高中数学 第2章 §1 1.2椭圆的简单几何性质同步测试 北师大版选修1-1

【成才之路】2014-2015 学年高中数学 第 2 章 §1 1.2 椭圆的简单 几何性质同步测试 北师大版选修 1-1 一、选择题 x y 1 1.若焦点在 y 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值为( m 2 2 A.1 C. 3 [答案] B [解析] 由题意得 a =2,b =m,∴c =2-m, 2 2 2 2 2 ) B. D. 3 2 8 3 c 1 2-m 1 3 又 = ,∴ = ,∴m= . a 2 2 2 2 2.椭圆 25x +9y =225 的长轴长,短轴长,离心率依次为( 4 A.5,3, 5 3 C.5,3, 5 [答案] B [解析] 椭圆 25x +9y =225 化为标准方程为 + =1,∴a =25,b =9, 25 9 ∴长轴长 2a=10,短轴长 2b=6, 2 2 2 2 ) 4 B.10,6, 5 3 D.10,6, 5 y2 x2 2 2 c 4 离心率 e= = ,故选 B. a 5 3.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率为( A. 1 5 3 3 B. 3 4 1 2 ) C. D. [答案] D c 1 [解析] 由题意得 a=2c,∴离心率 e= = . a 2 4.过椭圆 + =1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( 4 3 A.8,6 B.4,3 1 x2 y2 ) C.2, 3 [答案] B [解析] D.4,2 3 2b 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴,最短的为垂直于长轴的弦(通径)是 . 2 a 2b 2?3 ∴最长的弦为 2a=4,最短的弦为 = =3, a 2 故选 B. 5.椭圆 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为( 25 9 9-k 25-k A.有相等的长、短轴 C.有相同的焦点 [答案] B [解析] ∵0<k<9,∴0<9-k<9,16<25-k<25, ∴25-k-9+k=16, 故两椭圆有相等的焦距. 6. 椭圆的焦点在 x 轴上, 长、 短半轴之和为 10, 焦距为 4 5, 则椭圆的标准方程为( A. + =1 36 16 ) B.有相等的焦距 D.x,y 有相同的取值范围 2 x2 y2 x2 y2 ) x2 y2 B. + =1 16 36 x2 y2 C. + =1 6 4 [答案] A [解析] 由题意得 c=2 5,a+b=10, ∴b =(10-a) =a -c =a -20, 2 2 2 2 2 x2 y2 D. + =1 6 4 y2 x2 解得 a =36,b =16,故椭圆方程为 + =1. 36 16 2 2 x2 y2 二、填空题 7.已知 B1、B2 为椭圆短轴的两个端点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,若四边形 B1F1B2F2 为 正方形,则椭圆的离心率为________. [答案] 2 2 2 a, 2 [解析] 如图,由已知得 b=c= ∴e= = c a 2 . 2 2 8.若椭圆两焦点 F1(-4,0),F2(4,0),P 在椭圆上,且△PF1F2 的最大面积是 12,则椭 圆方程为________. [答案] + =1 25 9 x2 y2 [解析] ∵焦点为(-4,0),∴c=4,且焦点在 x 轴上又最大面积为 bc=12,∴b=3, ∴a =16+9=25, ∴椭圆方程为 + =1. 25 9 9.如图,把椭圆 + =1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的 25 16 上半部分于 P1、P2、…P7,七个点, F 是椭圆的一个焦点,则|P1F|+ |P2F|+…+ |P7F|= ____________. 2 x2 y2 x2 y2 [答案] 35 [解析] 根据对称性|P1F|+|P2F|+…+|P7F| 1 1 = ?7?2a= ?7?10=35. 2 2 三、解答题 10.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)短轴长为 6,两个焦点间的距离为 8; (2)两个顶点分别是(-7,0),(7,0),椭圆过点 A(1,1); (3)两焦点间的距离为 8,两个顶点分别是(-6,0),(6,0). [答案] (1) + =1 或 + =1 25 9 9 25 [解析] (1)由题意得 b=3,c=4, ∴a =b +c =9+16=25 ∵焦点位置不定,所以存在两种情况. 3 2 2 2 x2 y2 x2 y2 x 48y (2) + =1 49 49 2 2 (3) + =1 或 + =1 36 20 36 52 x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 25 9 9 25 (2)当焦点在 x 轴上时, ∵两个顶点为(-7,0),(7,0),∴a=7. ∴方程可设为 + 2=1,又过点(1,1), 49 b 49 x 48y 代入可得 b = ,∴椭圆方程为 + =1. 48 49 49 2 2 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 当焦点在 y 轴上时,∵两个顶点为(-7,0),(7,0), ∴b=7. y2 x2 ∴椭圆方程可设为 2+ =1,又过点(1,1),代入可得 a 49 a2= ,这与 a2>b2 矛盾,∴不符合题意. x 48y 综上可知,椭圆方程为 + =1. 49 49 (3)∵2c=8,∴c=4,当焦点在 x 轴上时,因为椭圆顶点为(6,0),∴a=6,∴b =36 -16=20, ∴椭圆方程为 + =1. 36 20 当焦点在 y 轴上时,因为顶点为(6,0),∴b=6. ∴a =36+16=52,∴椭圆方程为 + =1. 36 52 ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 36 20 36 52 2 2 2 2 49 48 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2

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