2017-2018年人教A版高中数学选修2-3第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件_图文

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 1.会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项二项式系数. 2.掌握二项式系数的性质,并能灵活运用. 1 2 3 1.杨辉三角 (a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形 式: 上面的二项式系数表称为杨辉三角. 归纳总结从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行 两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 1 2 3 【做一做1】 如图,满足①第n行首尾两数均为n;②表中的递推关 系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)的第2个数是 . 2 -+2 答案: 2 1 2 3 2.二项式系数的性质 (1)对称性:在(a+b)n 的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二 0 1 项式系数相等,即C = C , C = C ,…,C = C . -1 - (2)增减性与最大值:当 k< +1 时,二项式系数是逐渐增大的,由对 2 2 称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是 偶数时,中间一项的二项式系数C 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两 项的二项式系数C 和C 相等,且同时取得最大值. 名师点拨求二项式系数的最大最小值时,一定要搞清楚n是奇数 还是偶数. -1 2 +1 2 1 2 3 【做一做2-1】 在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系 数相等,则n=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 1 5 = C , 解析:由已知C 可知n=1+5=6. 答案:A 【做一做2-2】 在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项是 ( ) A.第n项和第n+1项 B.第n-1项和第n项 C.第n+1项和第n+2项 D.第n+2项和第n+3项 解析: ∵2n+1 为奇数,∴二项式系数最大的项为中间两项,是第 (2+1)-1 2+1+1 +1 项和第 +1 项,即第(n+1)项和第(n+2)项. 2 2 答案:C 1 2 3 3.各二项式系数的和 (1)(1+x)n的展开式为 0 1 2 C + C + C 2 + ? + C + ? + . 名师点拨由二项式定理,令a=1,b=x可得上式,这是赋值法在二项 式中的应用. 0 1 2 (2)C + C + C +…+C =2n. 0 2 4 1 3 5 C + C + C +…=C + C + C +…=2n-1. 名师点拨第一个式子由二项式定理,令a=1,b=1得到,第二个式子 由二项式定理,令a=1,b=-1及第一个式子得到. 1 2 3 【做一做 3】 3 + 为 . 1 6 的展开式中各项的系数和 解析: 令 x=1,则 3 + (3+1)6=46. 答案:46 1 6 的展开式即为各项的系数和,即 1 2 0 n 1 n-1 n-r r n 1.二项式定理(a+b)n=C a +C a b+…+C a b +…+C b ,从左 到右是展开式,由简变繁,从右到左则是由繁变简,为什么要把二项式 展开,化简为繁呢 剖析 一般地,化繁为简是我们解题的基本思路,但有时候,化简 为繁也是一种创举. 由简变繁可以判断二项式系数的关系,如C = C - (n≥m),C -1 + C = C (n≥k+1)等,可以更深刻地理解组合数的 -1 -1 一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征,比较二项式系数 之间的大小关系,如 n 是偶数,则中间一项的二项式系数最大等.如果 0 给左边赋值的话,会出现更有趣的一些结论,如 2n=C + 1 0 2 1 3 C +…+C , C + C +…=C + C +…. 从这个角度看,二项式定理的由简变繁是为了更好地由繁变简. 1 2 2.正确理解二项式系数的性质 剖析 对称性:源于组合数的性质“C = C -1 - 0 ”,基础是C = C =1, 1 2 然后从两端向中间靠拢,便有C = C , C = C ,…. 最大值:①当 n 是偶数时,(a+b)n 的展开式共(n+1)项,n+1 是奇数, 这时展开式的形式是 -2 1 2 中间一项是第2+1 项,它的二项式系数是C ,它是所有二项式系 2 数中的最大值;②当 n 是奇数时,(a+b)n 的展开式共有(n+1)项,n+1 是 偶数,这时展开式的形式是 +1 +3 中间两项是第 2 , 2 项,它们的二项式系数是C2 -1 , C ,这两 +1 2 个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大值. 0 1 2 各二项式系数和:C + C + C +…+C =2n 源于 0 n 1 n-1 n 0 1 (a+b)n=C a +C a b+…+C b 中令 a=1,b=1,即得到C + C + 2 C +…+C =2n. 题型一 题型二 题型三 题型一 与杨辉三角有关的问题 【例1】 如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示 的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求 S19的值. 分析本题关键是观察数列的特征及数列的每一项在杨辉三角中 的位置,把各项还原为二项展开式中的二项式系数,再利用组合数 求解. 题型一 题型二 题型三 2 1 2 解: 由题图知,数列中的首项是C2 ,第 2 项是C2 ,第 3 项是C3 ,第 4 1 2 1 2 项是C3 ,…,第 17 项是C10 ,第 18 项是C10 ,第 19 项是C11 . 1 2 1 2 1 2 1 故 S19=(C2 + C2 )+(C3 + C3 )+(C4 + C4 )+…+(C10 + 2 2 1 1 1 1 2 2 2 C10 )+C11 =(C2 + C3 + C4 +…+

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