2013广东高考文科数学试卷及答案(高清版)


1

2

3

4

2013 年普通高校招生全国统一考试广东省高考数学答案
1-5 11 DAADC 6-10 BCBCD 12

??1,0? ? ?0, ??? ;

1 ; 13 4

1,1,3,3 ;

14

(2,1) ;

15

mn

16. 解:(1) f ?

? 2 ?? ? ?? ?? A ? 2 ,解得 A ? 2 ? ? A cos ? ? ? ? A cos ? 4 2 ?3? ? 12 6 ?

( 2 )

4 ? ? ?? ?? 30 ? ? ? , 即 f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? 3 ? 3 6? 2? 17 ? ? ?

sin ? ?

15 17

4 2 ? ? ?? 8 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,即 cos ? ? 5 3 ? 6 6? 5 ? ?
因为 ? ? ? ? ?0,

8 3 ? ?? 2 2 ? ,所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? 17 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 5 ? 2? 8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 17 5 17 5 85

所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

17. 解:(1)依题意得, 10(2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04) ? 1,解得 a ? 0.005 ( 2 ) 这 100 名 学 生 语 文 成

5 ?5

0 ?.

0 ?5

6 ?

5 ? 0

. ?4

? 7

绩 的 平 均 分 为 : 5 ? 0 .? 3 8 5 ? 0 . (分)

2

9

5

0

(3)数学成绩在 [50,60) 的人数为: 100 ? 0.05 ? 5

1 ? 20 2 4 数学成绩在 [70,80) 的人数为: 100 ? 0.3 ? ? 40 3 5 数学成绩在 [80,90) 的人数为: 100 ? 0.2 ? ? 25 4
数学成绩在 [60,70) 的人数为: 100 ? 0.4 ? 所以数学成绩在 [50,90) 之外的人数为: 100 ? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10 18. 解:(1)证明:因为 AB ? 平面 PAD , 所以 PH ? AB 因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高 所以 PH ? AD 因为 AB ? AD ? A 所以 PH ? 平面 ABCD (2)连结 BH ,取 BH 中点 G ,连结 EG 因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG // PH 因为 PH ? 平面 ABCD 所以 EG ? 平面 ABCD 则 EG ?

P
M E D H G A B F
5

1 1 PH ? 2 2

C

VE ? B C F ?

1 S? 3

BCF

1 1 ? EG ? ? ? 3 2

2 F?C A D ? G ? E 12

(3)证明:取 PA 中点 M ,连结 MD , ME 因为 E 是 PB 的中点

1 ? 2 AB 1 因为 DF // AB 所以 ME // DF ? ? 2 所以四边形 MEDF 是平行四边形 所以 EF // MD 因为 PD ? AD 所以 MD ? PA 因为 AB ? 平面 PAD , 所以 MD ? AB 因为 PA ? AB ? A 所以 MD ? 平面 PAB 所以 EF ? 平面 PAB
所以 ME // 19. 解:(1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1 因为 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 1,求得 a1 ? 1 (2)当 n ? 2 时, Sn ? Tn ? Tn?1 ? 2Sn ? n2 ? [2Sn?1 ? (n ?1)2 ] ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 2n ? 1 所以 Sn ? 2Sn?1 ? 2n ?1 所以 Sn?1 ? 2Sn ? 2n ? 1 ② ? ①得 an?1 ? 2an ? 2 所以 an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) ,即 ① ②

an?1 ? 2 ? 2 (n ? 2) an ? 2 a2 ? 2 ?2 a1 ? 2

求得 a1 ? 2 ? 3 , a2 ? 2 ? 6 ,则

所以 ?an ? 2? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列 所以 an ? 2 ? 3 ? 2n?1 所以 an ? 3 ? 2
n?1

? 2 , n ? N*

20. 解:(1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1,0) ,所以 c ? 1 ,

点 P(0,1) 代入椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1 , 2 b a b

所以 a ? b ? c ? 2
2 2 2

6

所以椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 ? ? y2 ? 1 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ?2 ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 0 整理得 2k ? m ? 1 ? 0
2 2



? y2 ? 4x ,消去 y 并整理得 k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 ? ? y ? kx ? m
因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4) ? 4k m ? 0
2 2 2

整理得 km ? 1



? 2 2 ? ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 2 或? ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
所以直线 l 的方程为 y ?
2

2 2 x? 2 或 y ?? x? 2 2 2

21. 解:(1)令 g ( x) ? 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a

? ? 9(1 ? a)2 ? 48a ? 9a2 ? 30a ? 9 ? 3(3a ?1)(a ? 3)
① 当 0?a?

1 ) 时 , ? ? 0 , 方 程 g(x ? 3

0 两 个 根 分 别 为 的

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 , x2 ? x1 ? 4 4
所以 g ( x) ? 0 的解集为 (??, 因为 x1 , x2 ? 0 , 所以 D ? A ? B ? (0,

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 )?( , ??) 4 4

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 )?( , ??) 4 4

7

② 当 综

1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,则 g ( x) ? 0 恒成立,所以 D ? A ? B ? (0, ??) 3 1 0?a? 上 所 述 , 当 时 3



D ? (0,

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 )?( , ??) ; 4 4


1 ? a ? 1 时, D ? (0, ??) 3

(2) f ?( x) ? 6 x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ? a)( x ?1) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 ① 当0 ? a ?

1 时,由(1)知 D ? (0, x1 ) ? ( x2 , ??) 3

因为 g (a) ? 2a2 ? 3(1 ? a)a ? 6a ? a(3 ? a) ? 0 , g (1) ? 2 ? 3(1 ? a) ? 6a ? 3a ? 1 ? 0 所以 0 ? a ? x1 ? 1 ? x2 , 所以 f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(0, a )

a
0 极大值

(a, x1 )
?


( x2 , ??)

?


?


所以 f ( x ) 的极大值点为 x ? a ,没有极小值点 ② 当

1 ? a ? 1 时,由(1)知 D ? (0, ??) 3

所以 f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, a )

a
0 极大值

(a,1)

1
0 极小值

(1, ??)

?


?


?


所以 f ( x ) 的极大值点为 x ? a ,极小值点为 x ? 1 综上所述,当 0 ? a ?

1 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? a ,没有极小值点; 3

8



1 ? a ? 1 时, f ( x) 有一个极大值点 x ? a ,一个极小值点 x ? 1 3

9


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