数列与不等式的综合问题突破策略分析

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数学数列与不等式的综合问题突破策略

【题 1】 等比数列{an}的公比 q>1,第 17 项的平方等于第 24 项,求使 a1+a2+…+an>

1 ? 1 ? 1 ? …… ? 1 恒成立的正整数 n 的范围.

a1 a2 a3

an

【题 2】设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围.
【题 3】 数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a3=7,S4=24. 1
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 p、q 都是正整数,且 p≠q,证明:Sp+q<2(S2p+S2q).

【题 4】已知数列{an}中, a1 ? 3, an?1 ? 2an ?1(n ? 1)

(1)设 bn ? an ?1(n ? 1, 2, 3 ) ,求证:数列{bn}是等比数列;

(2)求数列 {an } 的通项公式

(3)设 cn

?

an

2n ? an?1

,求证:数列 {cn } 的前

n

项和

Sn

?

1 3



学习参考

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【题

5】已知数列?an?

满足

a1

?

1 2

,

anan?1

?

1 2

? ??

1 4

n
? ??

,

n

?

N

?

.

(1)求数列?an? 的通项公式;

? ? (2)若数列 bn 的前 n 项和 sn ? n2 , Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? anbn ,求证:Tn ? 3 .

【题 6】已知? 为锐角,且 tan? ? 2 ?1 ,

函数 f (x) ? x2 tan 2? ? x ? sin(2? ? ? ) ,数列{an}的首项 4

a1

?

1 2

, an?1

?

f (an ) .

⑴ 求函数 f (x) 的表达式;

⑵ 求证: an?1 ? an ;

⑶ 求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 (n ? 2 , n ? N * )

1 ? a1 1 ? a2

1? an

? ? 【题 7】已知数列?an? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ?1 n ? N?
(1)求数列?an? 的通项公式;
? ? ? ? (2)若数列 bn 满足 4b1?14b2 ?14b3 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1)bn ,证明: an 是等差数列;

? ? (3)证明: 1 ? 1 ? ? 1 ? 2 n ? N ?

a2 a3

an?1 3

学习参考

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【题

8】数列?an ?满足 a1

?

1 4

, an

?

an?1
??1?n an?1

?

2

(n

?

2, n ?

N)



(1)求数列?an ?的通项公式 an ;

(2)设 bn

?

1 an2

,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n ;

(3)设 cn

?

an

sin

(2n ?1)? 2

,数列?cn ?的前 n 项和为Tn .

求证:对任意的 n ?

N ? ,Tn

?

4 7



【题 9】已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,且对于任意的 n ? N* ,恒有 Sn ? 2an ? n ,设

bn ? log2 (an ?1) .

(1)求证:数列{an ?1} 是等比数列;

(2)求数列?an?,?bn? 的通项公式 an 和 bn ;

2bn (3)若 cn ? an ? an?1 ,证明: c1 ? c2 ?

?

cn

?

4 3



1 【题 10】 等比数列{an}的首项为 a1=2002,公比 q=-2. (1)设 f(n)表示该数列的前 n 项的积,求 f(n)的表达式; (2)当 n 取何值时,f(n)有最大值.

学习参考

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【题 11】 已知{an}的前 n 项和为 Sn,且 an+Sn=4.

(1)求证:数列{an}是等比数列;

Sk+1-2

(2)是否存在正整数 k,使

>2 成立.

Sk-2

2 【题 12】已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=3an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其 中 λ 为实数,n 为正整数. (1)对任意实数 λ,证明数列{an}不是等比数列; (2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (3)设 0<a<b,Sn 为数列{bn}的前 n 项和.是否存在实数 λ,使得对任意正整数 n,
都有 a<Sn<b?若存在,求 λ 的取值范围;若不存在,说明理由.
学习参考

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【题 13】设数列?an ?,?bn ?满足 a1 ? b1 ? 6, a2 ? b2 ? 4, a3 ? b3 ? 3 ,
? ? ? ? ? 且数列 an?1 ? an ? n ? N ? 是等差数列,数列?bn ? 2? n ? N ? 是等比数列.
(1)求数列?an ?和?bn ?的通项公式;

(2)是否存在 k ? N ? ,使 ak

? bk

? ??0, 1 ?? ? 2?

,若存在,求出 k

,若不存在,说明理由.

学习参考

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数列与不等式综合解答与评析
类型 1:求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题
求数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略:(1)若函数 f(x)在定义 域为 D,则当 x∈D 时,有 f(x)≥M 恒成立?f(x)min≥M;f(x)≤M 恒成立?f(x)max≤M;(2) 利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得.

【题 1】 利用条件中两项间的关系,寻求数列首项 a1 与公比 q 之间的关系,再利用等比数

列前 n 项公式和及所得的关系化简不等式,进而通过估算求得正整数 n 的取值范围.

【解】 由题意得:(a1q16)2=a1q23,∴a1q9=1.

由等比数列的性质知数列{ 1 }是以 1 为首项,以 1 为公比的等比数列,要使不等式成

an

a1

q

立,

则须 a1(qn ?1) > q ?1

1 a1

(

1 qn

?1)

,把

1 ?1

a21=q?18

代入上式并整理,得

q?18(qn-1)>q(1-

q

1 ), qn

qn>q19,∵q>1,∴n>19,故所求正整数 n 的取值范围是 n≥20.

【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了,主要体现为用数列知识化简,用

不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.

学习参考

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【题 2】 第(1)小题利用 Sn 与 an 的关系可求得数列的通项公式;第(Ⅱ)小题将条件

an+1≥an 转化为关于 n 与 a 的关系,再利用 a≤f(n)恒成立等价于 a≤f(n)min 求解.

【解】 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即 Sn+1=2Sn+3n,

由此得 Sn+1-3 n+1=2(Sn-3n).

因此,所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)2 n?1,n∈N*,



(2)由①知 Sn=3n+(a-3)2 n?1,n∈N*,

于是,当 n≥2 时,an=Sn-Sn?1=3n+(a-3)2 n?1-3n?1-(a-3)2 n?2=2×3n?1+(a-

3)2 n?2,

an+1-an=4×3

n?1+(a-3)2

n?2=2

n?2·[12·(3)n?2+a-3], 2



n≥2

时,an+1≥an,即

2

n?2·[12·(3)n?2+a-3]≥0,12·(3)n?2+a-3≥0,

2

2

∴a≥-9,

综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞)

【点评】 一般地,如果求条件与前 n 项和相关的数列的通项公式,则可考虑 Sn 与 an 的关系 求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法,应当引起重视.

类型 2:数列参与的不等式的证明问题

此类不等式的证明常用的方法:(1)比较法,特别是差值比较法是最根本的方法;(2)分

析法与综合法,一般是利用分析法分析,再利用综合法分析;(3)放缩法,主要是通过分母

分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.

【题 3】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前 n 项公式和建立方程组即可解决第(1)

小题;第(2)小题利用差值比较法就可顺利解决.

? a1+2d=7

? a1=3

【解】

(1)设等差数列{an}的公差是 d,依题意得,? ?

,解得?

4a1+6d=24

?

d=2 ,

∴数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n+1.

学习参考

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(2)证明:∵an=2n+1,∴Sn= n(a1 ? an ) =n2+2n. 2
2Sp+q-(S2p+S2q)=2[(p+q)2+2(p+q)]-(4p2+4p)-(4q2+4q)=-2(p-q)2, 1
∵p≠q,∴2Sp+q-(S2p+S2q)<0,∴Sp+q<2(S2p+S2q). 【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形,途径主要有:

(1)因式分解;(2)化平方和的形式;(3)如果涉及分式,则利用通分;(4)如果涉

及根式,则利用分子或分母有理化.

【题

4】(1)由

an?1

?

2an

?1

得到

an?1

?1

?

2(an

?1)

,即

an?1 ?1 an ?1

?

2

……2



【点评】关于数列求和与不等式相结合的问题,常结合裂项相消或错位相减法放缩求和.

1 ? 1 ?n?1

【题 5】(1) an a ?1 n?2 an an ?1

?

2 ?? 4 ?? 1 ? 1 ?n

,? an?2 ? 1 , an 4

2 ?? 4 ??



a1

?

1 2

, a1a2

?

1 2

?

1 4

,? a2

?

1 4



??an?

是公比为

1 2

的等比数列,? an

?

? ??

1 2

?n ??

(2) bn ? 2n ?1,

学习参考

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Tn

?

1 2

?

3 22

?

5 23

?

2n ? 3 2n?1

?

2n ?1 2n

……①,

1 2 Tn

?

1 22

?

3 23

?

5 24

?

?

2n ? 2n

3

?

2n ?1 2n?1

②, ①-②得:

1 2 Tn

?

1 2

?

2 22

?

2 23

?

?

2 2n

?

2n ?1 2n?1

?

3 2

?

2n ? 3 2n?1



?Tn

?

3?

2n ? 3 2n

?Tn ? 3

【题

6】⑴

tan 2?

?

2 tan? 1 ? tan2 ?

? 2( 1? (

2 ?1) 2 ?1)2

?1

又∵? 为锐角

∴ 2? ? ? 4

∴ sin(2? ? ? ) ? 1 4

f (x) ? x2 ? x



a n ?1

?

a

2 n

?

an



a1

?

1 2

∴ a2 , a3 ,?an 都大于 0

∴ an2 ? 0

∴ an?1 ? an

⑶ 1 ? 1 ? 1 ?1? 1

an?1

a

2 n

?

an

an (1 ? an )

an 1? an

∴ 1 ?1? 1 1 ? an an an?1

∴ 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1

1 ? a1 1 ? a2

1 ? an a1 a2 a2 a3

an an?1

11

1

? ? ?2?

a1 an?1

an?1

∵ a2

?

(1)2 2

?

1 2

?

3 4

,

a3

?

(3)2 4

?

3 4

?1

,

又∵ n ? 2 an?1 ? an

∴ an?1 ? a3 ? 1

∴1 ? 2 ? 1 ? 2 a n ?1

∴1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 2

1 ? a1 1 ? a2

1? an

【题 7】(1)? an?1 ? 2an ? 1 ,? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ……………………2 分 故数列{an ? 1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列。……………………3 分
学习参考

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? an ? 1 ? 2n , an ? 2n ? 1 …………………………………………4 分

? 4 ? 2 (2)? 4b1?14b2 ?14b3 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1)bn ,

(b1 ?b2 ???bn ?n)

nbn ……………5 分

2(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2n ? nbn ①

2(b1 ? b2 ? ? ? bn ?bn?1) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ②

②—①得 2bn?1 ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,即 nbn ? 2 ? (n ?1)bn?1 ③……………………8 分

? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? nbn?2 ④

④—③得 2nbn?1 ? nbn ? nbn?1 ,即 2bn?1 ? bn ? bn?1 ……………………9 分

所以数列{bn }是等差数列

(3)? 1 ? 1 ? 1 ? 1 1 ………………………………11 分 an 2n?1 ? 1 2n?1 ? 2 2 an?1

设 S ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,则 S ? 1 ? 1 ( 1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 ? 1 (S ? 1 )

a2 a3

an?1

a2 2 a2 a3

an a2 2

an?1

…………13 分

S ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ………………………………14 分 a2 an?1 3 an?1 3

【题 8】(1)? 1 ? (?1)n ? 2 ,? 1 ? (?1)n ? (?2)[ 1 ? (?1)n?1 ] ,………3 分

an

a n ?1

an

an?1

又? 1 a1

? (?1)

?

3

,?

数列

? ? ?

1 an

?

??

1?n

? ?

是首项为

3

,公比为

?

2

的等比数列.……5



?

1 ? (?1)n ? 3(?2)n?1 , an

即 an

?

(?1)n?1 . 3 ? 2n?1 ? 1

………………6 分

(2) bn ? (3 ? 2n?1 ? 1)2 ? 9 ? 4n?1 ? 6 ? 2n?1 ? 1.

Sn

?

1? (1 ? 4n ) 9?
1? 4

1? (1 ? 2n ) ?6?
1? 2

?

n

?

3? 4n

? 6?2n

? n?9.

(3)?sin (2n ?1)? ? (?1)n?1 , 2

………………9 分

学习参考

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?cn

?

(?1) n?1

3(?2)n?1 ? (?1)n

?1. 3 ? 2n?1 ? 1

……………………10 分

当n

?

3 时,则Tn

?

1? 3?1

1? 3? 2 ?1

1 3? 22

??? ?1

1 3 ? 2n?1

?1

? 1?1? 1 ? 1 ?

1

?

11

?

1 12

[1

?

(

1 2

)

n?2

]

4 7 3 ? 22 3 ? 23 3 ? 2n?1 28

1?

1 2

? 11 ? 1 [1 ? (1)n?2 ] ? 11 ? 1 ? 47 ? 48 ? 4 .

28 6 2

28 6 84 84 7

?T1 ? T2 ? T3 ,

?对任意的 n ?

N ? ,Tn

?

4 7



………………………14 分

【题 9】(1)当 n ? 1时, S1 ? 2a1 ?1,得 a1 ? 1 .

∵ Sn ? 2an ? n ,∴当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2an?1 ? (n ?1) ,

两式相减得: an ? 2an ? 2an?1 ?1 ,∴ an ? 2an?1 ?1 .

∴ an ?1 ? 2an?1 ? 2 ? 2(an?1 ?1) ,

∴{an ?1} 是以 a1 ?1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.

(2)由(1)得 an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,∴ an ? 2n ?1, n ? N * .

∴ bn ? log 2 (an ? 1) ? log 2 2n ? n , n ? N * .

(3) cn

?

2n an an?1

, cn?1

?

2 n?1 an?1an?2



由{an} 为正项数列,所以{cn}也为正项数列,

从而 cn?1 cn

?

2an an?2

?

2(2n ?1) 2n?2 ?1

?

2(2n 2n?2

? 1) ?4

?

1 2

,所以数列 {cn } 递减.

所以 c1

? c2

??? cn

?

c1

?

1 2

c1

?

(

1 2

)2

c1

???

(

1 2

)

n?1

c1

?

1? (1)n 2
1? 1

? c1

?

4 3



2

另证:由 cn

?

(2n

2n ? 1)(2n?1

? 1)

?

2

1 n?

1

?

1, 2n?1 ? 1

所以 c1

? c2

??? cn

?

(1 ? 21 ?1

1 )?( 1 ? 22 ?1 22 ?1

1 )?? 23 ?1

学习参考

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1 ? 1 ?1? 1 ?1? 4 .

2n ?1 2n?1 ?1

2n?1 ?1

3

类型 3:求数列中的最大值问题

求解数列中的某些最值问题,有时须结合不等式来解决,其具体解法有:(1)建立目标

函数,通过不等式确定变量范围,进而求得最值;(2)首先利用不等式判断数列的单调性,

然后确定最值;(3)利用条件中的不等式关系确定最值.

【题 10】 第(1)小题首先利用等比数列的通项公式求数列{an}的通项,再求得 f(n)的表达

式;第(2)小题通过商值比较法确定数列的单调性,再通过比较求得最值.

n(n?1)

1

1

【解】 (1)an=2002·(-2)n?1,f(n)=2002n·(-2) 2

|f(n+1)| 2002 (2)由(1),得 |f(n)| = 2n ,则

|f(n+1)| 2002 当 n≤10 时, |f(n)| = 2n >1,∴|f(11)|>|f(10)|>…>|f(1)|,

|f(n+1)| 2002 当 n≥11 时, |f(n)| = 2n <1,∴|f(11)|>|f(12)|>|f(13)|>…,

∵f(11)<0,f(10)<0,f(9)>0,f(12)>0,

∴f(n)的最大值为 f(9)或 f(12)中的最大者.

1

200212·( )66

f(12)

2

1 2002

∵= f(9)

1

=20023·( )30=( 2

210

)3>1,

20029·( )36 2

1 ∴当 n=12 时,f(n)有最大值为 f(12)=200212·( )66.
2

【点评】 本题解答有两个关键:(1)利用商值比较法确定数列的单调性;(2)注意比较 f(12)

与 f(9)的大小.整个解答过程还须注意 f(n)中各项的符号变化情况.

类型 4:求解探索性问题
学习参考

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..

数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型,解答的一般策略:先假设所探求对

象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设

不成立,从而得到“否定”的结论,即不存在.若推理不出现矛盾,能求得在范围内的数值或

图形,就得到肯定的结论,即得到存在的结果.

【题 11】 第(1)小题通过代数变换确定数列 an+1 与 an 的关系,结合定义判断数列{an}为等比 数列;而第(2)小题先假设条件中的不等式成立,再由此进行推理,确定此不等式成立的合

理性.

【解】 (Ⅰ)由题意,Sn+an=4,Sn+1+an+1=4,

1 由两式相减,得(Sn+1+an+1)-(Sn+an)=0,即 2an+1-an=0,an+1=2an,

1 又 2a1=S1+a1=4,∴a1=2,∴数列{an}是以首项 a1=2,公比为 q=2的等比数列.

1

2[1―( )n] 2

(Ⅱ)由(Ⅰ),得 Sn=

=4-22?n. 1

1― 2

又由SSk+k-1-22>2,得44--2221??kk--22>2,整理,得23<21?k<1,即

1<2

k

3 ?1< ,
2

3 ∵k∈N*,∴2k?1∈N*,这与 2k?1∈(1, )相矛盾,故不存在这样的 k,使不等式成立.
2

【点评】 本题解答的整个过程属于常规解法,但在导出矛盾时须注意条件“k∈N*”,这是在

解答数列问题中易忽视的一个陷阱.

【题 12】第(1)小题利用反证法证明;第(2)小题利用等比数列的定义证明;第(3)小题属于存

在型问题,解答时就假设 a<Sn<b 成立,由此看是否能推导出存在存在实数 λ.

【解】 (1)证明:假设存在一个实数 λ,使{an}是等比数列,则有 a22=a1a3,即

2

4

4

4

(3λ-3)2=λ(9λ-4)?9λ2-4λ+9=9λ2-4λ?9=0,矛盾,所以{an}不是等比数列.

学习参考

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..

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..

(2)解:因为 bn+1=(-1)n+1[a n+1-3(n+1)+21]

2

2

2

=(-1)n+1( a 3

n-2n+14)=-3(a

n-3n-21)=-3b

n,

又 b1=-(λ+18),所以

2

当 λ=-18 时,bn=0(n∈N*),此0时{bn}不是等比数列;

0

bn+1

2



λ≠-18 时,b1=-(λ+18)≠0,9由上可知

bn≠0,∴

bn

=- (n∈N*). 3

0

2

故当 λ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ3+18)为首项,-3为公比的等比数列.

1

(3)由(2)知,当 λ=-18,bn=08(n∈N*),Sn=0,不满足题目要求;.

2

3

2

∴λ≠-18,故知 bn=-(λ+18)×(-3)n?1,于是 S n=-5(λ+18)·[1-(-3)n]

3

2

要使

a<Sn<b

对任意正整数

n

成立,即

a<-- (λ+18)·[1-(- )n]<b,(n∈N*).

5

3

a

3

b



2 <-5(λ+18)<

2 ,(n∈N*)



1-(- )n 3

1-(- )n 3

2

5

5

令 f(n)=1-(- )n,则当 n 为正奇数时,1<f(n)≤ ,当 n 为正偶数时 ≤f(n)<1;

3

3

9

5

5

∴f(n)的最大值为 f(1)=3,f(n)的最小值为 f(2)=9,

53

3

于是,由①式得 a<- (λ+18)< b,

95

5

∴-b-18<λ<-3a-18,(必须-b<-3a,即 b>3a).

当 a<b<3a 时,由-b-18≥-3a-18,不存在实数满足题目要求;

当 b>3a 存在实数 λ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b,且 λ 的取值范围是(-b- 18,-3a-18).

【点评】 存在性问题指的是命题的结论不确定的一类探索性问题,解答此类题型一般

是从存在的方面入手,寻求结论成立的条件,若能找到这个条件,则问题的回答是肯定

的;若找不到这个条件或找到的条件与题设矛盾,则问题的回答是否定的.其过程可以概括

为假设——推证——定论.本题解答注意对参数 λ 及项数 n 的双重讨论.

【题 13】(1)由已知 a2 ? a1 ? ?2 , a3 ? a2 ? ?1
?公差 d ? ?1? ?? 2? ? 1
学习参考

………1 分

.

..

.

..

? an?1 ? an ? (a2 ? a1 ) ? (n ?1) ?1 ? n ? 3 ? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a1 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 6 ? (?2) ? (?1) ? 0 ??? (n ? 4)

………2 分

? 6 ? ?(?2) ? (n ? 4)?(n ?1) = n2 ? 7n ? 18

2

2

………4 分

由已知 b1 ? 2 ? 4,b2 ? 2 ? 2 ………5 分

所以公比 q ? 1 2

? bn

?

2

?

?b1

?

2???
?

1 ?n?1 ?
2?

?

4 ? ?? 1 ??n?1 ………6 ?2?



? bn

?

2 ? 8 ? ?? 1 ??n ………7 分 ?2?

(2)设 f (k) ? ak ? bk

?

? ??

1 2

k

2

?

7 2

k

?

9

? ??

?

? ?2 ??

?

8

?

? ??

1 2

?k ??

? ? ??

?

1 2

?? ?????

k

?

7 2

2
? ??

?

49 ?

4

? ??

?

8?

? ??

1 2

k
? ??

?

7

………8



所以当 k ? 4 时, f (k) 是增函数.………10 分

又? f (4) ? 1 ,所以当 k ? 2 时 f (k) ? 1 ,………12 分

2

2

又? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 ,………13 分

所以不存在 k ,使 f (k) ? ?? 0, 1 ?? ………14 分 ? 2?

1. 若不 给自己 设限, 则人生 中就没 有限制 你发挥 的藩篱 。2. 若不是 心宽似 海,哪 有人生 风平浪 静。在 纷杂的 尘世里 ,为自 己留下 一片纯 静的心 灵空间 ,不管 是潮起 潮落, 也不管 是阴晴 圆缺, 你都可 以免去 浮躁, 义无反 顾,勇 往直前 ,轻松 自如地 走好人 生路上 的每一 步 3. 花一些 时间,总 会看清 一些事 。用一 些事情 ,总会 看清一 些人。 有时候 觉得自 己像个 神经病 。既纠 结了自 己,又 打扰了 别人。 努力过 后,才 知道许 多事情 ,坚持 坚持, 就过来 了。 4. 岁月 是无情 的,假 如你丢 给它的 是一片 空白, 它还给 你的也 是一片 空白。 岁月是 有情的 ,假如 你奉献 给她 的是一些 色彩, 它奉献 给你的 也是一 些色彩 。你必 须努力 ,当有 一天蓦 然回首 时,你 的回忆 里才会 多一些 色彩斑 斓,少 一些苍 白无力 。只有 你自己 才能把 岁月描 画成一 幅难以 忘怀的 人生画 卷。

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