等差数列教案

等差数列前项和教案
授课时间:2016.9.12 授课课程:数学 授课内容:等差数列前 n 项和 授课老师: 一、 条件分析 1、教材分析 本节等差数列求和共分 2 课时, 第 1 课时是在学习了等差数列的概念 和性质的基础上,使学生掌握等差数列求和公式,并能利用它解决数 列求和的有关问题.等差数列求和公式的推导,是由计算工厂堆放的 钢管数这一实例引入的,采用了倒序相加法,思路的获得得益于等差 数列任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和这一性质 的认识和发现,通过对等差数列求和公式的推导,使学生能掌握“倒 序相加”这一重要数学方法. 第 2 课时的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式 和前 n 项和公式,进一步了解等差数列的一些性质,并会用它们解决 一些相关问题. 通过本节课的教学使学生对等差数列的前 n 项和公式 的认识更为深刻,促进学生对本节内容认知结构的形成.通过探究一 些特殊数列求和问题的思路和方法,体会数学思想方法的运用. 2、学情分析 本节内容所教授对象是我校高二的学生,经过前面两节课的学习,同 学们已经调整好了状态,大部分学生拥有很强的求知欲,有部分学生 授课班级: 课时:2 课时

具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力, 但也有一部分学生的基 础较弱,学习数学的兴趣还不是很浓,所以我在授课时注重从具体的 生活实例出发,注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理 发展特点,从而促进思维能力的进一步发展。 二、 教学结构化 (一)知识与技能 (1)掌握等差数列前 n 项和公式; (2)能较熟练应用等差数列前 n 项和公式求和. (二)过程与方法 经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般 的研究方法,学会观察、归纳、反思. (三)情感态度与价值观 通过有关内容在实际生活中的应用, 使学生再一次感受数学来源于生 活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发 现问题,并用数学知识解决问题. 三、教学重点、难点 1、教学重点: 掌握等差数列前 n 项和公式. 2、教学难点: 对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用. 四、教学过程 导入新课

事例导入 师:在不久的将来,我们所有的同学都会出去实习,也会面临一个敏 感的问题——工资。关于“加薪的学问”有一报道如下:在美国广为 流传的一道数学题目是:老板给你两个加工资的方案,一是每年年末 加 1 000 元;二是每半年结束时加 300 元.假如同学们都是该公司的 员工,那么你们会选哪一种呢? 生:第一种 师:还真让我猜对了,你们大多的同学都会选择第一种。可是我们现 在用数学知识来算一算呢,看看到底是选第一种还是第二种? 例如,在第二年的年末,依第一种方案可以加得 1 000+2 000=3 000(元);而第二种方案在第一年加得(300+600)元,第二年加得 900 +1200=2 100(元),总数也是 3 000 元. 但到第三年,第一种方案可得 1 000+2 000+3 000=6 000(元),第二 种方案则为 300+600+900+1 200+1 500+1 800=6 300(元),比第 一种方案多了 300 元. 第四年、第五年会更多.因此,你若在该公司干三年以上,则应选择 第二种方案. 师:(一般不擅长数学的,很容易选择前者.因为一年加 1 000 元总 比两个半年共加 600 元要多. 其实, 由于加工资是累计的, 时间稍长, 往往第二种方案更有利.)所以说哈,咱们学好数学还是有必要的, 不然被老板坑了还不知道哦。 以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题,由此导入新

课. 师:现在给大家出一个简单的数学题,“1+2+?100=?”的结果 是多少? 生:........ 师:慢慢算,看看你们的解法是什么? 师:跟大家讲一个人——高斯。为什么讲他呢,这个与我们今天的上 课内容有关, 也和大家做的题有关, 高斯德国著名数学家、 物理学家、 天文学家、 大地测量学家并享有 “数学王子” 之称。 高斯和阿基米德、 牛顿并列为世界三大数学家。 高斯十岁时, 有一次老师出了一道题目, 老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+?100=?” 的结果是多少? 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10;?算得不 亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+?+100=5 050.” 生:惊讶!!!他到底是怎么做出来的,时间这么短。 师:10 岁的小高斯是这样算的:1+2+3+?+99+100=(1+100) +(2+99)+(3+98)+?+(50+51)=101×50=5 050 将加法问题转 化为乘法运算,迅速准确地得到了结果,的确思维非凡.可见作为数 学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,因此能从一些简单的事物 中发现和寻找出某些规律性的东西. 实际上,高斯用的是首尾配对相加的方法: 首项与末项的和:1+100=101, 第二项与倒数第二项的和:2+99=101,

第三项与倒数第 3 项的和:3+98=101, ... 第 50 项与倒数第 50 项的和:50+51=101 于是,所求的和是 101*100/2=5050. 1+2+...+99+100 100+99+...+2+1 101+101+...+101+101 这就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”. (高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50 组,第一 个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与 倒数第三个数一组,?,每组数的和均相等,都等于 101,50 个 101 就等于 5 050 了.) 高斯的这种算法,就是等差数列求和的方法,也就是我们将要探究的 等差数列的前 n 项和问题. 探究了以上两个实际问题的求和, 学生对数学求和问题有了一定的认 识,比较以上两种探究过程学生自然会思考能否把“倒序相加法”推 广到任意一个等差数列呢?这种类比的联想就是思维智慧的闪现. 为 了降低难度,教师可先与学生一起探究 1+2+3+?+n 的问题,得 到如下算式: 1 + 2 + 3 + ? + n-1 + n n + n-1 + n-2 + ? + 2 + 1 (n+1) + (n+1) + (n+1) + ? + (n+1) + (n+1)

可知 1+2+3+?+n=[n(n+1)]/2 ? 再进一步探究, 等差数列{an}的前 n 项和的问题, 让学生明白 Sn 就表 示{an}的前 n 项和,即 Sn=a1+a2+a3+?+an,根据倒序相加法可 得如下算式: Sn = a1 + a2 + a3 + ? + an, Sn = an + an-1 + an-2 + ? + a1, 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an - 1) + (a3 + an - 2) + ? + (an + a1). 根据上节课等差数列的性质有 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=? =an+a1. 所以,2Sn=n(a1+an).由此可得等差数列{an}的前 n 项和公式: Sn=n(a1+an)/2 这就是说,等差数列的前 n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一 半.


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