2018版高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例学案新人教A版必修1

3.2.2 题(重、难点). 函数模型的应用实例 学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).2.能建立函数模型解决实际问 预习教材 P102-P106,完成下面问题: 知识点 1 常见的函数模型 (1)一次函数模型 常 用 函 数 模 型 (4)对数函数模型 (5)幂函数模型 (6)分段函数 (2)二次函数模型 (3)指数函数模型 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0) y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) y=bax+c(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) y=mlogax+n(m,a,n 为常数,m≠0,a>0 且 a≠1) y=axn+b(a,b 为常数,a≠0) ? ?ax+b x<m , y=? ?cx+d x≥m ? 【预习评价】 一个矩形的周长是 40,矩形的长 y 关于宽 x 的函数解析式为( A.y=20-x(0<x<10) C.y=40-x(0<x<10) B.y=20-2x(0<x<20) D.y=40-2x(0<x<20) ) 解析 由题意可知 2y+2x=40,即 y=20-x,又 20-x>x,所以 0<x<10,故选 A. 答案 A 知识点 2 解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行: (一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原. 这些步骤用框图表示如图: 【预习评价】 某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元,并且每生产一单位产品,成本增加 10 万 1 2 元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数,K(Q)=40Q- Q ,则总利润 L(Q)的最大值是 20 ________万元. 1 2 1 2 1 2 解析 L(Q)=40Q- Q -10Q-2 000=- Q +30Q-2 000=- (Q-300) +2 500, 20 20 20 1 当 Q=300 时,L(Q)的最大值为 2 500 万元. 答案 2 500 题型一 一次函数、二次函数模型 【例 1】 商场销售某一品牌的羊毛衫, 购买人数是羊毛衫标价的一次函数, 标价越高, 购买人数越少. 把购买人数为零时的最低标价称为无效价格, 已知无效价格为每件 300 元. 现 在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件,商场以高于成本价的价格(标价)出售.问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的 75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元? 解 (1)设购买人数为 n 人,羊毛衫的标价为每件 x 元,利润为 y 元, 则 x∈(100,300],n=kx+b(k<0),∵0=300k+b,即 b=-300k,∴n=k(x-300). ∴利润 y=(x-100)k(x-300)=k(x-200) -10 000k(x∈(100,300]) ∵k<0,∴x=200 时,ymax=-10 000k, 即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件 200 元. (2)由题意得,k(x-100)(x-300)=-10 000k·75%, 2 x2-400x+37 500=0,解得 x=250 或 x=150, 所以,商场要获取最大利润的 75%,每件标价为 250 元或 150 元. 规律方法 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法利 用函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 【训练 1】 某水厂的蓄水池中有 400 吨水,每天零点开始由池中放水向居民供水,同 时以每小时 60 吨的速度向池中注水, 若 t 小时内向居民供水总量为 100 6t(0≤t≤24), 则 每天何时蓄水池中的存水量最少. 解 设 t 小时后,蓄水池中的存水量为 y 吨,则 y=400+60t-100 6t(0≤t≤24). ? 5 6? 2 2 设 u= t,则 u∈[0,2 6],y=60u -100 6u+400=60?u- ? +150, 6 ? ? 5 6 25 ∴当 u= 即 t= 时,蓄水池中的存水量最少. 6 6 题型二 指数型函数、对数型函数模型 【例 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可以 1 θ 表示为函数 v= log3 ,单位是 m/s,θ 是表示鱼的耗氧量的单位数. 2 100 2 (1)当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时,它的游速是多少? (2)某条鲑鱼想把游速提高 1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍. 解 1 θ (1)由 v= log3 可知, 2 100 1 900 1 当 θ =900 时,v= log3 = log39=1(m/s). 2 100 2 所以当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时,它的游速是 1 m/s. 1 θ 2 1 θ 1 θ 2 (2)由 v2-v1=1,即 log3 - log3 =1,得 =9.所以耗氧量的单位数为原来的 9 2 100 2 100 θ 1 倍. 规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法 (1)指数型函数模型:y=ma (a>0 且 a≠1,m≠0),在实际问题中,有关人口增长,银 行利率,细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示. (2)对数型函数模型:y=mlogax+c(m≠0,a>0 且 a≠1),对数型函数模型一般给出函 数关系式,然后利用对数的运算求解. (3)指数型、对数型函数应用题的解题思路:①依题意,找出或建立数学模型,②依实 际情况确立解析式中的参数,③依题设数据解决数学问题,④得出结论. 【训练 2】 一片森林原来面积为 a,计算每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一 x a 1 年减少 p%,10 年后森林面积

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