陕西省石泉县江南高级中学北师大版高中数学选修2-2复习课件:2.1 变化的快慢与变化率 课件(共18张PPT)_图文

第二章 变化率与导数
§2.1 变化的快慢与变化率

问题提出

世界上,变化无处不在,人们以常关心变化的 快慢问题,如何刻画事物变化的快慢呢?

实例分析

问题1

物体从某一时刻开始运 动, 设s表示此物体经过时间 t走过 的路程, 显然s是时间t的函数, 表示为s ? s(t ).在运动的过 程中测得了一些数据 , 如下表 :
t/s s/m 0 0 2 6 5 9 10 20 13 32 15 44 … …

物体在0~ 2s和10 ~13s这两段时间内 , 哪一段时间运动得快 ? 如何刻画物体运动的快 慢?

分析 我们通常用平均速度来比较运动的快慢 . 6?0
在0~ 2 s这段时间内 , 物体的平均速度为 ? 3(m / s ); 2?0 32 ? 20 在10 ~13s这段时间内 , 物体的平均速度为 ? 4(m / s ). 13 ? 10

显然,物体在后一段时间比前一段时间 运动得快.

问题2 某病人吃完退烧药,他的体温变化如图所示:
39 38 37 36
y /(?c)

10 20 30 40 50

60 70

x / min

比较时间x从0 min到20 min 和从20 min到30 min 体温的变化情况 , 哪段时间体温变化较快 ? 如何刻画体温变化的快 慢?

由上图可看出:
分析 当时间x从0 min到20min时, 体温y从39?c变为38.5?c, 下降了0.5?c;
当时间x从20min到30min时, 体温y从38.5?c变为38?c, 下降了 0.5?c;

两段时间下降相同的温度,而后一段时间比前 一段时间短,所以后一段时间的体温比前一段 时间变化快.
?我们也可以比较在这两 段时间中 , 单位时间内体温的平均 变化量,
于是当时间x从0 min 变到20 min时, 体温y相对于自变量 x的平均变 38.5 ? 39 ? 0.5 化率为: ? ? ?0.025(?c / min). 20 ? 0 20

当时间x从20 min 变到30 min时, 体温y相对于自变量 x的平均变 38 ? 38.5 ? 0.5 化率为: ? ? ?0.05(?c / min). 30 ? 20 10

这里出现了负号 , 它表示体温下降了 , 显然, 绝对值越大下降得 越快, 这里, 体温从20 min到30 min 这段时间下降得比 0 min到 20 min 这段时间要快 .

归纳
在第一个问题中 , 我们用一段时间内物体 的平均速度刻画了物 体运动的快慢 , 当时间从t0变为t1时, 物体所走的路程从s (t0 )变 为s (t1 ), 这段时间内物体的平均 速度是 : s (t1 ) ? s (t0 ) 平均速度 ? . t1 ? t0

在第二个问题中 , 我们用一段时间内体温 的平均变化率刻画了 体温变化的快慢 , 当时间从x0变为x1时, 体温从 y ( x0 )变为y ( x1 ), 这段时间内体温的平均 变化率是 : y ( x1 ) ? y ( x0 ) 体温的平均变化率? . x1 ? x0

抽象概括
对一般的函数 y ? f ( x)来说, 当自变量x从x1变为x2时,函数值从f ( x1 ) 变为f ( x2 ),它的平均变化率为: f ( x2 ) ? f ( x1 ) . x2 ? x1
通常我们把自变量的变 化x2 ? x1称作自变量的改变量 , 记作?x,函数 值的变化f ( x2 ) ? f ( x1 ), 称作函数值的改变量 , 记作?y.这样,函数的平 均变化率就可以表示为 函数值的改变量与自变 量的改变量之比 ,即 : ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? . ?x x2 ? x1 我们用它来刻画函数值 在区间 [ x1 , x2 ]上变化的快慢 .

2. 瞬时速度 经调查发现其中一辆汽车在10h内行驶了150km.
这段时间内汽车的平均速度为

问题

经过的路程 s 150 v? ? ? ? 54( km / h) 所有的时间 t 10

平均速度反映了汽车在前 10 秒内的快慢程度,为了了 解汽车的性能,还需要知道汽车在某一时刻的速度 — —瞬时速度.

已知物体作变速直线运动,其运动方 程为 s=s(t)(s 表示位移,t 表示时间 ),求物 体在 t0时刻的速度.

如图设该物体在时刻 t0 的位置是 s (t0) = OA0 ,在时刻 t0 +?t 的位置是s(t0+?t) =OA1,则从 t0 到 t0 +?t 这段时间内, 物体的 位移是

?s ? OA1 ? OA0 ? s( t 0 ? ?t ) ? s( t 0 )
在时间段( t0+?t)- t0 = ?t 内,物体的平均速度为:

s ( t 0 ? ?t ) ? s ( t 0 ) ?s v? ? t 0 ? ?t ? t 0 ?t

要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物

体在每一时刻运动的快慢程度.如果物体的运动规
律是 s =s(t ),那么物体在时刻t 的瞬时速度v,就是 物体在t 到 t+?t 这段时间内,当 ?t?0 时平均速度

例 物体作自由落体运动, 1 运动方程为: s ? gt 2 ,其中位移
2

单位是m ,时间单位是s ,g=9.8m/s2. 求:(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的 平均速度; (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平 均速度; (3) 物体在t =2时的瞬时速度.

?s 1 v? ? 2 g ? g?t ?t 2
(1) 将 ?t=0.1代入上式,得

O s(2) s(2+?t)

v ? 2.05 g ? 20.09( m / s )
(2) 将 ?t=0.01代入上式,得

?s

v ? 2.005 g ? 19.65( m / s ) ( 3) 当 ?t ? 0, 2 ? ?t ? 2
平均速度 v 的趋近于: 19.6(m / s ) 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔?t 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)

s

抽象概括 在前面的问题中,我们通过减小自变量的改变量 用平均变化率“逼近”瞬时变化率.
故可知: 对于一般函数 y ? f ( x), 在自变量x从x0变到x1的 过程中, 若设?x ? x1 ? x0 , 则函数的平均变化率是 : ?y f ( x1 ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ? . ?x x1 ? x0 ?x 而当?x趋于0时, 平均变化率就趋于函数 在x0点的瞬时变 化率, 瞬时变化率刻画的是函 数在一点处变化的快慢 .

练习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存 h 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t

请计算
0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :

在0 ? t ? 0.5这段时间里 , h(0.5) ? h(0) v? ? 4.05(m / s ); 0.5 ? 0 在1 ? t ? 2这段时间里 , h(2) ? h(1) v? ? ?8.2(m / s ). 2 ?1

回顾小结:
1.理解什么是平均速度,什么是瞬时速度,它们之 间有什么关系.
2. 平均变化率的定义:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上的平均变化率为: x2 ? x1
y B(x2,f(x2))

A(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1) =△y
x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y ? x2 ? x1 ?x

x2-x1 =△x
0

3. 平均变化率的几何意义:
( x2 , f ( x2 )) 连线的斜率. 曲线 y ? f ( x) 上两点 ( x1 , f ( x1 ))、


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