版高中数学第二章数列221等差数列二学案新人教B版必修5(数学教案)

2.2.1 学习目标 等差数列(二) 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解 决有关问题. 知识点一 等差数列通项公式的推广 思考 1 已知等差数列{an}的首项 a1 和公差 d 能表示出通项 an=a1+(n-1)d,如果已知第 m 项 am 和公差 d,又如何表示通项 an? 思考 2 由思考 1 可得 d= 何意义吗? an-a1 an-am ,d= ,你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几 n-1 n-m 梳理 等差数列{an}中,若公差为 d,则 an=am+(n-m)d,当 n≠m 时,d= an-am . n-m 知识点二 等差数列的性质 思考 还记得高斯怎么计算 1+2+3+…+100 的吗?推广到一般的等差数列,你有什么猜 想? 1 梳理 在等差数列{an}中,若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则 am+______=ap+______. 特别地,若 m+n=2p,则 an+am=2ap. 知识点三 由等差数列衍生的新数列 思考 若{an}是公差为 d 的等差数列,那么{an+an+2}是等差数列吗?若是,公差是多少? 梳理 若{an},{bn}分别是公差为 d,d′的等差数列,则有 数列 {c+an} {c·an} {an+an+k} {pan+qbn} 结论 公差为 d 的等差数列(c 为任一常数) 公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数) 公差为 2d 的等差数列(k 为常数,k∈N+) 公差为 pd+qd′的等差数列(p,q 为常数) 类型一 等差数列推广通项公式的应用 例 1 在等差数列{an}中,已知 a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式. 反思与感悟 灵活利用等差数列的性质,可以减少运算. 跟踪训练 1 数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列,且 bn=an+1-an(n∈N+),若 b3=-2,b10 =12,则 a8 等于( ) A.0 B.3 C.8 D.11 2 类型二 等差数列与一次函数的关系 例2 已知数列{an}的通项公式 an=pn+q,其中 p,q 为常数,那么这个数列一定是等差数 列吗?若是,首项和公差分别是多少? 反思与感悟 本题可以按照解析几何中的直线问题求解,但是,如果换个角度,利用构造等 差数列模型来解决,更能体现出等差数列这一函数特征,这种解答方式的转变,同学们要在 学习中体会,在体会中升华. 跟踪训练 2 某公司经销一种数码产品,第 1 年获利 200 万元,从第 2 年起由于市场竞争等 方面的原因,利润每年比上一年减少 20 万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调 整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? 类型三 等差数列性质的应用 例 3 已知在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 引申探究 1. 在例 3 中, 不难验证 a1+a4+a7=a2+a4+a6, 则在等差数列{an}中, 若 m+n+p=q+r+s, m,n,p,q,r,s∈N+,是否有 am+an+ap=aq+ar+as? 2.在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________. 3 反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列{an}的性质;二是 利用通项公式,转化为等差数列的首项与公差的求解,属于通项方法;或者兼而有之.这些 方法都运用了整体代换与方程的思想. 跟踪训练 3 在等差数列{an}中,已知 a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,求 a3+a6+a9 的值. 1.在等差数列{an}中,已知 a3=10,a8=-20,则公差 d 等于( A.3 B.-6 C.4 D.-3 2.在等差数列{an}中,已知 a4=2,a8=14,则 a15 等于( A.32 B.-32 C.35 D.-35 3.在等差数列{an}中,已知 a4+a5=15,a7=12,则 a2 等于( 3 A.3 B.-3 C. 2 3 D.- 2 ) ) ) 1.等差数列{an}中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等 差数列. 2.在等差数列{an}中,首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元素.有关等差数列的问题,如果条 件与结论间的联系不明显,则均可根据 a1,d 的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变 形及整体计算,以减少计算量. 4 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 设等差数列的首项为 a1, 则 am=a1+(m-1)d, 变形得 a1=am-(m-1)d, 则 an=a1+(n-1)d =am-(m-1)d+(n-1)d =am+(n-m)d. 思考 2 等差数列通项公式可变形为 an=dn+(a1-d), 其图象为一条直线上孤立的一系列点, (1,a1),(n,an),(m,am)都是这条直线上的点.d 为直线的斜率,故两点(1,a1),(n,an) 连线的斜率 d= 知识点二 思考 利用 1+100=2+99=….在有穷等差数列中, 与首末两项“等距离”的两项之和等于 首项与末项的和.即 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…. 梳理 an aq 知识点三 思考 ∵(an+1+an+3)-(an+an+2) =(an+1-an)+(an+3-an+2) =d+d=2d. ∴{an+an+2}是公差为 2d 的等差数列. 题型探究 类型一 例 1 解 因为 a8=a2+(8-2)d, 所以 17=5+6d, 解得 d=2. 又因为 an=a2+(n-2)d, 所以 an=5+(n-2)×2=2n+1. 跟踪训练 1 B 类型二 例 2 解 取数列{an}中任意相邻两项 an 和 an-1(n>1), 5 an-a1 an-am .当两点为(n,an),(m,am)时,有 d=

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