AC⊥CB1, 1 ∴VA-EB1C=3S△EB1C· AC 1 ?1 1 ? =3× 2×1×1 ×1=6. ? ? 3 ∵AE=EB1= 2,AB1= 6,∴S△AB1E= 2 , 3VC-AB1E 3 ∵VC-AB1E=VA-EB1C,∴三棱锥 C-AB1E 在底面 AB1E 上的高为 =3. S△AB1E 20.解析: (1)证明:取线段 A1B1 的中点 E,连接 OE,C1E,CO,

已知等边三角形 ABC 的边长为 4,AA1=BB1=2CC1=4,AA1⊥平面 ABC,AA1∥BB1∥CC1, ∴四边形 AA1B1B 是正方形,OE⊥AB,CO⊥AB, 又∵CO∩OE=O, ∴AB⊥平面 EOCC1, 又 A1B1∥AB,OC1? 平面 EOCC1,故 OC1⊥A1B1, (2)设 OE∩AB1=D,则点 D 是 AB1 的中点, 1 ∴ED∥AA1,ED=2AA1, 1 又∵CC1∥AA1,CC1=2AA1, ∴四边形 CC1ED 是平行四边形,∴CD∥C1E. ∵CD?平面 A1B1C1,C1E? 平面 A1B1C1,∴CD∥平面 A1B1C1, 即存在点 D 使得 CD∥平面 A1B1C1,点 D 是 AB1 的中点. 21.解析: (1)证明:在菱形 ABCD 中,∵BD⊥AC,∴BD⊥AO. ∵EF⊥AC,∴PO⊥EF, ∵平面 PEF⊥平面 ABFED, 平面 PEF∩平面 ABFED=EF, 且 PO? 平面 PEF, ∴PO⊥平面 ABFED, ∵BD? 平面 ABFED,∴PO⊥BD. ∵AO∩PO=O,所以 BD⊥平面 POA. (2)连接 OB,设 AO∩BD=H.由(1)知,AC⊥BD. ∵∠DAB=60°,BC=4,∴BH=2,CH=2 3. 设 OH=x(0<x<2 3). 由(1)知,PO⊥平面 ABFED,∴PO⊥OB,即△POB 为直角三角形. ∴PB2=OB2+PO2=(BH2+OH2)+PO2,
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∴PB2=4+x2+(2 3-x)2=2x2-4 3x+16=2(x- 3)2+10. 当 x= 3时,PB 取得最小值,此时 O 为 CH 的中点. 1 ∴S△CEF=4S△BCD, 3 3 ∴S 梯形 BFED=4S△BCD=4S△ABD, 1 1 ∴V1=3S△ABD· PO,V2=3S 梯形 BFED· PO. S△ABD V1 4 ∴V2= = . S梯形BFED 3 ∴当 PB 取得最小值时,V1∶V2 的值为 4∶3.

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