版高中数学第二章数列221等差数列二学案新人教B版必修5(数学教案)


2.2.1 学习目标 等差数列(二) 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解 决有关问题. 知识点一 等差数列通项公式的推广 思考 1 已知等差数列{an}的首项 a1 和公差 d 能表示出通项 an=a1+(n-1)d,如果已知第 m 项 am 和公差 d,又如何表示通项 an? 思考 2 由思考 1 可得 d= 何意义吗? an-a1 an-am ,d= ,你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几 n-1 n-m 梳理 等差数列{an}中,若公差为 d,则 an=am+(n-m)d,当 n≠m 时,d= an-am . n-m 知识点二 等差数列的性质 思考 还记得高斯怎么计算 1+2+3+…+100 的吗?推广到一般的等差数列,你有什么猜 想? 1 梳理 在等差数列{an}中,若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则 am+______=ap+______. 特别地,若 m+n=2p,则 an+am=2ap. 知识点三 由等差数列衍生的新数列 思考 若{an}是公差为 d 的等差数列,那么{an+an+2}是等差数列吗?若是,公差是多少? 梳理 若{an},{bn}分别是公差为 d,d′的等差数列,则有 数列 {c+an} {c·an} {an+an+k} {pan+qbn} 结论 公差为 d 的等差数列(c 为任一常数) 公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数) 公差为 2d 的等差数列(k 为常数,k∈N+) 公差为 pd+qd′的等差数列(p,q 为常数) 类型一 等差数列推广通项公式的应用 例 1 在等差数列{an}中,已知 a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式. 反思与感悟 灵活利用等差数列的性质,可以减少运算. 跟踪训练 1 数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列,且 bn=an+1-an(n∈N+),若 b3=-2,b10 =12,则 a8 等于( ) A.0 B.3 C.8 D.11 2 类型二 等差数列与一次函数的关系 例2 已知数列{an}的通项公式 an=pn+q,其中 p,q 为常数,那么这个数列一定是等差数 列吗?若是,首项和公差分别是多少? 反思与感悟 本题可以按照解析几何中的直线问题求解,但是,如果换个角度,利用构造等 差数列模型来解决,更能体现出等差数列这一函数特征,这种解答方式的转变,同学们要在 学习中体会,在体会中升华. 跟踪训练 2 某公司经销一种数码产品,第 1 年获利 200 万元,从第 2 年起由于市场竞争等 方面的原因,利润每年比上一年减少 20 万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调 整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? 类型三 等差数列性质的应用 例 3 已知在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 引申探究 1. 在例 3 中, 不难验证 a1+a4+a7=a2+a4+a6, 则在等差数列{an}中, 若 m+n+p=q+r+s, m,n,p,q,r,s∈N+,是否有 am+an+ap=aq+ar+as? 2.在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________. 3 反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列{an}的性质;二是 利用通项公式,转化为等差数列的首项与公差的求解,属于通项方法;或者兼而有之.这些 方法都运用了整体代换与方程的思想. 跟踪训练 3

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