椭圆单元复习题

高二数学复习题——椭圆
一、选择题 1.椭圆上 A.10
2

7. 椭圆 C :

x2 y 2 右焦点分别为 F1 、F2 , 若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P , ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2


x2 y2 ? ? 1 一动点 P 到两焦点距离之和为( 9 16 B.8 C.6
2

) D.不确定 )

使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( A. ( , ) 8.已知椭圆

??? ??? ? ? x y 2.椭圆 ? ? 1 上有两个动点 P 、 Q ,点 E (3, 0) 满足 EP ? EQ ,则 EP ? QP 的最小值为(
36 9
A.6 B. 3 ? 3 C.9 D. 12 ? 6 3

1 2 3 3

B. ( ,1)

1 2

C. ( ,1)

2 3

D. ( , ) ? ( ,1)

1 1 3 2

1 2

x2 y2 + 2 =1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的 a2 b 中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为 ( )
A、

3.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的离心率是( m



x2 y2 + =1 45 36

B、

x2 y2 + =1 36 27

C、

x2 y2 + =1 27 18

D、

x2 y2 + =1 18 9

A.

3 2

B. 5

C.

3 或 5 2

D.

3 5 或 2 2

9.已知椭圆 C:

x2 2 ? y 2 ? 1 的焦点为 F1 ,F2 ,若点 P 在椭圆上,且满足 PO = PF1 ? PF2 (其中 o 为 4
( )

4.从椭圆

上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正 )

半轴的交点, 是椭圆与 y 轴正半轴的交点, AB∥OP 是坐标原点) 则该椭圆的离心率是 B 且 (O , ( A. B. C. D.

坐标原点),则称点 P 为“★点”,那么下列结论正确的是 A.椭圆上的所有点都是“★点” B.椭圆上仅有有限个点是“★点” C.椭圆上的所有点都不是“★点” D.椭圆上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点” 10 . 已 知 点 F1、F2 为 椭 圆

5. 椭圆 C:

x2 y 2 点 ? ? 1 的左右顶点分别为 A1 , A2 , P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是 [?2, ?1] , 4 3
) D. [ ,1]

x2 y2 ? ? 1 的 左 右 焦 点 , 过 F1 的 直 线 l 交 该 椭 圆 于 25 16


A(x1 , y1 )、B(x 2 , y 2 ) 两点, ?ABF2 的内切圆的周长为 ? ,则 y1 ? y 2 的值是(
5 3 二、填空题
A. 11. 已知 F1、 2 为椭圆 F B.

那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. [ , ]

10 3

C.

20 3

D.

5 3

1 3 2 4

B. [ , ]

3 3 8 4

C. [ ,1]

1 2

3 4

x2 6.已知 A1 , A2 为椭圆 ? y 2 ? 1 的左右顶点,在长轴 A1 A2 上随机任取点 M ,过 M 作垂直于 x 轴的 4
直线交椭圆于点 P ,则使 ?PA1 A2 ? 450 的概率为( A. ) D.

x2 y2 过 B 若 ? ? 1 的两个焦点, F1 的直线交椭圆于 A、 两点, F2 A ? F2 B ? 12 , 25 9

则 AB = _____________

4 5

B.

7 10

C.

3 10

1 5

12.已知直线 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0( k ? R ) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个 焦点,且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8.则椭圆 C 的标准方程为
2 2



13.已知椭圆

x y 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , A, F 是其左顶点和左焦点, P 是圆 x ? y ? b 上的动点, 2 a b

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PA PF

? 常数 ,则此椭圆的离心率是

20.已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆 2 2 a b

14.椭圆

x2 y2 10 ,则实数 m 的值为___________. ? ? 1 的离心率为 5 m 5

与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,直线 l : x ? my ? 4 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围;

x? y? 2 2 2 15.已知椭圆 ? + ? =1(a>b>c>0,a =b +c )的左右焦点分别为 F1,F2,若以 F2 为圆心,b―c 为半 a b
径作圆 F2,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 T,且|PT|的最小值为 心率 e 的取值范围是
2 2

??? ??? ?

3 (a―c),则椭圆的离 2

.

16. 如图, 已知过椭圆

x y ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左顶点 A ? ? a, 0 ? 作直线 l 交 a 2 b2

21.如图,椭圆 C : x 2 ?

y 轴于点 P ,交椭圆于点 Q ,若 ?AOP 是等腰三角形,且 PQ

??? ?

??? ? ? 2QA ,则

y2 ? 1 (0 ? m ? 1) 的左顶点为 A , M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点, m

点 P 与点 A 关于点 M 对称. (1)若点 P 的坐标为 ( ,

椭圆的离心率为
2 2

.

17 . 已 知 椭 圆

x y ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 2 a b

9 4 3 ) ,求 m 的值; 5 5

(2)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,求 m 的取值范围.

,使得 c sin ?PF1 F2 ? a sin ?PF2 F1 , F1 (?c , ,F2 (c , ,若椭圆上存在点 P (异于长轴的端点) 0) 0) 则该椭圆离心率的取值范围是 三、解答题 .

18.已知曲线 E 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3, 0 , F2 (1)求曲线 E 的方程;

?

?

?

3, 0 的距离之和为 4.

?

(2)设过(0,-2)的直线 l 与曲线 E 交于 C , D 两点,且 OC ? OD ? 0 ( O 为原点) ,求直线 l 的方程.

???? ????

22.设椭圆

x2 y 2 3 .过该椭 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A(?2, 0), B(2, 0) ,离心率 e ? 2 a b 2

x2 y 2 3 1 19.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 P (1, ) , F 为其右焦点. 2 a b 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 A(4, 0) 的直线 l 与椭圆相交于 M 、 N 两点(点 M 在 A, N 两点之间) ,若 △ AMF 与

圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R ,D 为线段 RB 的中点,试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

△MFN 的面积相等,试求直线 l 的方程.

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:由椭圆方程可知 a ? 16 ? a ? 4, 2a ? 8 ,结合椭圆定义可知距离之和为 2a ? 8
2

考点:椭圆定义及性质 点评:椭圆定义:椭圆上的点到两焦点的距离和为定值 2a 2.A 【解析】 试题分析:根据题意,由于椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上有两个动点 P 、 Q , E (3, 0) , EP ? EQ , 36 9

a=6,b=3,c=3 3 ,那么结合椭圆的定义可知,

? 则 EP ? QP ? EP(EP ? EQ)= EP - EP ? EQ = EP 取 得 最 小 值 , 即 为 两 点 距 离 的 最 小 为
?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ?

??? ??? ? ? x2 y 2 x2 2 2 ? ? 1? (x ? 3)+y 2 ? (x ? 3)+9(1 ? ) 故可知 EP ? QP 的最小值为 6 故答案 36 9 36

为 A. 考点:椭圆的性质 点评:主要是考查了椭圆的方程与性质的运用,属于基础题。 3.C 【解析】 试题分析:m 是 2 和 8 的等比中项,所以 m ? ?4 .当 m ? 4 时,圆锥曲线 x 2 ?

y2 ? 1 ,表示 4
c 3 ;当 ? a 2

焦点在 y 轴上的椭圆,其中 a ? 2, b ? 1 ,所以 c ?

a 2 ? b 2 ? 3 .离心率 e ?

y2 ? 1 ,表示焦点在 x 轴上的双曲线,其中 a ? 1, b ? 2 ,所以 m ? ?4 时,圆锥曲线 x ? 4
2

c ? a 2 ? b 2 ? 5 .离心率 e ?

c 3 或 5. ? 5 .所以离心率为 a 2

考点:椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质 4.C 【解析】依题意,设 P(﹣c,y0) 0>0) (y , 则 + =1,

∴y0=



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∴P(﹣c,

) ,

又 A(a,0) ,B(0,b) ,AB∥OP,

∴kAB=kOP,即 ∴b=c.

=

=



设该椭圆的离心率为 e,则 e =

2

=

=

= ,

∴椭圆的离心率 e= 5.B



【解析】设 P 点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则

x0 2 y0 2 y0 y0 , k PA ? , ? ? 1 , k PA2 ? 1 4 3 x0 ? 2 x0 ? 2

于是 k PA1 ? k PA2

3 2 x0 y 4 ? ? 3 ,故 k ? ? 3 1 . ? 2 ? 2 PA1 x0 ? 22 x0 ? 4 4 4 k PA2
2 0

3?

∵ k PA2 ? [?2, ?1] A 6. 【解析】

∴ k PA1 ? [ , ] .故选 B.

3 3 8 4

【考点定位】直线与椭圆的位置关系

试题分析:椭圆的长轴长为 4,设 M(m,0),P(m,n) (-2<m<0),则当

?PA1 A2 ? 450 时,

? m2 ? n2 ? 1 16 6 ? , 解 得 , m ? ? , 所 以 , A2 M ? , 故 当 点 M 落 在 A2 M 上 时 , 满 足 ? 4 5 5 ? 2 ? m ?| n | ?
?PA1 A2 ? 450
,因此, 使 ?PA1 A2 ? 450 的概率为

A2 M 的长 4 ? ,选 A。 A1 A2的长 5

考点:椭圆的标准方程,椭圆的几何性质,几何概型概率的计算。 点评:小综合题,几何概型概率的计算,关键是弄清“两个几何度量” ,本题结合点 P 在椭 圆的位置,从确定使 7.D 【解析】 试题分析:解:

?PA1 A2 ? 450

的点 M 入手,得到几何度量。

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①当点 P 与短轴的顶点重合时,△F1F2P 构成以 F1F2 为底边的等腰三角形,此种情况有 2 个 满足条件的等腰△F1F2P; ②当△F1F2P 构成以 F1F2 为一腰的等腰三角形时,以 F2P 作为等腰三 角形的底边为例,∵F1F2=F1P,∴点 P 在以 F1 为圆心,半径为焦距 2c 的圆上,因此,当以 F1 为圆心,半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时, 存在 2 个满足条件的等腰△F1F2P, 此时 a-c

1 1 当 e= 时,△F1F2P 是等边三角形,与①中的三角形重 3 2 1 1 1 复,故 e≠ 同理,当 F1P 为等腰三角形的底边时,在 e> 且 e≠ 时也存在 2 个满足 3 2 2
<2c,解得 a<3c,所以离心率 e> 条件的等腰△F1F2P,这样,总共有 6 个不同的点 P 使得△F1F2P 为等腰三角形,综上所述, 离心率的取值范围是:e∈ ( , ) ? ( ,1) ,故选 D. 考点:椭圆的标准方程和简单几何性质 点评:本题给出椭圆的焦点三角形中,共有 6 个不同点 P 使得△F1F2P 为等腰三角形,求椭 圆离心率 e 的取值范围.着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题 8.D;

1 1 3 2

1 2

? x12 y12 ? 2 ? 2 ?1 b 【解析】设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,所以 ? a ,运用点差法,所以直线 AB 的斜率为 ? 2 2 x2 y2 ? ? ?1 ? a 2 b2 ?
b2 b2 , 设 直 线 方 程 为 y ? 2 ( x ? 3) , 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 a2 a 6b 2 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 6b 2 x ? 9b 2 ? a 4 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 2 ? 2 ;又因为 a 2 ? b 2 ? 9 ,解得 2 a ?b k?

b 2 ? 9, a 2 ? 18 .
【学科网考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查学生的化归与转化能力. 9.B 【解析】 10.D 【解析】 考点:椭圆的简单性质. 分析:根据椭圆方程求得 a 和 c,及左右焦点的坐标,进而根据三角形内切圆面积求得内切 圆半径,进而根据△ABF2 的面积=△AF1F2 的面积+△BF1F2 的面积求得△ABF2 的面积=3|y2-y1| 进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积,建立等式求得|y2-y1|的值.

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x2 y2 ? ? 1 ,a=5,b=4,∴c=3, 25 16 左、右焦点 F1(-3,0)、F2( 3,0),
解:椭圆: △ABF2 的内切圆面积为π ,则内切圆的半径为 r= 而 s △ ABF2=S △ AF1F2+S △ BF1F2=

1 , 2

1 1 1 × |y1| × |F1F2|+ × |y2| × |F1F2|= × ( |y1|+|y2| ) × 2 2 2

|F1F2|=3|y2-y1|(A、B 在 x 轴的上下两侧) 又 S△ABF2=

1 1 1 ×|r(|AB|+|BF2|+|F2A|= × (2a+2a)=a=5. 2 2 2

所以 3|y2-y1|=5,

5 |y2-y1|= . 3 故选 D. 11.8 【解析】
试题分析:因为,F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点, 25 9

若 F2 A ? F2 B ? 12 ,由椭圆的定义,|AB|+ F2 A ? F2 B ? 4a ? 20 ,所以, AB =8. 考点:椭圆的标准方程,椭圆的定义。 点评:简单题,涉及椭圆的焦点弦问题,往往要利用椭圆的定义:椭圆上的点,到两焦点距 离之和为定值。 12.

x2 y 2 ? ?1 25 16

【解析】 试题分析:条件中给出一个直线系,需要先求出直线所过的定点,根据定点是椭圆的焦点, 及椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8,写出椭圆中三个字母系数要满足的条件,解方程组 得到结果, 写出椭圆的方程解: (1+4k) (2-3k) (3+12k) 得 由 xy=0 (x-2y-3) (4x+3y-12) +k =0,由 x-2y-3=0,4x+3y-12=0,解得 F(3,0) .设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>b a 2 b2

>0),则,c=3,a+c=8, a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得解得 a=5,b=4,c=3,从而椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1。 25 16
考点:椭圆方程的求解 点评:本题考查直线与圆锥曲线之间的关系,题目中首先求椭圆的方程,这是这类题目常用 的一种形式,属于基础题. 13.

5 ?1 2

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【解析】 试题分析:因为
PA PF ? 常数 , 所 以 当 点 P 分 别 在 ( ± b , 0 ) 时 比 值 相 等 , 即

a-b a +b = ,整理得:b 2 =ac,又因为b2 =a 2 -c 2 ,所以a 2 -c 2 -ac=0 ,同除以 a2 可得 e2+e-1=0, b-c b +c
解得离心率 e=

5 ?1 2 。

考点:椭圆的简单性质。 点评:求圆锥曲线的离心率是常见题型,常用方法:①直接利用公式 e ? 式: e ?

c ;②利用变形公 a

c ? a

a2 - b2 b2 c ? 1 - 2 (椭圆)和 e ? ? 2 a a a

a 2 ? b2 b2 ? 1 ? 2 (双曲线)③根 a2 a

据条件列出关于 a、b、c 的关系式,两边同除以 a,利用方程的思想,解出 14. 3 或

c 。 a

25 3
m>5 时 ,

【 解 析 】 当

5 1 02 3 ?1 ?( ) ? ,? m m 5 5

?

25 ; 当 0?m?5 时 , 3

m 10 2 3 ?1 ?( ) ? ,? m 5 5 5
15.

?.所以 m 的值为 3 或 3

25 . 3

3 2 ?e? 5 2

【解析】依题意设切线长|PT|=

PF? ? (b ? c ) ? ,∴当且仅当| PF? |取得最小值时|PT|取
b?c ? ? ? ,从而解得 3 ? e ? 2 , (a ? c) ,∴ ? ? a?c ? ? 5 2

?

得最小值,∴ (a ? c) ? ? (b ? c) ? ? 故离心率 e 的取值范围是解得

3 2 ?e? 5 2

16.

2 5 5

【解析】 试题分析:由于 ?AOP 为等腰三角形,且 ?AOP ? 90? ,故有 AO ? OP ? a ,则点 P 的坐 ??? ? 标 为 ? 0, a ? , 设 点 Q 的 坐 标 为 ? x, y ? , PQ ? ? x, y ? ? ? 0, a ? ? ? x, y ? a ? ,

??? ? ??? ? QA ? ? ? a, 0 ? ? ? x, y ? ? ? ? a ? x, ? y ? ,? PQ ?

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2 ? ??? ? ?x ? ? 3 a ? x ? 2 ? ? ?a ? x ? ? ? 2a a ? ,将点 的坐 2QA ,则有 ? ,解得 ? ,即点 Q 的坐标为 ? ? Q , ? ? 3 3? ? y ? a ? ?2 y ?y ? a ? 3 ?

? 2 ? 1 ?a? 1 标代入椭圆的方程得 ? ? a ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 5b 2 ,即 a 2 ? 5 ? a 2 ? c 2 ? , ? 3 ? a ?3? b
?

2

2

c 2 5 c2 4 . ? ,? e ? ? 2 a 5 a 5

考点:共线向量、椭圆的离心率 17.

2 ?1 ? e ? 1
| PF | c s i n?PF F 2 1 ? ? 1 , a s i n? PF F | PF | 1 2 2

【 解 析 】 c s i n? PF F ? as i n PF F? ? 2 1 1 2

设 | PF1 |? e | PF2 |, (e ? 1) | PF2 |? 2 a,? PF2 |? | 即1 ? e ?

2a ? ( a ? c, a ? c ) , e ?1

2 ? 1 ? e,? 2 ? 1 ? e ? 1 . e ?1

2 18.(1) x ? y 2 ? 1 4 (2)直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 .

【解析】 试题分析: (1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆, 其中 a ? 2 , c ? 3 ,则 b ?
2

a2 ? c2 ? 1 .
4分

所以动点 P 的轨迹方程为 x ? y 2 ? 1 . 4 (2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , 设 C ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 ) , ∵ OC ? OD ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

???? ????

∵ y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 ,∴ y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . ∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .? ①

? x2 2 ? ? y ? 1, 由方程组 ? 4 ? y ? kx ? 2. ?

得 1 ? 4k 2 x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 .

?

?

答案第 6 页,总 10 页

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12 16k 12 16k , x1 ? x2 ? ,代入①,得 ?1 ? k 2 ? ? ? 2k ? ?4?0. 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 即 k 2 ? 4 ,解得, k ? 2 或 k ? ?2 . 10 分 所以,直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 . 12 分
则 x1 ? x2 ? 考点:椭圆的定义,直线与椭圆的位置关系 点评:解决的关键是利用椭圆的定义来得到轨迹方程,这是求轨迹的首要考虑的方法之一, 同时联立方程组,结合韦达定理来得到直线方程,属于基础题。 19. (1) 【解析】

5 x2 y 2 (2) y ? ? ( x ? 4) 。 ? ? 1; 6 4 3

c 1 ? ,所以 a ? 2c , b ? 3c . a 2 3 1 3 x2 y2 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,又点 P (1, ) 在椭圆上,所以 2 ? 2 ? 1 , 2 4c 4c 4c 3c 2 解得 c ? 1 ,
试题分析: (1)因为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3 (2)易知直线 l 的斜率存在,
所以椭圆方程为 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,

? y ? k ( x ? 4), ? 2 消去 y 整理,得 y2 由? x ? ? 1, ? ? 4 3

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 ,
由题意知 ? ? (32k 2 ) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ? 12) ? 0 , 解得 ?

1 1 ?k? . 2 2
64k 2 ? 12 32k 2 ①, x1 x2 ? . ②. 2 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k
4 ? 16k 2 . ④ 3 ? 4k 2

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 因为 △ AMF 与 △MFN 的面积相等,

所以 AM ? MN ,所以 2 x1 ? x2 ? 4 . ③ 由①③消去 x2 得 x1 ? 将 x2 ? 2 x1 ? 4 代入②得 x1 (2 x1 ? 4) ? 将④代入⑤

64k 2 ? 12 . ⑤ 3 ? 4k 2

4 ? 16k 2 4 ? 16k 2 64k 2 ? 12 , (2 ? ? 4) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
5 ,经检验成立. 6

整理化简得 36k 2 ? 5 ,解得 k ? ?

所以直线 l 的方程为 y ? ?

5 ( x ? 4) . 6
答案第 7 页,总 10 页

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考点:椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与椭圆的综合应用。 点评:本题考查了椭圆方程的求法,以及直线与椭圆的综合应用,为圆锥曲线的常规题,应 当掌握。考查了学生综合分析问题、解决问题的能力,知识的迁移能力以及运算能力。解题 时要认真审题,仔细分析。 20.(Ⅰ) 【解析】 试题分析:1)根据离心率为
y2 x2 13 ? ? 1 ;(Ⅱ) (?4, ) 4 3 4

4 1 ,可得 a 2 ? b 2 ,根据椭圆的短半轴为半径的圆与直线 3 2

x ? y ? 6 ? 0 相切,可求 b 的值,从而可得椭圆的方程;
(2)由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 PB 的方程代入椭圆方程,利用韦达定理,及向 量的数量积公式,即可确定 OA ? OB 的取值范围. 试题解析:(Ⅰ)由题意知 e ? 又b ?
6 1?1

??? ??? ?

c2 a 2 ? b2 1 c 1 4 2 ? ,即 a 2 ? b 2 ? ,∴ e ? 2 ? 2 4 a 2 3 a a
y2 x2 ? ?1 4 3

2 b2 ? 3 ,∴ a ? 4, ? 3 故椭圆的方程为

4分

(Ⅱ)解:由 ? x 2 ?

?l : x ? my ? 4 得: (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 y2 ? ?1 ? 4 3 ?

6分

由? ? 0 ? (24m)2 ? 4 ? 36(3m2 ? 4) ? 0 ? m2 ? 4
设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 y1 ? y2 ? ? 24m , y1 y2 ? 2
3m ? 4 36 3m2 ? 4

8分 10 分

??? ???? ? ?12m2 ? 100 116 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (m 2 ? 1) y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16 ? ? ?4 ? 2 3m ? 4 3m2 ? 4

∵ m 2 ? 4 ∴ 3m2 ? 4 ? 16 ,
??? ???? ?

∴ OA ? OB ? (?4, )
13 4

??? ???? ?

13 4

∴ OA ? OB 的取值范围是 (?4, ) .

13 分

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程.

21. (1) m ?

4 1 3 ; (2) m ? (0, ? ]. 7 2 4

【解析】 试题分析: (1) 根据中点坐标公式求出 M 坐标, 代入椭圆方程解得 m ; (2) 设出 M 坐标 (注 意其横坐标的取值范围) ,利用中点坐标公式求出点 P 坐标,然后利用垂直时数量积为零列 出关系式,结合基本不等式求解. 试题解析: (1)依题意, M 是线段 AP 的中点

9 4 ? A( ?1, 0), P ( , 3) 5 5

答案第 8 页,总 10 页

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? 点 M 的坐标是 ( 2 , 2
5 5
由点 M 在椭圆 C 上,?

3) .

2分 4分 5分

4 12 ? ?1 25 25m

?m ?

4 7

(2)设 M ( x0 , y0 ), 则x0 2 ?
? M 是线段 AP 的中点

y0 2 ? 1, 且 ?1 ? x0 ? 1 m
? P(2 x0 ? 1, 2 y0 )




6分

? OP ? OM ,? x0 (2 x0 ? 1) ? 2 y0 2 ? 0
由①,②消去 y0 ,整理得 m ?

8分

2 x0 2 ? x0 2 x0 2 ? 2

10 分

?m ? 1?

1 2( x0 ? 2) ? 6 ?8 x0 ? 2

?

1 3 ? 2 4

12 分

当且仅当 x0 ? ?2 ? 3 时,上式等号成立

1 3 ? m ? (0, ? ] 2 4

13 分

考点:1.椭圆方程;2.向量数量积;3.基本不等式. 22. (1) 【解析】 试题分析: (1)根据椭圆的几何性质求出椭圆标准方程中的 a 2、b 2 ; (2)用设点、建立两 个动点之间坐标的关系和代入已知曲线方程的方法求出动点轨迹方程; 3) ( 先利用 A, C , R 三 点共线建立 R 与 A、C 的坐标关系,再根据 D 为线段 RB 的中点求出 D 的坐标表达式,进一 步求出直线 CD 的方程,最后根据曲线 E 圆心到直线 CD 的距离与半径的大小情况判断其位 置关系. 试题解析: (1)由题意可得 a ? 2 , e ?

x2 ? y 2 ? 1 ;(2) x 2 ? y 2 ? 4 ;(3)详见解析. 4

c 3 ,∴ c ? 3 , ? a 2
4分

2分

x2 ∴ b ? a ? c ? 1 ,所以椭圆的方程为 ? y2 ? 1. 4
2 2 2

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y ) , P ( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , ? y ? 2 y0 ? y0 ? 2 x ?
答案第 9 页,总 10 页

6分

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2 x0 x2 1 2 ? y0 ? 1 ,代入得 ? ( y ) 2 ? 1 ,即 x 2 ? y 2 ? 4 . 4 4 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .

8分

(3)设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) ,∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR ,

???? ??? ?

??? ? ??? ? 4n 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) ,∴ t ? ,

m?2

∴点 R 的坐标为 (2,

4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), m?2 m?2

10 分

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4
mn m ?? , 2 ?n n
12 分

而 m 2 ? n 2 ? 4 ,∴ m 2 ? 4 ? ? n 2 ,∴ k ? ∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ?

4 m ?n
2 2

?

4 ?2?r, 4

所以直线 CD 与圆 O 相切. 14 分 考点:1、椭圆的标准方程,2、代入法求动点轨迹方程,3、直线与圆位置关系的判定问题.

答案第 10 页,总 10 页


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